Sáng kiến kinh nghiệm

Th viện SKKN của Quang Hiệu />phần thứ nhất: đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài.
1. Cơ sở lí luận.
- Trong hệ thống kiến thức Toán THCS nói chung, giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình và hệ phơng trình giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài
điển hình của chơng trình Đại số THCS. Đây là dạng bài cơ bản trong các kì thi khảo
sát chất lợng, tốt nghiệp THCS trớc đây và thi vào THPT. Dạng toán này đợc đề cập
xuyên suốt trong chơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9.
- Qua dạng bài này, học sinh thấy đợc cơ sở thực tiễn của Toán học, thấy đợc tầm
quan trọng của việc giải phơng trình và ý nghĩa của Toán học đối với cuộc sống. Từ
đó hình thành kỹ năng gắn những kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế,
phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn.
Qua quá trình giảng dạy, tôi thấy còn tồn tại thực trạng sau:
- Đứng trớc bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài toán nh
thế nào, phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn nh thế nào, liên hệ, sử dụng những điều kiện đã
cho để lập phơng trình ra sao?
- Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa giải
nên thờng lúng túng trớc những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen thuộc.
-Trong thời kỳ bùng nổ thông tin hiện nay, t duy toán học thuần tuý, khả năng xử lí
các công thức của học sinh rất tốt, nhng khả năng hiểu nhanh, chính xác các số liệu,
các mối quan hệ giữa các số liệu đợc cho bằng lời của các em lại gặp rất nhiều khó
khăn. Thờng các em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong đề bài mà chỉ cốt
đọc đợc phơng trình để giải.
Chính vì vậy, học sinh thờng rất sợ khi phải giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình mặc dù kĩ năng giải phơng trình của các em khá tốt.
- 3 -
Sáng kiến kinh nghiệm


Phần thứ hai: Giải quyết vấn đề

A.Các kiến thức cần ghi nhớ
1. Giải các dạng phơng trình.
Công việc vô cùng quan trọng, không thể thiếu khi giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình là giải phơng trình. Vì vậy, học sinh cần nắm chắc phơng pháp giải các dạng
phơng trình: phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn ở
mẫu
2. Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Bớc 1: Lập phơng trình.
- Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết;
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào
thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
3. Các kiến thức liên quan
- Các công thức chuyển động

s s
v , s = v.t , t =
t v
=

- Các công thức về nhiệt lợng
Q
tỏa
= Q
thu
, Q = m.c.

Nhng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha
Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất
Điôphăng sống bao nhiêu tuổi, tính cho ra?
Hớng dẫn: Gọi x là tuổi thọ của ông(x > 0) ta có phơng trình

1 1 1 1
x + x + x + 5 + x + 4 = x
6 12 7 2


x = 84. Vậy Điôphăng thọ 84 tuổi.
Bài toán 2: Acsimet và chiếc vơng miện của nhà vua.
Vào thế kỷ III trớc công nguyên, vua xứ Xirut nghi ngờ tên thợ kim hoàn nên đã
giao cho Acsimet kiểm tra xem chiếc vơng miện bằng vàng của nhà vua có bị pha
thêm bạc hay không? Chiếc mũ có trọng lợng 5N, khi nhúng vào nớc trọng lợng giảm
- 6 -
Sáng kiến kinh nghiệm

0,3N. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, gam bạc? Biết rằng khi cân trong nớc,
bạc giảm
1
10
trọng lợng, vàng giảm bằng một nửa bạc.
Hớng dẫn: Gọi x là trọng lợng của vàng trong mũ ( x > 0)


Trọng lợng của bạc trong mũ là 5 x
Ta có phơng trình

x 5 - x


Hai phao một chú, bốn bé không
Biết cô giỏi tính xin chỉ giúp
Mấy bé, mấy phao ở bến sông?

Hớng dẫn: Gọi x là số em bé (x > 0, x

Z)
Ta có phơng trình

1
x + 7 = 2(x - 4)
2


x = 10.
Vậy có 10 em bé và 12 chiếc phao.
Bài toán 5:
Quýt, cam 17 quả tơi
Đem chia cho 100 ngời cùng vui
Chia 3 mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia 10 vừa xinh
Trăm ngời trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mấy quả rõ rành hỡi cô?
Hớng dẫn: Gọi x là số quả quýt (x > 0, x

Z)


số quả cam là 17 x

quả cứ nh vậy cho đến khi ngời khách thứ 6 mua
xong thì số cam vừa hết. Tính tổng số cam mà ngời nông dân đem ra chợ bán.

Bài toán 7: ( Bài toán bò ăn cỏ của Niu-tơn)
Một cánh đồng cỏ mọc dầy nh nhau, cỏ luôn mọc đều nh nhau trên toàn bộ cánh
đồng. Biết rằng 12 con bò ăn hết cỏ trên
10
3
acrơ đồng cỏ trong 4 tuần, 21 con bò ăn
hết cỏ trên 10 acrơ đồng cỏ trong 9 tuần. Hỏi bao nhiêu con bò ăn hết cỏ trên 24 acrơ
đồng cỏ trong 18 tuần ( 1 acrơ = 4047m
2
).
II. Loại toán chuyển động
1. Bài toán cơ bản.
Bài toán 1.1:
Một ngời đi từ A đến B hết 3 giờ 30 phút rồi lại đi từ B trở về A hết 2 giờ 30 phút.
Tính chiều dài quãng đờng AB biết vận tốc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 20 km/h.
Hớng suy nghĩ: Đây là bài tập về chuyển động đều.
-Các số liệu đã biết: Thời gian đi, thời gian về, hiệu hai vận tốc lúc đi và về.
-Các số liẹu cha biết: Vận tốc lúc đi, vận tốc lúc về, chiều dài quãng đờng.
-Quan hệ giữa các đại lợng: S = v . t
-Ta cần tính chiều dài AB nên ta có thể chọn ẩn x là chiều dài quãng đờng AB rồi
dùng ẩn x và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu cha biết. Trên cơ sở đó lập ph-
ơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
Lời giải:
Ta đổi 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ.
Gọi chiều dài đoạn đờng AB là x km ( x > 0 )

Vận tốc lúc đi là

mỗi máy bay biết rằng vận tốc của một trong hai máy bay gấp đôi vận tốc của máy
bay kia.
Hớng suy nhgĩ: Đây là dạng bài tập liên quan đến thời gian để hai vật cùng chiều
đuổi kịp nhau, hoặc hai vật ngợc chiều gặp nhau.
Tr ờng hợp 1 : Hai vật chuyển động ngợc chiều

Thời gian để hai vật gặp nhau là:
1 2
s
t =
v + v
Tr ờng hợp 2: Hai vật chuyển động cùng chiều

Thời gian để hai vật gặp nhau là:
1 2
s
t =
v - v
Lời giải: Gọi vận tốc của máy bay thứ nhất là x km/h ( x > 0)
- 10 -
Sáng kiến kinh nghiệm


Vận tốc của máy bay thứ hai là 2x(km/h)
Thời gian để hai máy bay gặp nhau là
600
x 2x+
(h)
Sau
1

Bài toán 1.3:
Anh T lái xe ôtô khởi hành từ A lúc 6 giờ 15 phút với vận tốc trung bình 50 km/h.
Đến B liên hệ công tác trong thời gian 1 giờ 30 phút rồi trở về A với vận tốc trung bình
40 km/h và về đén A lúc 14 giờ 30 phút. Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu km?
Hớng suy nghĩ: Bài 1.2 cũng yêu cầu tính chiều dài quãng đờng AB, nhng ở bài 1.1
cho thời gian đi, thời gian về và hiệu vận tốc lúc đi và lúc về, còn ở bài này thì cho vận
- 11 -
Sáng kiến kinh nghiệm

tốc lúc đi, vận tốc lúc về và thời gian cho dới dạng phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải
t duy cao hơn.
Hớng dẫn: Gọi chiều dài quãng đờng AB là x km ( x > 0)
Ta sẽ lập đợc phơng trình :
x x 3
+ = 6
40 50 4
Kết quả x= 150 km.

Bài toán 1.4:
Một ôtô đi trên đoạn đờng AB gồm một đoạn đờng đá và một đoạn đờng nhựa.
Trên đoạn đờng đá xe đi với vận tốc 30 km/h. Trên đoạn đờng nhựa, vận tốc của xe là
45 km/h. Biết rằng đoạn đờng đá chỉ bằng
2
3
đoạn đờng nhựa và thời gian xe đi cả
đoạn đờng AB là 4 giờ. Tính chiều dài quãng đờng AB.
Bài toán1.5:
Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn đờng lên dốc AC, đoạn đờng nằm ngang CD,
đoạn đờng xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một ngời đi từ A đến B rồi đi từ B trở
về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đờng nằm ngang biết rằng vận tốc lên dốc là

vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng.
Hớng giải:
Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x km/h (x > 0)
Giả sử một nửa quãng đờng AB là a km (a > 0)
Thời gian ngời đó đi nửa quãng đờng là
a
20
(h)
Thời gian ngời đó đi nửa quãng đờng sau là
a
30
(h)
Ta có phơng trình :
a a 2a
+ =
20 30 x
Đáp số x = 24 (km/h).
- 13 -
Sáng kiến kinh nghiệm

III. Loại toán về kế hoạch dự định và thực tế đã làm.
1. Bài toán cơ bản.
Bài toán 3.1:
Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đợc 52
ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4
ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Hớng dẫn: Giả sử diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là x ha ( x > 0)

Diện tích ruộng thực tế đã cày đợc là x + 4 (ha)
Thời gian đội dự định cày là

- 14 -
Sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán 3.3:
Tổ cô Duyên đợc giao dệt một số thảm xuất khẩu trong 20 ngày. Nhng do tăng năng
suất 20% nên sau 18 ngày, không những tổ cô đã hoàn thành kế hoạch đợc giao mà
còn làm thêm đợc 24 chiếc thảm nữa. Tính tổng số thảm tổ cô Duyên làm đợc.
Hớng dẫn: ở bài 3.1 cho biết ngay thực tế mỗi ngày làm đợc lợng công việc cụ thể
bằng bao nhiêu. Nhng ở bài này lại cho gián tiếp: thực tế đã làm tăng năng suất 20%
so với dự kiến. Vậy trong một ngày, số thảm thực tế đạt đợc bằng 100% + 20% =
120% = 1,2 lần số thảm dự kiến dệt. Đến đây bài toán trở về dạng bài 3.1.
Ta sẽ lập đợc phơng trình :

x x - 24
= 1,2.
18 20
Kết quả x = 324.
IV. Loại toán tìm số.
Có rất nhiều bài toán với nhiều dạng khác nhau. Điều cần lu ý học sinh khi làm loại
bài này là tuỳ vào việc chọn ẩn mà có điều kiện tơng ứng.
Ví dụ: gọi x là số cần tìm thì có thể x không cần điều kiện gì, gọi x là tử số của
phân số thì x phải nguyên mà không nhất thiết phải lớn hơn 0
Có thể chia thành một số dạng bài đợc sắp xếp nâng cao dần nh sau:
Bài toán 4.1: (Tìm hai số khi biết tổng và hiệu)
Tổng của hai số bằng 80, hiệu của số thứ nhất và số thứ hai bằng 4. Tìm hai số đó.
Hớng dẫn: Gọi x là số thứ nhất

số thứ hai là 80 x
Hiệu của số thứ nhất và số thứ hai bằng 4 nên ta có phơng trình :
x ( 80 x) = 4

Nếu tăng cả tử và mẫu lên 5 đơn vị thì đợc phân số mới là
x + 5 x + 5
=
(x + 3) + 5 x + 8
Ta có phơng trình
x + 5 1
=
x + 8 2
Bài toán 4.4:
Tìm một số có 6 chữ số biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4, và nếu chuyển chữ
số 4 đó thành chữ số đầu tiên thì thì số phải tìm tăng gấp 4 lần.
Hớng dẫn: Số phải tìm có dạng
abcde4
Đặt x =
abcde
Số phải tìm bằng 10x + 4
Số mới bằng 400 000 + x
Ta có phơng trình 400 000 + x = 4(10x + 4)
V. Các loại toán khác.
Bài toán 5.1:
- 16 -
Sáng kiến kinh nghiệm

Ngời ta pha 3 kg nớc nóng ở
0
90 C
với 2 kg nớc lạnh ở
0
20 C
. Tính nhiệt độ sau

Sáng kiến kinh nghiệm

Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này vào năm học 2005-2006 và thu đợc kết quả nh
sau:
Lớp
Số bài
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
8C(đợc áp dụng chuyên đề) 44
5
11,4
12
27,3
20
45,4
7
15,9
8D(không áp dụng chuyên đề) 41
0
0
6
14,6
16
39
19
46,4

D. những vấn đề còn hạn chế.
Chuyên đề này đợc xây dựng trên cơ sở đối tợng học sinh ở mức độ trung bình.
Chính vì vậy các bài toán đa ra ở mức độ vừa phải, việc khai thác kiến thức cha sâu

học hỏi những kinh nghiệm lẫn nhau; học sinh hứng thú, hăng say học tập góp phần
ngày càng nâng cao hiệu quả dạy và học.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đã rút ra đợc trong quá trình giảng
dạy. Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đã nhận đợc nhiều sự giúp đỡ của các đồng
nghiệp, của các em học sinh do đó đã đạt đợc những thành công bớc đầu.
Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, thực hiện chắc rằng vẫn còn một số chỗ cha hợp
lí, thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong đợc các đồng chí, đồng nghiệp tham gia, đóng góp ý
kiến cho chuyên đề này hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
- 19 -
Sáng kiến kinh nghiệm

Tài liệu tham khảo
1. Đại số 8 - Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan,
Lê Văn Hồng, Trơng Công Thành, Nguyễn
Hữu Thảo NXBGD.
2. Sách GV Đại số 8 - Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan,
Lê Văn Hồng, Trơng Công Thành, Nguyễn
Hữu Thảo NXBGD.
3. Bài tập Đại số 8 - Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan,
Lê Văn Hồng, Trơng Công Thành, Nguyễn
Hữu Thảo NXBGD.
4. Trọng điểm Đại số 8 - Ngô Long Hậu, Lê Chung Anh NXBGD.
5. Ôn tập Đại số 8 - Vũ Hữu Bình NXBGD.
6. Toán bồi dỡng học sinh lớp 8 - Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ
Quang Thiều- NXBGD.
7. Một số vấn đề phát triển toán 8 - Vũ Hữu Bình NXBGD.
8. Toán học vui - NXBGD.
- 20 -