Phần thứ nhất
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt dần và dao động
cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi đại học”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Nội dung đề tài được trích từ các chuyên đề mà
tôi đã dùng để giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học, học sinh các lớp chuyên lý và
học sinh các đội tuyển HSG của tỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý với
mục tiêu là giúp học sinh có cách nhìn tổng quát nhất về hệ dao động tắt dần và
dao động cưỡng bức trong cơ học dựa trên việc xây dựng hệ thống lý thuyết cơ
bản. Vận dụng giải và phân tích các bài toán trong chương trình thi đại học, các bài
toán trong chương trình thi HSG quốc gia, quốc tế tại trường THPT chuyên Lê
Hồng Phong Nam Định. Đồng thời nội dung của đề tài cũng có thể vận dụng cho
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông và học sinh ôn thi đại học môn Vật lý
tại các trường THPT nói chung.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm 2009 đến năm 2014.
4. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Đức Thọ
Năm sinh: 1974
Nơi thường trú: số 41 đường Phùng Chí Kiên- Khu ĐTM Hòa Vượng.
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ vật lý.
Chức vụ công tác: Hiệu trưởng.
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định.
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- 76 đường
Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định.
Điện thoại: Cơ quan: 03503.667788 Mobile: 0913005356
Email:
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định.
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định.
Điện thoại: 03503.640297 Fax: 03503667788
3

gia và quốc tế là hết sức khó khăn. Chưa kể đến việc mở rộng vận dụng trong các
bài toán dao động điện và quang học sóng thì học sinh gần như không thể. Vì vậy
4
làm rõ các vấn đề về dao động tắt dần và dao động cưỡng bức là hết sức cần thiết.
Vì những lí do đó tôi chọn đề tài “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt
dần và dao động cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi
đại học”.
2. Cấu trúc đề tài bao gồm:
Phần mở đầu
Nội dung đề tài
Chương I: Cơ sở lý thuyết của dao động tắt dần và dao động cưỡng bức.
Chương II: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần giải một số bài toán
thuộc chương trình thi đại học.
Chương III: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động cưỡng bức giải một số bài
toán.
Chương IV: Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Chương V: Các bài tập vận dụng.
Kết luận
5
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
VÀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
I. DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1.1. Khái niệm
- Khi cho con lắc dao động trong môi trường có ma sát (hoặc lực cản) thì cơ
năng của hệ sẽ mất dần, chuyển thành các dạng năng lượng khác, do đó biên độ
dao động (tỉ lệ với căn bậc hai của năng lượng) cũng sẽ giảm dần theo thời gian.
Dao động của con lắc sẽ tắt dần.
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian

Ở đây chúng ta cần chú ý thành phần F = -kx chính là lực kéo về tác dụng lên
vật và gây dao động.
Đặt :
2
0
2 ; .
k
m m
α
β ω
= =
thì phương trình (2.1) có thể viết:
2
0
x" 2 ' 0x x
β ω
+ + =
(1.2)
Phương trình này gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần, β gọi là hệ
số tắt dần, ω
0
là tần số góc riêng của vật.
Ta sẽ tìm nghiệm của (1.2) dưới dạng :
( )
rt
x t e=
6
Hình vẽ 1
trong đó r là một đại lượng không đổi. Thay biểu thức x(t) vào (1.2) và thực
hiện việc lấy đạo hàm theo thời gian t và giản ước một thừa số khác không, ta đi

2
1i =−
. ω là một
đại lượng thực, dương:
2 2
0
ω ω β
= −
.
Khi đó :
1,2
r i
β ω
=− ±
Hai nghiệm của phương trình (1.2.2) là :
( )
1 1
i t
x C e
β ω
− +
=
và
( )
2 2
i t
x C e
β ω
− −
=

và ϕ là hai hằng
số được xác định từ điều kiện ban đầu.
Tóm lại, với điều kiện lực cản không quá lớn thì dao động tắt dần có dạng :
( ) ( )
0
os
t
x t A e c t
β
ω ϕ
−
= +
(1.5)
Đồ thị ở hình vẽ 2 biểu diễn dao động tắt dần, các giới hạn trên và dưới của x
được vẽ bằng các đường chấm chấm (đây chính là đồ thị hình 10.2a trang 48 SGK
ban KHTN)
*Nhận xét: Từ (1.5) ta có thể xem li độ biến đổi theo thời gian theo quy luật
dạng cosin với tần số là ω và biên độ giảm dần theo qui luật :
( )
0
t
A t A e
β
−
=
với A
0
là biên độ cực đại tại thời điểm ban đầu.
7
Hình vẽ 2

1A
A e
e
βτ
τ
β
−
= ⇒ =
(1.7)
b. Giảm lượng lôgarit tắt dần ( decrement logarit tắt dần): là đại lượng đo
bằng logarit tự nhiên của tỷ số giữa các giá trị biên độ tại các thời điểm khác nhau
một chu kỳ :
( )
( )
ln
A t
T
A t T
δ β
= =
+
(1.8)
c. Hệ số phẩm chất của hệ dao động: được xác định bằng tích 2π với tỉ số
của năng lượng E(t) của hệ dao động ở thời điểm t và độ lớn của độ giảm năng
lượng này sau một chu kỳ
( )
2
( ) ( )
E t
Q

δ
δ
−
− ≈
. Khi đó
Q
π
δ
≈
(1.11)
Vì
2 2
0 0 0
T T
ω ω β ω
= − ≈ ⇒ ≈
nên
0
0
2
Q
T
ωπ
β β
≈ ≈
(1.12)
1.3.2. Các đặc điểm của hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ
a. Dao động tắt dần không có tính tuần hoàn vì chuyển động lần sau không lặp
lại hoàn toàn giống như chuyển động lần trước.
8

− −
= + = +
Trong đó C
1
, C
2
là các hằng số xác định từ
điều kiện ban đầu, q là một số thực.
1.4.2. Các đặc điểm của dao động tắt dần khi ma sát lớn
- Đồ thị li độ theo thời gian có dạng như hình vẽ (đây chính là đồ thị hình
10.2c, 10.2d trang 48 SGK ban KHTN)
- Khi ma sát lớn, chuyển động của vật gọi là phi tuần hoàn hay quá trình tắt
mạnh.
1.5. Quá trình tới hạn (
0
β ω
=
).
- Khi
0
β ω
=
thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)
có dạng:
( )
1 2
x( )
t
t C C t e
β

0
f = osF c tΩ
.
Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật
chiếu theo phương Ox là
0
x ' os x"k x F c t m
α
− − + Ω =

hay
0
x" ' os
F
k
x x c t
m m m
α
+ + = Ω
(2.1)
Đặt :
2
0
2 ; .
k
m m
α
β ω
= =
thì phương trình (2.1) có thể viết:

0
và ϕ là hai hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu.
+ Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.2). Ta sẽ tìm nghiệm
riêng dưới dạng :
( )
osx Ac t
ϕ
= Ω +
, trong đó A và
ϕ
là các giá trị mà ta phải tìm.
Ta có:
( ) ( )
2
' sin ; '' osx A t x A c t
ϕ ϕ
=− Ω Ω + =− Ω Ω +
. Thay vào (2.2) được:
10
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
0
0
2 2
0
0
os 2 sin os os
os 2 os os 2.4

Và
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
0
0
2
2 2
2 2
0
0
sin 2 sin
sin 2 os
2
tan
os 2 sin
os 2 os
2
A A
c
c
A c A c
π
ω ϕ β ϕ
ω ϕ β ϕ
ϕ
π

0
2
2 2
2
2 2
0
0
4
4
2.5
sin 2 os
2
tan tan 0 0
tan
os 2 sin
F
F
A
A A
m
m
c
c
ω β
ω β
ω ϕ β ϕ
β
ϕ
ϕ
ω ϕ β ϕ

2
2 2 2 2
0
0
2
os arctan 2.6
4
F
x t c t
m
β
ω
ω β
 
 
Ω
 
 ÷
= Ω −
 ÷
− Ω
 
− Ω + Ω
 
 Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là :
( )
( )

+ Ω −
 ÷
− Ω
 
− Ω + Ω
 
 
Số hạng thứ nhất ở vế phải của nghiệm do có chứa exp(-βt) nên mô tả dao
động tắt dần và giảm rất nhanh theo thời gian, do đó sau giai đoạn quá độ ta có thể
bỏ qua nó và chỉ giữ lại số hạng thứ hai của (2.7). Vậy ta có thể nói dao động
cưỡng bức cũng là một dao động điều hòa với tần số Ω của ngoại lực. Biên độ cực
11
đại của dao động cưỡng bức tỷ lệ với biên độ của ngoại lực.
2.3. Các đặc điểm của dao động cưỡng bức :
- Dao động cưỡng bức gồm hai giai đoạn :
+ Giai đoạn chuyển tiếp : xảy ra trong khoảng thời gian rất ngắn, khi đó dao
động của hệ là tổng hợp của hai dao động : dao động tự do tắt dần của hệ và dao
động cưỡng bức. Sau khoảng thời gian này thì dao động tự do tắt hẳn.
+ Giai đoạn ổn định : Vật thực hiện dao động điều hòa cưỡng bức theo
phương trình
( )
osx Ac t
ϕ
= Ω +
. Trong đó
,A
ϕ
được xác định từ (2.5).
- Tần số góc của dao động cưỡng bức bằng tần số góc
Ω

2.4. Hiện tượng cộng hưởng.
Một điều rất quan trọng là biên độ của dao động
cưỡng bức phụ thuộc vào tần số Ω của ngoại lực. Đồ thị
sự phụ thuộc của
( )
A Ω
như hình vẽ.
Từ đồ thị ta thấy với một tần số nào đó của ngoại lực thì biên độ của dao
động cưỡng bức sẽ đạt giá trị cực đại. Hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng
hưởng, còn tần số tương ứng gọi là tần số cộng hưởng. Tần số cộng hưởng được
xác định từ điều kiện cực tiểu của biểu thức dưới dấu căn của (2.5) :
( )
2
2 2 2 2
0
4 miny
ω β
= − Ω + Ω
Lấy đạo hàm theo Ω và cho bằng không, ta có :
( )
2 2 2
0
4 8 0
ω β
− Ω −Ω + Ω =
Phương trình bậc ba này có nghiệm :
0Ω =
và
2 2
0

β ω
βω
β ω β
= << → ≈
−
Từ (2.9) ta thấy lực cản của môi trường càng yếu (β càng nhỏ) thì biên độ cộng
hưởng Amax càng lớn, khi không có lực cản (β = 0) thì Amax trở thành lớn vô
cùng Hình vẽ trình bày đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng
bức vào tần số của ngoại lực. Trong hình là ba đường cong cộng hưởng ứng với ba
giá trị khác nhau của lực cản của môi trường. Ta thấy lực cản càng yếu thì đường
cong cộng hưởng càng nhọn và tần số cộng hưởng càng gần giá trị ω
0
là tần số dao
động riêng của hệ.
13
CHƯƠNG II
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC
1. Bài toán 2.1: Nghiên cứu dao động của con lắc lò xo nằm ngang, chịu tác dụng
của lực ma sát trượt có hệ số ma sát là
µ
.
1. Chứng minh thời gian thực hiện một dao động toàn phần là không đổi.
2. Xác định độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ và xác định xem sau bao
nhiêu chu kỳ vật sẽ dừng lại.
3. Xác định quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại.
Lời giải:
1. Chọn gốc O tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên, chiều dương từ trái qua phải
(hình vẽ)
1.1. Trường hợp vật chuyển động từ trái qua phải:

= +

os( )
mg
x Ac t t
k
µ
ω
⇒ = + −
Với
k
m
ω
=
1.2. Trường hợp vật chuyển động từ phải qua trái. Khi đó lực ma sát đổi chiều
Khi vật có li độ x, phương trình động lực học được viết:
x " " 0
k
k mg mx x x g
m
µ µ
− + = ⇒ + − =

" ( ) 0
k mg
x x
m k
µ
⇔ + − =
Đặt

Như vậy thời gian thực hiện một dao động toàn phần là
2
2
m
T
k
π
π
ω
= =

14
không đổi.
2. Gọi A
0
là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A
1

• Áp dụng định lý động năng ta có
( )
2 2 2 2
1 0 1 0
1 1
2 2
m A m A F A A
ω ω
− =− +
( )
( )
2 2 2

A A
0
2 2
n
k k
A n
F mg
µ
= ⇒ = =
c- Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại, ta áp dụng định lý
biến thiên động năng.
2 2 2 2
0
1 1
.
2 2
n
m A m A F s
ω ω
− =−
Khi vật dừng lại thì
2 2 2
0 0
0
2 2
n
m A kA
A s
F mg
ω

Vận tốc của vật cực đại khi
2
1
W =
2
d
mv
cực đại
Xét hàm số
( )
2 2 2
1 1 1
W
2 2 2
d
mv kA kx mg A x
µ
= = − − −
2 2
1 1
W 0
2 2
d
kx mgx kA mg A
µ µ
 
⇔ − − − − =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm khi:

k
mg
m kA mg A mv
k
µ
µ
µ
µ
 
⇒ ≤ + −
 ÷
 
 
→ = + − =
 ÷
 
( )
2
2
max
2
m g
kA
v g A
k m
µ
µ
 
→ = + −
 ÷

m
kA mv kx mg A x
µ
= + + −
( ) ( )
2
2 2 2
ax 0 0 0 0
1 1 1
2
2 2 2
m
mv k A x x A x k A x
 
⇒ = − − − = −
 
( )
ax 0m
k
v A x
m
⇒ = −
. Thay số ta được
ax
40 2 /
m
v cm s=
3. Cách giải thứ ba:
- Do trong quá trình chuyển động cơ năng của con lắc giảm dần chuyển thành
công sinh ra để thắng công của lực ma sát nên vận tốc con lắc lớn nhất (tương ứng

k
m
ω
=
.
Vận tốc lớn nhất khi con lắc qua vị trí cân bằng:
( )
ax 0
40 2 /
m
k
v A A l cm s
m
ω
= = − ∆ =
Bài toán 2.3: Vật nặng có khối lượng m nằm trên một
mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có
độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A như hình vẽ. Vật m
đang đứng yên và lò xo không biến dạng thì vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của
một lực không đổi F hướng theo trục lò xo như hình vẽ. Hãy tìm quãng đường mà
vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng
lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất.
(Trích đề thi HSG phổ thông Tỉnh Nam Định năm 2012).
Lời giải:
1. Cách giải thứ nhất:
Gọi
l∆
là độ biến dạng của lò xo khi vật nằm ở vị trí cân bằng. Ta có:
( )
1

A
x A l
k
k
v A
ϕ
π
ω ϕ
ϕ

=


= =− ∆ =−
 
⇔
 
 
= =
= −



os( )
2
F m
x c t
k k
π
⇒ = +

lực
P
uur
không đổi. Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị
trí cân bằng xác định bởi
mg
l
k
∆ =
.
- Chuyển động của vật nhỏ trong bài toán hoàn
toàn tương tự như con lắc lò xo thẳng đứng và chịu
tác dụng của “trọng lực hiệu dụng”
'P F=
uur uur
.
Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi
/l F k∆ =
(nói cách khác ta có thể hình dung như quay mặt phẳng dao động của
con lắc đi 90
0
, tính chất chuyển động của con lắc hoàn toàn không thay đổi).
- Bây giờ bài toán sẽ được hiểu đơn giản là từ vị trí cân bằng, đưa con lắc về
vị trí mà lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả ra. Kết quả là con lắc sẽ dao động điều
18
hoà xung quanh vị trí cân bằng O với biên độ
F
A l
k
=∆ =

Bài toán 2.4: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn
quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng
ngang trùng với trục lò xo và xuyên qua tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí
cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần
chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s
2
. Hãy xác định hệ số
ma sát μ.
Lời giải:
Gọi A
0
là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A
1
• Áp dụng định lý động năng ta có
( )
2 2 2 2
1 0 1 0
1 1
2 2
m A m A F A A
ω ω
− =− +

( )
( )
2 2 2
1 0 1 0
1
2
m A A mg A A

µ
= − ∆ = −
.
19
Khi vật dừng lại thì
0
A
0
4
n
k
A
Nmg
µ
= ⇒ =
Thay số với N = 200 ta tìm được
3
5.10
µ
−
=
Bài toán 2.5: Một con lắc đơn dao động tắt dần dưới tác dụng của lực cản có độ
lớn không đổi F
c
và luôn ngược hướng chuyển động. Biết biên độ góc ban đầu là
α
0
. Hãy xác định :
1. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì.
2. Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại

c
1
2F
Δ =
mg
α
(2.5.1).
Gọi α
2
là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ
đầu tiên).
Ta có:
2 2
2 1 1 2
1 1
mgα - mg α = - F (α +α )
2 2
l l l
, hay
c
2
2F
Δ =
mg
α
(2.5.2).
Từ (2.5.1) và (2.5.2) ta có
c
0 2
4F

20
Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến
lúc dừng lại là:
n = 2N =
0
c
mgα
4F
.
Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:
Δt = NT
(Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ
2π
T =
ω
=
2
g
π
l
).
Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại: ta có thể áp dụng định
luật bảo toàn năng lượng:
2
2
0
0 c
c
mg1
mg = F .s s =

k
∆
= − = =
21
CHƯƠNG III
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài 3.1: Một quả cầu có khối lượng m, có thể thực hiện một dao động điều hòa
không tắt xung quanh điểm x = 0, với tần số riêng
0
ω
. Tại thời điểm t = 0, khi quả
cầu nằm ở trạng thái cân bằng, người ta đặt vào nó một ngoại lực cưỡng bức
0
cosF F t
ω
=
, trùng phương trục x. Tìm phương trình dao động cưỡng bức của quả
cầu.
Lời giải:
Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật
chiếu theo phương Ox là
0
x os x"k F c t m
ω
− + =
hay
0
x" os
F

osx Ac t
ω ϕ
= +
(2).
+ Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1). Ta sẽ tìm nghiệm
riêng dưới dạng :
( )
2 2 2
osx A c t
ω ϕ
= +
, trong đó
2
A
và
2
ϕ
là các giá trị mà ta phải
tìm.
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 2 2
' sin ; '' osx A t x A c t
ω ω ϕ ω ω ϕ
=− + =− +
. Thay vào (1) được:
( ) ( )
( )
( )

= =
−
Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là :
( )
( )
0
1 0 1
2 2
0
os os
F
x A c t c t
m
ω ϕ ω
ω ω
= + +
−
(3)
- Điều kiện ban đầu:
22
( )
( )
( )
( )
0 1
1 1
2 2
0
0
1

=
=

 

−
− =


Vậy :
( )
( )
0
0
2 2
0
os os
F
x c t c t
m
ω ω
ω ω
= −
−
Bài 3.2: Con lắc lò xo thẳng đứng thực hiện một dao động tắt dần với hệ số tắt dần
là
β
, tần số dao động riêng là
0
ω

- Phương trình dao động
( )
cosx A t
ω ϕ
= +
với
( )
( )
0
2
2 2 2 2
0
2 2
0
4
2
tan
F
A
m
ω ω β ω
βω
ϕ
ω ω

=

− +



ω ω ω ϕ ω ϕ ϕ
= − + = − + +   
   
∫ ∫
( )
2 2
0 0
2
2 2 2 2
0
sin
2
4
tb
F A F
P
m
ω ω β
ϕ
ω ω β ω
⇒ = =
 
− +
 
2- Ta viết lại :
2 2
0 0
0
2
2

4
tb
F
P m
m
β
=
23
3. Khi có cộng hưởng thì
2 2
0
2
ω ω β
= −
. Khi đó
( )
( )
2 2 2
0 0
2 2
0
2
4
ch
F
P
m
ω β
β ω β
−

−
=
−
Bài 3.3: Dưới tác dụng của ngoại lực thẳng đứng
0
cosF F t
ω
=
, một con lắc lò xo
thẳng đứng thực hiện một dao động cưỡng bức theo quy luật
( )
osx ac t
ω ϕ
= −
. Tìm
công của lực F sau một chu kỳ dao động. Chứng minh rằng công này đúng bằng
công sinh ra để thắng lực ma sát.
Lời giải:
- Vận tốc của vật:
( ) ( )
' sinv x t a t
ω ω ϕ
= =− −
- Công suất tức thời:
( ) ( )
0
cos sinP Fv F a t t
ω ω ω ϕ
= =− −
1- Công suất trung bình trong một chu kỳ:

sin sin
2
tb
F a
A P T F a
ω π
ϕ π ϕ
ω
= = × =
2- Công lực cản trong 1 chu kỳ
- Công suất trung bình của lực cản trong một chu kỳ:
2
0 0
1
T T
ctb c
P F vdt v dt
T T
α
= = −
∫ ∫
uurr

( )
2
2 2
0
sin
T
ctb

Công của lực cản trong một chu kỳ:

( )
2 2
2 2
2
2 1
2
c ctb
a
A P T a m a
α ω π
πα ω π β ω
ω
= = − × = − = −
Ta biến đổi công của lực F: Vì
( )
0
2
2 2 2 2
0
4
F
a
m
ω ω β ω
=
− +
24
( )

π ϕ π π β ω
= = × =
Từ (1) và (2)
c
A A⇒ = −
Bài 3.4: Khi tần số của ngoại lực là
1
ω
và
2
ω
, biên độ vận tốc của hạt bằng nửa giá
trị cực đại. Hãy tìm:
1. Tần số của ngoại lực ứng với cộng hưởng vận tốc.
2. Hệ số tắt dần và tần số dao động tắt dần của hạt.
Lời giải
- Phương trình dao động
( )
cosx A t
ω ϕ
= +

với
( )
( )
0
2 2
2
2 2 2 2
0

4
4
F F
V A
m
m
ω
ω
ωω ω β ω
ω β
ω
= = =
 
− +
− +
 ÷
 
( )
0
0 0
ax 2
2
ch
F
V m
m
ω ω
β
→ = ⇔ =
Từ (1) và (2) ta viết lại:

2
0
4 4
ω
β ω β
ω
 
⇒ = − +
 ÷
 
( )
2
2 4 2 2 4
2 4 2 2 4
0 0 0
0 0
2
2
12 2 6 0
ω ω ω ω ω
β ω ω ω β ω
ω ω
 
− +
⇔ = − = → − + + =
 ÷
 
- Theo Định Lý Viet:
( )
2 2 4

MỘT SỐ BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
QUỐC GIA, KHU VỰC VÀ QUỐC TẾ
Bài toán 4.1: Nghiên cứu dao động của con lắc trong môi trường có lực cản
c
F v
α
=−
ur r
. Giả thiết rằng
0
2m
α
β ω
= <<
.
1. Chứng minh rằng công thực hiện bởi lực cản trong mỗi chu kỳ chuyển
động xấp xỉ bằng
2 2
0
2 ( )f A t
π α
−
. Trong đó
0
f
là tần số dao động riêng còn A(t) là
biên độ dao động tại thời điểm t.
2. Các định phần năng lượng bị mất sau mỗi chu kỳ chuyển động.
3. Xác định số chu kì cần thiết cho năng lượng tiêu hao mất
2

A kA t e
β
−
= −
Vì
1T
β
<<
. Sử dụng công thức gần đúng
2
1 2
T
e T
β
β
−
≈ −
thay vào ta có
2
( )
C
A kA t T
β
=−
Chú ý rằng
0
0
1
,
2

urr
. Tuy nhiên phép biến đổi là khá dài.
2. Phần năng lượng bị mất sau mỗi chu kỳ chuyển thành công sinh ra để thắng
công của lực cản
2 2
0
W 2 ( )
C
A f A t
π α
∆ = − =
Ta viết lại:
2 2
2
0 0
4 4
1
W ( ) W( )
2
f f
kA t t
k k
π α π α
∆ = =
26
2
0
4W
W(t)
f

− −
= ⇒ =
.
Gọi N là số chu kỳ cần thiết thì t = NT
N
T
π
β
⇒ =
. Như vậy N = Q (hệ số
phẩm chất của hệ dao động).
Vậy hệ số phẩm chất của hệ dao động cũng là số chu kỳ cần thiết để năng
lượng của hệ giảm đi
2
535e
π
=
lần.
Bài toán 4.2: Nghiên cứu hệ số phẩm chất của một hệ dao động tắt dần
Ta quan tâm tới 1 thiết bị cơ học đặt trong hệ qui
chiếu phòng thí nghiệm được giả thiết là quán tính.
Hệ bao gồm viên bi khối lượng m có thể trượt
không ma sát trên trục nằm ngang. Bi được nối với 1 lò xo độ cứng k và chiều dài
tự nhiên là l
o
, một đầu lò xo được gắn cố định trên tường thẳng đứng. Bi còn được
gắn với 1 cái giảm sóc trên cùng bức tường, khiến bi chịu thêm 1ực theo dạng :
f v
α
=−

0
, ,Q
ω ω
và đưa ra điều kiện của
Q
. Vẽ dạng của x(t).
3.2. Trong trường hợp
1Q>>
. Tính
0
0 0
T TT
T T
−∆
=
theo hàm của Q. Trong đó T
là thời gian thực hiện một dao động toàn phần( “chu kỳ” của dao động tắt dần). còn
27