SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 9"
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các em
học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài toán
số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9, phương
trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải).
Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài
tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan
giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình. Mà dạng toán này là một dạng
toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp
10 THPT, nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải,
cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về giải
bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo viên và
học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các
trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Trường tôi đang giảng dạy là một trường DTNT nên đa số các em đều là đồng bào
dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoa học tự
nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu môn Toán
của các em tương đối còn yếu, còn chậm.
Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi thúc tôi
ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp
trong quá trình dạy học môn Toán.
2. Mục đích nghiên cứu

thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.
8. Kết cấu của đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo.
Phần 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9
1.1 Cơ sở lý luận
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học.
Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai không hiểu
biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể
phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà vật lí học nổi tiếng
(P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan
niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể
không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên
đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được
phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo và
xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ
phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực
hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện
đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn
luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp
tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những phương
pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có tính đặc thù cao là
môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học
hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là
môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức

khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có thể
trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái
quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu,
cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất
lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen
với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên
kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng
khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có
kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận
dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh
khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần
phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng,
tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm
thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ
phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh
có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài
là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp
các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập
cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn
kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Kết luận phần 1
Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những
kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập.

- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn và
phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của
hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng
bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết
định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị và
điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm
bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinh
tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài,
đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho
những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình
giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền
đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn,
đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn
số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :

x y
x y y x
+ − + =

− + =


⇔
 
+ =
+ + + =



Giải hệ ta được :
1
8
x
y
=


=

Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
Sau khi tìm ra
1
8
x
y

thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1
1
x
x ngày (x > 0)
Đội B 1
1
y
y ngày (y > 0)
Cả hai
đội
1
1 1 1
24x y
+ =
24 ngày
Hệ PT
1 1 1
24
1 3 1
.
2
x y
x y


3
.
2
x y
x y

+ =




=


Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn
so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính
toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừa
cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót
một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán,
lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu
kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết luận bài toán cho
chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h
thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm
hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại
A.
Hướng dẫn giải :

− =


Giải hệ ta được :
350
8
x
y
=


=

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm
được
Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x (
,0 36x Z x
+
∈ < <
)

2 4
x y
x y
+ =



+ =


Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm
hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập luận
dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ
tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước lập luận
biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự
kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối. Không nên
diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc nhắc nhở học
sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm
vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập,
nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên. Để học
sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết
giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài
tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh. Phân tích thật rõ
ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ
các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải
các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm

Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h
nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
v
xuôi
= v
thực
+ v
dòng
v
ngược
= v
thực
- v
dòng
v
dòng
= (v
xuôi
- v
ngược
) : 2 v
thực
= (v
xuôi
+ v
ngược

3x +
30
3x +
Khi ngược dòng 30
3x −
30
3x −
Phương trình
30 30 2
6
3 3 3x x
+ + =
+ −
+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi
theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5
km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Đk: x >0 S(km) v(km/h) t(h)
Lúc đi
(nhanh)
120
x
120
x
Lúc về
(chậm)
125
5x −

Số cây của mỗi
h/s
(cây/ người)
Lúc đầu

x56
x

56
 
Lúc sau
56

1x
−



56
1x −


Phương trình
56 56
1
1x x
− =

(giờ) Năng suất
(
cv/giờ)
Đội I (nhanh) 1

x



1
x


Đội II (chậm) 1

6x +


1
6x +


Cả hai đội 1 4
1
4
Phương trình
1 1 1
6 4x x
+ =
+

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =
ñaùy cao
2
´
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 10:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó.
Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)
2
+ x
2
= 10
2

Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh bằng
5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 dm
3
. Hãy tính kích thước
của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Giải
Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10)
Chiều dài miếng tôn là 2x (dm)
Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm)