Sáng kiến kinh nghiệm

Phần thứ nhất: đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài.
1. Cơ sở lí luận.
- Trong hệ thống kiến thức Toán THCS nói chung, giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình và hệ phơng trình giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài
điển hình của chơng trình Đại số THCS. Đây là dạng bài cơ bản trong các kì thi khảo
sát chất lợng, tốt nghiệp THCS trớc đây và thi vào THPT. Dạng toán này đợc đề cập
xuyên suốt trong chơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9.
- Qua dạng bài này, học sinh thấy đợc cơ sở thực tiễn của Toán học, thấy đợc tầm
quan trọng của việc giải phơng trình và ý nghĩa của Toán học đối với cuộc sống. Từ
đó hình thành kỹ năng gắn những kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế,
phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn.
Qua quá trình giảng dạy, tôi thấy còn tồn tại thực trạng sau:
- Đứng trớc bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài toán nh
thế nào, phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn nh thế nào, liên hệ, sử dụng những điều kiện đã
cho để lập phơng trình ra sao?
- Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa giải
nên thờng lúng túng trớc những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen thuộc.
-Trong thời kỳ bùng nổ thông tin hiện nay, t duy toán học thuần tuý, khả năng xử lí
các công thức của học sinh rất tốt, nhng khả năng hiểu nhanh, chính xác các số liệu,
các mối quan hệ giữa các số liệu đợc cho bằng lời của các em lại gặp rất nhiều khó
khăn. Thờng các em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong đề bài mà chỉ cốt
đọc đợc phơng trình để giải.
Chính vì vậy, học sinh thờng rất sợ khi phải giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình mặc dù kĩ năng giải phơng trình của các em khá tốt.
II. mục đích, giới hạn, nhiệm vụ của đề tài.
1. Mục đích chọn đề tài.
Xuất phát từ những cơ sở trên, tôi nhận thấy trong quá trình giảng dạy dạng bài này,

1. Giải các dạng phơng trình.
Công việc vô cùng quan trọng, không thể thiếu khi giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình là giải phơng trình. Vì vậy, học sinh cần nắm chắc phơng pháp giải các dạng
phơng trình: phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn ở
mẫu
2. Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Bớc 1: Lập phơng trình.
- Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết;
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
- 4 -
Sáng kiến kinh nghiệm

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào
thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
3. Các kiến thức liên quan
- Các công thức chuyển động

s s
v , s = v.t , t =
t v
=

- Các công thức về nhiệt lợng
Q
tỏa
= Q
thu
, Q = m.c.

Hớng dẫn: Gọi x là tuổi thọ của ông(x > 0) ta có phơng trình

1 1 1 1
x + x + x + 5 + x + 4 = x
6 12 7 2
- 5 -
Sáng kiến kinh nghiệm
x = 84. Vậy Điôphăng thọ 84 tuổi.
Bài toán 2: Acsimet và chiếc vơng miện của nhà vua.
Vào thế kỷ III trớc công nguyên, vua xứ Xirut nghi ngờ tên thợ kim hoàn nên đã
giao cho Acsimet kiểm tra xem chiếc vơng miện bằng vàng của nhà vua có bị pha
thêm bạc hay không? Chiếc mũ có trọng lợng 5N, khi nhúng vào nớc trọng lợng giảm
0,3N. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, gam bạc? Biết rằng khi cân trong nớc,
bạc giảm
1
10
trọng lợng, vàng giảm bằng một nửa bạc.
Hớng dẫn: Gọi x là trọng lợng của vàng trong mũ ( x > 0)


Trọng lợng của bạc trong mũ là 5 x
Ta có phơng trình

x 5 - x
+ = 0,3
20 10


Mấy bé, mấy phao ở bến sông?

Hớng dẫn: Gọi x là số em bé (x > 0, x

Z)
Ta có phơng trình

1
x + 7 = 2(x - 4)
2


x = 10.
Vậy có 10 em bé và 12 chiếc phao.
Bài toán 5:
Quýt, cam 17 quả tơi
Đem chia cho 100 ngời cùng vui
Chia 3 mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia 10 vừa xinh
Trăm ngời trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mấy quả rõ rành hỡi cô?
Hớng dẫn: Gọi x là số quả quýt (x > 0, x

Z)


số quả cam là 17 x
Lập luận ta dẫn đén phơng trình
3x + ( 17 x ).10 = 100



Một cánh đồng cỏ mọc dầy nh nhau, cỏ luôn mọc đều nh nhau trên toàn bộ cánh
đồng. Biết rằng 12 con bò ăn hết cỏ trên
10
3
acrơ đồng cỏ trong 4 tuần, 21 con bò ăn
hết cỏ trên 10 acrơ đồng cỏ trong 9 tuần. Hỏi bao nhiêu con bò ăn hết cỏ trên 24 acrơ
đồng cỏ trong 18 tuần ( 1 acrơ = 4047m
2
).
II. Loại toán chuyển động
1. Bài toán cơ bản.
Bài toán 1.1:
Một ngời đi từ A đến B hết 3 giờ 30 phút rồi lại đi từ B trở về A hết 2 giờ 30 phút.
Tính chiều dài quãng đờng AB biết vận tốc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 20 km/h.
Hớng suy nghĩ: Đây là bài tập về chuyển động đều.
-Các số liệu đã biết: Thời gian đi, thời gian về, hiệu hai vận tốc lúc đi và về.
-Các số liẹu cha biết: Vận tốc lúc đi, vận tốc lúc về, chiều dài quãng đờng.
-Quan hệ giữa các đại lợng: S = v . t
-Ta cần tính chiều dài AB nên ta có thể chọn ẩn x là chiều dài quãng đờng AB rồi dùng
ẩn x và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu cha biết. Trên cơ sở đó lập phơng
trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
Lời giải:
Ta đổi 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ.
Gọi chiều dài đoạn đờng AB là x km ( x > 0 )

Vận tốc lúc đi là
x
3,5
(km/h)

đuổi kịp nhau, hoặc hai vật ngợc chiều gặp nhau.
Tr ờng hợp 1 : Hai vật chuyển động ngợc chiều

Thời gian để hai vật gặp nhau là:
1 2
s
t =
v + v
Tr ờng hợp 2: Hai vật chuyển động cùng chiều

Thời gian để hai vật gặp nhau là:
1 2
s
t =
v - v
Lời giải: Gọi vận tốc của máy bay thứ nhất là x(km/h) ( x > 0)

Vận tốc của máy bay thứ hai là 2x(km/h)
Thời gian để hai máy bay gặp nhau là
600
x 2x+
(h)
Sau
1
2
giờ hai máy bay gặp nhau nên ta có phơng trình

600 1
=
x + 2x 2

40 km/h và về đén A lúc 14 giờ 30 phút. Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu km?
Hớng suy nghĩ: Bài 1.2 cũng yêu cầu tính chiều dài quãng đờng AB, nhng ở bài 1.1
cho thời gian đi, thời gian về và hiệu vận tốc lúc đi và lúc về, còn ở bài này thì cho vận
tốc lúc đi, vận tốc lúc về và thời gian cho dới dạng phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải
t duy cao hơn.
Hớng dẫn: Gọi chiều dài quãng đờng AB là x km ( x > 0)
Ta sẽ lập đợc phơng trình :
x x 3
+ = 6
40 50 4
Kết quả x= 150 km.

Bài toán 1.4:
Một ôtô đi trên đoạn đờng AB gồm một đoạn đờng đá và một đoạn đờng nhựa. Trên
đoạn đờng đá xe đi với vận tốc 30 km/h. Trên đoạn đờng nhựa, vận tốc của xe là 45
km/h. Biết rằng đoạn đờng đá chỉ bằng
2
3
đoạn đờng nhựa và thời gian xe đi cả đoạn đ-
ờng AB là 4 giờ. Tính chiều dài quãng đờng AB.
Bài toán1.5:
Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn đờng lên dốc AC, đoạn đờng nằm ngang CD,
đoạn đờng xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một ngời đi từ A đến B rồi đi từ B trở
về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đờng nằm ngang biết rằng vận tốc lên dốc là
- 10 -
Sáng kiến kinh nghiệm

10 km/h, vận tốc xuống dốc là 20 km/h, vận tốc trên đoạn đờng nằm ngang là 20
km/h.
b, Từ bài toán 2.1 ta có các bài toán tơng tự sau:

20
(h)
- 11 -
Sáng kiến kinh nghiệm

Thời gian ngời đó đi nửa quãng đờng sau là
a
30
(h)
Ta có phơng trình :
a a 2a
+ =
20 30 x
Đáp số x = 24 (km/h).
III. Loại toán về kế hoạch dự định và thực tế đã làm.
1. Bài toán cơ bản.
Bài toán 3.1:
Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đợc 52
ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4
ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Hớng dẫn: Giả sử diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là x ha ( x > 0)

Diện tích ruộng thực tế đã cày đợc là x + 4 (ha)
Thời gian đội dự định cày là
x
40
ngày
Thời gian thực tế đội đã cày là
x + 4
52

còn làm thêm đợc 24 chiếc thảm nữa. Tính tổng số thảm tổ cô Duyên làm đợc.
Hớng dẫn: ở bài 3.1 cho biết ngay thực tế mỗi ngày làm đợc lợng công việc cụ thể
bằng bao nhiêu. Nhng ở bài này lại cho gián tiếp: thực tế đã làm tăng năng suất 20%
so với dự kiến. Vậy trong một ngày, số thảm thực tế đạt đợc bằng 100% + 20% =
120% = 1,2 lần số thảm dự kiến dệt. Đến đây bài toán trở về dạng bài 3.1.
Ta sẽ lập đợc phơng trình :

x x - 24
= 1,2.
18 20
Kết quả x = 324.
IV. Loại toán tìm số.
Có rất nhiều bài toán với nhiều dạng khác nhau. Điều cần lu ý học sinh khi làm loại
bài này là tuỳ vào việc chọn ẩn mà có điều kiện tơng ứng.
Ví dụ: gọi x là số cần tìm thì có thể x không cần điều kiện gì, gọi x là tử số của
phân số thì x phải nguyên mà không nhất thiết phải lớn hơn 0
Có thể chia thành một số dạng bài đợc sắp xếp nâng cao dần nh sau:
Bài toán 4.1: (Tìm hai số khi biết tổng và hiệu)
Tổng của hai số bằng 80, hiệu của số thứ nhất và số thứ hai bằng 4. Tìm hai số đó.
Hớng dẫn: Gọi x là số thứ nhất

số thứ hai là 80 x
Hiệu của số thứ nhất và số thứ hai bằng 4 nên ta có phơng trình :
x ( 80 x) = 4

x = 42
Vậy số thứ nhất bằng 42, số thứ hai là 80 42 = 38.
Bài toán 4.2: ( Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số giữa chúng)
a, Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 120, tỷ số giữa chúng bằng
1

=
x + 8 2
Bài toán 4.4:
Tìm một số có 6 chữ số biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4, và nếu chuyển chữ
số 4 đó thành chữ số đầu tiên thì thì số phải tìm tăng gấp 4 lần.
Hớng dẫn: Số phải tìm có dạng
abcde4
Đặt x =
abcde
Số phải tìm bằng 10x + 4
Số mới bằng 400 000 + x
Ta có phơng trình 400 000 + x = 4(10x + 4)
V. Các loại toán khác.
Bài toán 5.1:
Ngời ta pha 3 kg nớc nóng ở
0
90 C
với 2 kg nớc lạnh ở
0
20 C
. Tính nhiệt độ sau
cùng của nớc. (Bỏ qua sự mất nhiệt ra môi trờng xung quanh).
Hớng dẫn: Đây là bài toán có liên quan đến kiến thức Vật Lí.
Gọi nhiệt độ sau cùng của nớc là
o
t C
(20 < t < 90)
Ta sẽ lập đợc phơng trình :
3( 90 t ) = 2(t 20 )


E. phạm vi áp dụng.
Nội dung các bài tập và hớng xây dựng, phát triển các bài toán trong chuyên đề này
rất phù hợp với đối tợng học sinh trung bình, học sinh khá. Nó có thể đợc áp dụng cho
đa số các lớp 8 trong trờng THCS và có thể mở rộng cho việc giải toán bằng cách lập
hệ phơng trình và phơng trình bậc hai ở chơng trình Đại số 9.
Chuyên đề này nên thực hiện trong các giờ học tự chọn của khối lớp 8.
F. hớng đề xuất, tiếp tục nghiên cứu.
Nh đã trình bày ở trên, chuyên đề này mới dừng lại ở một số dạng bài tập còn đơn
giản, mức độ khai thác kiến thức còn cha sâu, phạm vi nghiên cứu còn hạn hẹp. Vì
- 15 -
Sáng kiến kinh nghiệm

vậy, trong thời gian tới, bản thân tôi sẽ tiếp tục tích luỹ, bổ xung để chuyên đề đợc
hoàn thiện hơn với các nội dung sau:
- Làm phong phú thêm các dạng bài tập.
- Xây dựng, khai thác, phát triển ở mức độ cao hơn để đáp ứng việc bồi dỡng
học sinh giỏi.
- Mở rộng phạm vi nghiên cứu đối với các dạng bài toán giải bằng cách lập hệ
phơng trình và phơng trình bậc hai ở chơng trình Đại số 9.
Phần thứ ba: kết luận
Việc hớng dẫn học sinh phân loại và tìm lời giải dạng bài "Giải bài toán bằng cách
lập phơng trình" nh trên sẽ phát huy đợc tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh,
giúp các em nắm chắc, hiểu sâu kiến thức phần giải phơng trình, áp dụng vào giải bài
toán một cách có hiệu quả. Đồng thời kích thích lòng say mê, hứng thú học tập, giúp
học sinh vơn lên đạt kết quả cao trong học tập.
Đây là một công việc rất cần thiết, một việc làm tất yếu trong quá trình giảng dạy.
Kiến nghị: Trong thời gian tới, rất mong các cấp lãnh đạo, các Tổ chuyên môn quan
tâm tổ chức nhiều các chuyên đề, ngoại khoá để các đồng nghiệp có thể trao đổi, học
hỏi những kinh nghiệm lẫn nhau; học sinh hứng thú, hăng say học tập góp phần ngày
càng nâng cao hiệu quả dạy và học.