Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~~~ ~
Khai thác và phát triển
một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích
các hình tam giác
góp phần bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 5
I - Đặt vấn đề
Những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan đến
diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinh Tiểu
học nhng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học. Đây
chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản về
hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên.
Bên cạnh đó, tôi thấy một số giáo viên cha khai thác hết phơng pháp
dạy học "lấy học sinh làm trung tâm". Thực tế, nhiều giáo viên cũng đã chú ý
đến mảng kiến thức nay song cha "bài bản", giải nhiều bài tập nhng cha có
tính hệ thống. Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của đề bài nêu
ra là xong. Để phát triển khả năng t duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh
thì phơng pháp dạy học đó cha đạt hiệu quả cao. Với thực trạng nh thế, theo
tôi vai trò của ngời thầy giáo là hết sức quan trọng. Làm thế nào để học sinh
tiếp thu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy mình đợc "lớn lên" qua
các bài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề đặt ra của mỗi thầy cô giáo.
Trong phạm vi bài viết của mình, với vốn kiến thức còn ít ỏi, tôi muốn đa ra
một số vấn đề xây dựng một chuỗi bài tập về diện tích và các yếu tố có liên
quan đến diện tích của hình tam giác trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó
nhằm khai thác và phát triển tối đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó giúp học sinh tích cực suy nghĩ, tìm
tòi phát triển năng lực trí tuệ.
II - Nội dung
Để học sinh giải một số bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác
thì trớc hết giáo viên phải hớng dẫn học sinh biết áp dụng một số phơng pháp

+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).
Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản đợc đa ra trong sách giáo
khoa nh sau:
Ví dụ 1:
Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của cạnh
BC. Hãy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Kí hiệu S là diện tích.
Hai tam giác ABM và AMC
có chung chiều cao hạ từ A và có
đáy BM = MC nên: S
ABM
= S
AMC
.
Từ ví dụ trên ta có thể phát triển bằng cách
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang 2
A
B
M
C
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
kẻ thêm 2 đờng cao của hai tam giác AMB và AMC và yêu cầu so sánh 2 đờng
cao đó, ta sẽ đợc bài tập 1 nh sau:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. HB

Từ bài tập 1 ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới và
yêu cầu tính và so sánh diện tích các hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:
Bài tập 2: Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC
và N là điểm chính giữa của AC. Tính diện tích tam giác ABC. Biết diện tích
tam giác MNC là 2 cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Theo ví dụ 1 ta có:
S
ABM
= S
AMC
=
2
1
S
ABC
.
Lại có: S
MNC
=
2
1
S
MAC
(chung
đờng cao hạ từ M và NC =
2

(2)
A
B
M
C
N
A
B
H
K
M
C
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Vì MN // AB (gt) nên ABMN
là hình thang. Suy ra các đờng
cao hạ từ đỉnh A và B xuống
MN của 2 tam giác AMN và
BMN bằng nhau.
Mặt khác:
Hai tam giác AMN và BMN chung đáy MN nên S
AMN
= S
BMN
(1)
Lại có:S
AMN

)
Từ bài tập này ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới
và yêu cầu tính và so sánh độ dài các đờng cao; tính và so sánh độ dài các
cạnh đáy của hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = 4cm. Điểm M và N lần lợt là
điểm chính giữa của BC và AC. Tính đờng cao MK của tam giác MAB. Biết
S
ANC
= 4cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ta có: S
AMB
= S
AMC
(chung đờng
cao hạ từ đỉnh A; MB = MC);
S
MAN
= S
MNC
(chung đờng cao
hạ từ đỉnh M và MB = MC).
Mà S
MAC
= 2S
MNC
= 2

Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ta thấy: S
CNA
=
2
1
S
CMA
(chung
đờng cao hạ từ đỉnh C và AN =
2
1
AM)
S
AMC
=
2
1
S
ABC
(theo ví dụ 1) Ta suy ra S
CNA
=
4
1
S
ABC
(1)
Mà NAC và BAC có chung cạnh đáy AC nên theo (1)

CIA
*(chung đờng cao hạ từ C, MI =
2
1
IA).
Lại có, AIC và MIC chung đáy IC nên theo (*) thì MK =
2
1
AH. Từ đó suy
ra: S
MNC
=
2
1
S
ANC
(chung đáy NC và đờng cao MK =
2
1
AH). Mà S
MNB
= S
NMC
(chung đờng cao hạ từ N và đờng cao BM = MC (gt))
Do đó S
BMN
=
4
1
S

).
Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên
MA lấy điểm I sao cho IM =
2
1
AI. Kéo dài CI cắt AB tại N.
a/ Chứng tỏ N là điểm chính giữa của cạnh AB.
b/ Tính S
ABC
. Biết S
AIN
= 4cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Kẻ đờng cao AP của ANC
và đờng cao BH của BNC.
Ta thấy: S
IBM
= S
IMC
(chung
đờng cao hạ từ I và BM = MC)
Suy ra: S
IMC
=
2
1
S

IBN
(chung đờng cao hạ từ I và AM = BN).
Hay S
IAH
=
2
1
S
IAB
Mà S
BIM
=
2
1
S
BAI
(chung đờng cao hạ từ B và IM =
2
1
AI(gt)).
Nên S
IAN
= S
IBM
.
Mà S
BIM
=
3
1

=
6
1
S
ABC
. Hay S
ABC
= 6S
IAN
Vậy S
ABC
= 6 ì 4 = 24 (cm
2
)
Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên
AC lấy điểm N sao cho AN =
4
1
AC. Nối MN cắt BA kéo dài tại K.
a/ Tính S
ABC
biết S
AKN
= 50 cm
2
b/ So sánh KN và KM.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta có: S
NBM

Nên theo (1) ta có: S
KNB
= S
KNC
.
Mà S
KAN
=
3
1
S
KNC
(chung đờng cao hạ từ A và AN =
3
1
NC).
Hay S
KNC
= 3S
KAN
= 3 ì 5 = 150(cm
2
)
S
ANB
= S
KNB
- S
AKN
= 150 - 50 = 100(cm

).
Suy ra: S
NMC
= 300 : 2 = 150(cm
2
) (1).
Mà S
KNC
= 3S
KNA
= 3 ì 50 = 150(cm
2
) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: S
CNK
= S
CMN
(3).
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang 7
A
B
M
C
N
K
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~

1
S
BAK
(chung
đờng cao hạ từ B và HK = AK (gt)).
Mà S
ABK
=
2
1
S
ABC
(chung đờng cao hạ từ A và BK =
2
1
BC).
Suy ra: S
BHK
=
4
1
S
ABC
; Hay S
ABC
= 4 S
BHK
.
Vậy S
ABC

1
S
CHQ
(chung HQ) (2)
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang 8
A
B
K
C
H
E
Q
I
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Mà HAQ và HQC lại có lại có chung đờng cao hạ từ H nên từ (2) ta có
AQ =
2
1
QC.
c/ Ta có S
AHQ
=
2
1
S
CHQ

S
AHQ
=
12
1
S
ABC
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trên BC sao cho
AM = AC. Tính S
ABC
. Biết S
AMB
= 2cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Ta có: S
BAM
=
3
1
S
BAC
(chung đờng
cao hạ từ B và AM =
3
1
AC).

2
BCAH ì
;
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang 9
A
B
C
M
A
B
C
M
H
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
mà BC = 3cm (gt). AH =
)(4
3
232
3
32
3
2
cm
S
S
AMB

a/ Ta có: S
BHF
=
2
1
S
CHF
(chung đờng
cao hạ từ H và BF =
2
1
CF). (1).
Mặt khác 2 BHF và CHF có chung HF nên từ (1) ta có: BI =
2
1
CK.
Lại có BI và CK lần lợt là đờng cao của các tam giác BAH và CAH (2)
Mà BAH và CAH chung đáy nên từ (2) ta có: S
BAH
=
2
1
S
CAH
.
Hay S
CAH
= 2S
BAH
.

CAB
(chung đờng cao hạ từ C và AE =
3
1
AB).
Suy ra: S
ABC
= 3S
CAE
= 3 ì 21 = 63(cm
2
)
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang
10
A
B
C
K
H
E
F
I
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho
AM =
3

3
1
S
ABC
(chung đờng cao hạ từ A và BN =
3
1
BC).
Từ đó suy ra: S
ABM
= S
ABN
. Cùng bớt S
ABE
ta có: S
AEM
= S
BEN
(đ.p.c.m).
b/ Theo a/ ta có: S
AEM
= S
BEN
.
Mà S
EAM
=
2
1
S

BC. Nối AM và BH cắt nhau tại
O. Từ C kẻ đờng cao CE của tam giác COM, CF là đờng cao của tam giác
COH.
Tính CE và CF biết
4
3
=
OH
OM
và CE + CF = 14cm.
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang
11
A
B
C
K
H
N
E
M
A
B
C
O
H
F
E
M

=
3
1
AC. Trên BC lấy điểm N sao cho NB = NC. Nối BP và AN cắt nhau tại O.
Tính S
ABC
. Biết S
AOP
là a.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Kẻ đờng cao BD của tam giác BAN
và đờng cao CE của tam giác CAN.
Ta có: S
ABN
= S
ACN
(chung đờng cao
hạ từ A và BN = NC(gt)). (1)
Hai BAN và CAN có chung đáyAN nên từ (1) ta có: BD = CE. (2).
Xét hai tam giác ABO và ACO ta có:
AO chung.
BD và CE lần lợt là hai đờng cao của tam giác BOA và COA (3)
Từ (2) và (3) suy ra S
BOA
= S
COA
.
Mà S
OAC

Mà S
BAP
=
3
1
S
BAC
(chung đờng cao hạ từ B và AP =
3
1
AC).
Vậy S
ABC
= 3S
ABP
= 3 ì 4a = 12a.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AP
=
3
1
AB. Trên AC lấy điểm E sao cho EC =
3
1
AC. Nối AN, BE và CM cắt nhau
lần lợt tại các điểm K, F, H (hình vẽ).
a/ Chứng tỏ rằng S
MAH
= S
NBC
= S

1
NC).
2 ABN và ACN có chung đáy AN
nên đờng cao hạ từ B xuống AN bằng
2
1
đờng cao hạ từ C xuống AN.
Lại có S
BAH
=
2
1
S
CAH
(chung đáy AH và đờng cao hạ từ B xuống AH
bằng đờng cao hạ từ C xuống AH).
Suy ra S
CHA
= 2S
BHA
= 2 ì 3S
AMH
= 6S
AMH
.
Suy ra S
CMA
= 7S
AMH
Mặt khác S

H
E
F
C
N
K
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Lý luận tơng tự ta có: S
BNK
=
21
1
S
ABC
(2)
S
CEF
=
2
1
S
ABC
(3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra: S
MAH
= S
NBK
= S

Nên S
HKF
= 63 - (3 ì 6 + 3 ì 6 +3 ì 6 )
= 9(cm
2
)
Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho
AM =
3
1
AC. Nối AN, BM cắt nhau tại O.
a/ Chứng tỏ rằng S
AOC
= S
BOC
b/ Kẻ đờng cao OH của AOM và đờng cao OK của BON. Tính AC
và BC biết AC - BC = 3. Biết OK = 4; OH = 3.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Theo bài tập 3 ta có:
S
BON
= S
AOM
; S
ONC
= S
OMC
Mà S
AOC

O
H
N
M
K
Sáng kiến kinh nghiệm
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Mà hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đáy và chiều cao là hai đại l-
ợng tỷ lệ nghịch với nhau nên:
3
4
=
BC
AC
; AC - BC = 3 nên dựa vào dạng toán
tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó ta có:
AC = 3 ì 4 = 12
BC = 3 ì 3 = 9
Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho
AM =
3
1
AC. Trên phần kéo dài BA (về phía A) lấy điểm D sao cho AD = AB.
Nối D với M kéo dài cắt BC tại E.
a/ Tính S
ABC
biết S
ADM
= 60cm

DAM
=
2
1
S
DMC
(1) (chung đờng cao hạ từ D và AM =
2
1
MC)
S
MAD
= S
MAB
(theo a/) (2)
Mà S
MDA
+ S
MAB
= S
BDM
(3)
Từ (1); (2) và (3)và suy ra S
BDM
= S
CDM
(4)
Mặt khác 2 BDM và CDM có chung đáy DM nên từ (4) ta có đờng
cao hạ từ B của BDM và đờng cao hạ từ C của CDM phải bằng nhau. Hai
đờng cao này đồng thời cũng là hai đờng cao của 2 BME và CME (5).

EC lấy điểm F sao cho FC =
3
1
EC.
Tính S
EFM
. Biết S
ABC
là a?
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ta có: S
BMC
=
3
2
S
BAC
(chung
đờng cao hạ từ B và MC =
3
2
AC)
suy ra S
BMC
=
3
2
a
Mà S

2
EC)
Vậy S
MEF
=
aa
27
8
9
4
3
2
=ì
Nh vậy, từ một bài toán hình học đơn giản ở trong sách giáo khoa chúng
ta cố gắng khám khá, tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và thêm một số yếu tố thì ta
có thể phát triển thành một chuỗi bài tập đi từ đơn giản đến phức tạp. Với ph-
ơng pháp dạy học này làm cho học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi để phát triển
năng lực trí tuệ.
III - Kết luận
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~
Trang
16
B
A
C
M
E
F
Sáng kiến kinh nghiệm