Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
A - MỞ ĐẦU
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học là một trong bộ
môn khoa học được ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế
cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học không những
góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Có
thể nói toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong
nhà trường phổ thông, môn toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc
nâng cao kiến thức toán cho học sinh đương nhiên là cần thiết.
Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có
thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm được lượng kiến thức khá
rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo.
Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không
phải kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra
được. Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài
tập quan trọng, cách mở rộng cũng nhiều hướng khác nhau.
Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn.
Tương tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phương pháp giải.
Đặc biệt hoá để đưa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ
đơn giản là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hướng dẫn học
sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài
toán. Điều đó thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài.
“ Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi
dưỡng học sinh khá giỏi”.
II - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết bài
toán khó này đến bài toán khó khác mà chưa nâng cao được nhiều năng lực
toán học. Mà theo quan niệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dưỡng học
sinh giỏi môn toán cần phải:

3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+2
8
+ 2
9
+ 2
10

(Bài 210 trang 27 SBT Toán 6 tập 1)
Lời giải:
Ta có: A = (2 + 2
2
)+ (2
3
+ 2
4
)+ (2
5
+ 2
6
)+ (2
7

3
+ 2
4
+ +2
57
+ 2
58
+ 2
59
+2
60
.
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
2
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Lời giải:
Tương tự như Bài toán 1.
Bài toán 1.2: Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
57
+ 2
58
+ 2

5
+ 2
6
) + + (2
58
+ 2
59
+2
60
)
= 2.(1 + 2 + 2
2
) + 2
4
.(1 + 2 + 2
2
) + + 2
58
.(1 + 2 + 2
2
)
= 2.7 + 2
4
.7 + + 2
58
.7
=> A chia hết cho 7. (1)
A = 2 + 2
2
+ 2

3
) + + 2
57
. (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
).
= 2.15 + + 2
57
.15
=> A chia hết cho 15. (2)
Vì (7, 15) = 1 nên kết hợp (1) và (2) suy ra A chia hết cho 105.
Nhận xét:
Với A = 2 + 2
2
+ + 2
n

a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các số hạng n là số
chẵn.
b) Bài toán 1.2 đúng khi số các số hạng n chia hết cho 3 và 4. Từ đó
suy ra n chia hết cho 12
Bài toán 1.3:
Chứng minh rằng: 2
0
+ 2
1
+ 2
2

Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
3
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + 2
5
(1+ 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + 2
5. 2
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + + 2
5(n - 1)
(1 + 2 + 2
2

2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
5n - 3
+ 2
5n - 2
+ 2
5n - 1
chia hết cho 31.
Bài toán 1.4:
a) Tính tổng S
n
= 1 + a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n

b) Áp dụng tính các tổng sau:
S = 1 - 2
1
+ 2
2
- 2

= n + 1.
Khi a ≠ 1 ta có: a.S
n
= a + a
2
+ + a
n
+ a
n + 1

Suy ra: a.S
n
- S
n
= a
n + 1
- 1
S
n
= (a
n + 1
- 1) / (a - 1)
b)
S
100
= 1 + a
1
+ a
2
+ a

1999
- 3
2000
= 3. (1 - 3 + 3
2
- 3
3
+ +3
1998
- 3
1999
)
= 3. [(- 3)
2000
- 1] / [-3 - 1] = 3. ( 3
2000
- 1)/ - 4
Bài toán 1.5:
a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với:
A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
20

b) Chứng minh rằng 2.A + 3 là một luỹ thừa của 3 với:
A = 3 + 3

Bài toán 1.7:
Cho S = 2 + 2
2
+ 2
3
+ +2
2000
. Hỏi S có chia hết cho 6 không?
Bài toán 1.8:
Chứng minh rằng tổng:
P = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ 3
5
+ 3
6
+ 3
7
+ 3
8
+ 3
9
chia hết cho 13.
II. PHẦN ĐẠI SỐ:
Trong chương trình Đại số 8, ở học kỳ I, học sinh được học về các
hằng đẳng thức đáng nhớ, trong đó:

2

Lời giải:
x
2
+ 2( x + 1)
2
+ 3( x + 2)
2
+ 4( x + 3)
2

= 10x
2
+ 40x + 50
= (x
2
+ 10x + 5 ) + ( 9x
2
+ 30x + 25 )
= ( x + 5)
2
+ ( 3x + 5)
2

Bài 2: Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương.
( a + b + c)
2
+ a
2

nghiệp vụ sư phạm
Hướng dẫn:
4x
2
- 16x + 16 + y
2
+ 4y + 4 = 0
( 2x - 4)⇔
2
+ ( y + 2)
2
= 0 ⇔



−=
=
⇒



=+
=−
2
2
02
042
y
x
y

=+
3
5
5
053
05
x
x
x
x
Vậy không có giá trị nào của x để vế trái bằng 0.
Bài 5: Tìm x, y biết:
4x
2
- 16x + y
2
+ 4y + 24 = 0
Hướng dẫn:
4x
2
- 16x + 16 + y
2
+ 4y + 4 + 4 = 0
( 2x - 4)⇔
2
+ ( y + 2)
2
+ 4 = 0
VT ≥ 4 với mọi giá trị của x, y.
=> Không có giá trị nào của x, y thoả mãn bài tán.

ba
<=> a = b = c
Học sinh có thể phân tích đề bài: phá ngoặc chuyển vế ta được:
a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca ta suy ra được bài toán mới
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca thì a = b = c.
Dựa vào kết quả bài 6, học sinh tự giải
Với hướng dẫn như bài tập 7 ta có thể đưa ra một loạt bài tập có
phương pháp làm tương tự.
Bài 8: Chứng minh rằng nếu (a + b)
2
= 2.(a
2
+ b
2
) thì a = b.
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
6
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài

2
+ c
2
≥ ab +
bc + ca
Hướng dẫn:
Cách 1: Nhân 2 vế với 2, làm tương tự bài 7 (biến đổi tương đương).
Cách 2: (a + b + c)
2
- (ab + bc + ca) =
( ) ( ) ( )
[ ]
222
2
1
accbba −+−+−
≥ 0 =>
đpcm
Cách 3: Phương pháp phản chứng.
Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có:
ca
ac
bc
cb
ab
ba
≥
+
≥
+

+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b + c)
2
- 2(ab + bc + ca)
ta có a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 3(ab + bc + ca).
b)
ta có
( )
( )
2
222
2
cbacba
cabcab
++−++
=++

nghiệp vụ sư phạm
<=> (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
Ta có thể khai thác những bài toán dạng này theo hướng khác là
dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài 14: (Suy ra từ bài 5)
Tìm giá trị bé nhất của A = 4x
2
- 16x + y
2
+ 4y + 24
Hướng dẫn:
A ≥ 4, min A = 4 khi x = 2, y = -2
Bài 15: Tìm giá trị bé nhất(lớn nhất) của các biểu thức:
P = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 2y + 45
Q = -x
2
+ 2xy - 4y
2

xf
có GTNN bằng
10
1
khi x = 3, y = 2.
Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức:
B = (x + 5)
2
+ (3x + 5)
2
(bài tập số 1)
Hướng dẫn:
B = 10x
2
+ 40x + 50 = 10(x
2
+ 4x + 4) + 10 = 10(x + 2)
2
+ 10
≥
10
Min B = 10 khi x = -2.
Xây dựng trường hợp tổng quát:
Xét đa thức ax
2
+ bx + c, ta có:
F(x) = ax
2
+ bx + c = a(x +
a

a
b
2
Nếu a < 0 thì F(x)
≤
-
a
acb
4
4
2
−
=> Max F(x) = -
a
acb
4
4
2
−
khi x = -
a
b
2
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
8
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
Bài 17: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = (x - a)
2

)(
2
cba ++
khi x =
3
cba ++
III - PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho
∆
ABC, các đường phân giác của các góc
B
ˆ
và
C
ˆ
gặp nhau tại S,
các đường thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài
B
ˆ
và
C
ˆ
gặp nhau tại E.
Chứng minh rằng:
a) BSCE là tứ giác nội tiếp.
b) 3 điểm A, S, E thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) CS là tia phân giác trong của
C
ˆ

Vì SBEC là tứ giác nội tiếp =>
21
ˆˆ
EE +
=
21
ˆˆ
CC +
=
2
1
(
CB
ˆ
ˆ
+
)
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
9
A
E
C
B
S
1
1
2
2
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm

ˆ
= 180
0
e) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Nhận xét 4:
O nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC, S là tâm đường tròn nội
tiếp
∆
ABC, E là tâm đường tròn bàng tiếp, OE = OS.
f) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp với tâm đường
tròn bàng tiếp của tam giác bị đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia thành
hai phần bằng nhau.
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O, đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ hai tiếp
tuyến Cx, Dy. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường
tròn đó cắt Cx, Dy lần lượt tại A, B.
Chứng minh rằng: AOB = 90
0
.
Hướng dẫn:
(Có nhiều cách giải)
Ta có AE, AC là các tiếp tuyến
=> AO là tia phân giác của COE
Tương tự: BO là tia phân giác của EOD
Mà COE và EOD là hai góc kề bù
=> AO BO => AOB = 90⊥
0
.

=> AMB = ACD = 90
0
3) Trường hợp M ≡ D
Chứng minh tương tự trường hợp M ≡ C
=> AMB = 90
0
.
4) Trường hợp M ≠ O, C và D ta có bài toán sau:
Cho E là một điểm nằm trên (O,
2
CD
), M bất kỳ thuộc đoạn CD,
(M ≠ O, C và D)
Đường thẳng vuông góc với ME cắt 2 tiếp tuyến Cx, Dy của (O) lần lượt
tại A và B.
Chứng minh rằng: AMB = 90
0
.
Chứng minh tương tự bài trên:
Tứ giác BMED nội tiếp
=> EBM = EDM.
ECM + EDM = EAM + EBM = 1v
AMB = 90
0
.
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
11
yx
CA ≡
DM ≡

phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường
tròn. Lấy C, D lần lượt thuộc Ax, By sao cho CD = AC + BD.
Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Bài toán này có thể giải được dựa trên ý tưởng là xét hai tam giác
bằng nhau để rút ra các yếu tố tương ứng của chúng bằng nhau.
Lời giải:
Trên tia đối của tia BD đặt điểm K sao cho: BK = AC.
Từ đó ta có DK = DB + BK = DB + AC = CD.
Từ
∆
OAC =
∆
OBK có OC = OK.
Dễ thấy
∆
OCD =
∆
OKD (c.c.c).
Vẽ OM vuông góc với CD, ta có các đường cao tương ứng OM =
OB suy ra CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB.
Nhận xét:
Từ lời giải bài toán này cũng suy ra được COD = 90
0
và AC.DB =
R
2
ta lập được 3 bài toán như sau:
Bài 3.1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, Ax và By là các tiếp
tuyến của nửa đường tròn. Vẽ CD là tiếp tuyến với đường tròn đường kính
AB sao cho C thuộc Ax, D thuộc By.

2
.
Chứng mịnh
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Từ giả thiết của bài toán 3: CD = AC + DB ta suy ra các đường tròn (C,
CA) và (D, DB) tiếp xúc nhau tại M thuộc CD. Vì AC vuông góc với AB
và BD vuông góc với AB ta có AB là tiếp tuyến của các đường tròn (C,
CA) và (D, DB) do vậy bài toán 3 tương đương với bài toán sau:
Bài toán 3' :
Cho hai đường tròn tâm C và tâm D tiếp xúc ngoài và AB là tiếp
tuyến chung ngoài của hai đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Việc tổ chức dạy học sáng tạo bằng cách sử dụng các biện pháp nêu trên
không những giúp cho học sinh hiểu sâu nắm vững kiến thức lôgíc của bài
toán, biết cách "chuyển hoá" ngôn ngữ thông qua sử dụng hệ thống khái
niệm.
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
13
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
C. BÀI SOẠN - TIẾT 1: PHẦN HÌNH HỌC
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bày lời giải bài toán hình.
- Rèn tư duy toán thông qua khai thác, mở rộng các bài toán.
- HS tăng cường năng lực sáng tạo, tính tự học, tự nghiên cứu.
- Rèn tính cẩn thận, chính xác trong làm bài.
B. Chuẩn bị:
Giáo viên: Máy chiếu, thước thẳng, com pa.

GV đưa đề bài lên máy chiếu.
HS đọc bài, nêu GT, KL
HS nêu cách chứng minh tứ giác
BSCE nội tiếp.
(SCE + SBC = 180
0
)
Chứng minh SCE = 90
0
như thế
nào?
Tương tự ta có điều gì?
Bài 1:
.
Lời giải:
a) CS là tia phân giác trong của
C
ˆ
CE là tia phân giác ngoài của
C
ˆ
=> SCE = 90
0
.
Chứng minh tương tự SCE = 90
0
.
=> Tứ giác SBEC nội tiếp
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
14

21
ˆˆ
EE +
= ?
Do đó ta có câu hỏi d.
So sánh BOC và Ê?
So sánh BOC và
B
ˆ
+
C
ˆ
?
Tính BOC +
A
ˆ
= ?
Từ đó ta có câu e.
Từ câu e có nhận xét gì về vị trí của
vì SCE + SBC = 180
0
b) S là giao điểm của 3 đường phân
giác trong, E là giao điểm của 2
đường phân giác ngoài của
B
ˆ
và
C
ˆ
thuộc

ˆ
+
)
=> Câu hỏi tiếp:
d) Chứng minh rằng BEC =
2
1
(
CB
ˆ
ˆ
+
)
• Nhận xét 3:
BOC = 2
E
ˆ
=
B
ˆ
+
C
ˆ
mà
CBA
ˆ
ˆ
ˆ
++
=

GV lưu ý cho HS:
- Tìm hiểu kỹ bài toán, vẽ hình chính xác.
- Biết cách phân tích, tổng hợp, khai thác bài toán.
5. Hướng dẫn:
- Xem kỹ bài tập đã làm trên lớp, cách khai thác bài toán.
- Làm bài tập sau:
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O, đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ hai tiếp
tuyến Cx, Dy. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường
tròn đó cắt Cx, Dy lần lượt tại A, B.
Chứng minh rằng: AOB = 90
0
.
Hãy xét bài toán trong trường hợp thay điểm O bởi điểm M bất kỳ
nằm trên đường thẳng CD.

Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
16
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
D - KẾT LUẬN
Ở phần trên tôi đã đưa ra phương pháp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
bằng cách hình thành cho học sinh năng lực học toán mới ở mức độ nâng
cao, mở rộng các kiến thức. Nhưng để thực sự là một học sinh giỏi toán thì
học sinh phải có kỹ năng tìn tòi lời giải bài toán, không bao giờ bằng lòng
và dừng lại với phương pháp giải hiện có mà luôn luôn mong muốn tìm tòi,
sáng tạo những lời giải hay, hấp dẫn hơn.
Vì vậy tôi nghĩ hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cachs suy nghĩ,
cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội để giáo viên trang bị cho học sinh một
số tri thức phương pháp: Phương pháp giải toán - phương pháp toán học

Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
18
Trường đại học sư phạm Hà Nội Đề tài
nghiệp vụ sư phạm
MỤC LỤC
Trang
A. Mở đầu 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
B. Nội dung 2
I. Phần số học 2
II. Phần đại số 4
III. Phần hình học 9
C. Bài soạn 14
D. Kết luận 17
Tài liệu tham khảo 18
Lớp Toán - ĐHSP - Khoá 7
19