Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
1
A - MỞ ĐẦU

I. Lý Do Chọn Đề Tài
Như chúng ta đã biết toán học là một trong các bộ môn khoa học
được ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế cuộc sống đã
làm nảy sinh các kiến thức toán học. Có thể nói toán học là cơ sở của
nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong nhà trường phổ thông, môn
toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc nâng cao kiến thức toán
cho học sinh là cần thiết.
Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có
thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm được lượng kiến thức khá
rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo.
Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không
phải kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra
được. Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài
tập quan trọng, cách mở rộng cũng nhiều hướng khác nhau.
Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn.
Tương tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phương pháp giải.
Đặc biệt hoá để đưa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ
đơn giản là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hướng dẫn học
sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài
toán. Điều đó thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài.
“Khai thác bài tập trong sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh
khá giỏi”.
II Nhiệm vụ nghiên cứu:
Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết bài
toán khó này đến bài toán khó khác mà chưa nâng cao được nhiều năng
Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
2

+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+2
8
+ 2
9
+ 2
10

(Bài 210 trang 27 SBT Toán 6 tập 1)
Lời giải:
Ta có: A = (2 + 2
2
)+ (2
3
+ 2
4
)+ (2
5
+ 2
6
)+ (2
7
+2
8
)+ (2

+ 2
7

+ 2
9

)
Vậy A chia hết cho 3.
Từ bài toán này ta giải được một số bài toán sau:
Khai thác 1: Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
99

+ 2
100 Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Khai thác 2: Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2

) + (2
4
+ 2
5
+ 2
6
) + + (2
58
+ 2
59
+2
60
)
= 2.(1 + 2 + 2
2
) + 2
4
.(1 + 2 + 2
2
) + + 2
58
.(1 + 2 + 2
2
)
= 2.7 + 2
4
.7 + + 2
58
.7
=> A chia hết cho 7.

6
+ 3
7
+ 3
8
+ 3
9
chia hết cho 13.
Bài toán 2:
Tính tổng S
n
= 1 + a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n

Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
4
Lời giải:

Xét tổng S
n
= 1 + a
1
+ a
2

-1)
(a-1)

Bài toán tương tự:
a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với:
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
20

Lời giải:

Theo bài toán 2 ta có: 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
20
=
2
21

-1
2-1

-1
3-1
=
3
101

-1
2

 A +1 =
3
101

-1
2
 2A +2 = 3
101

-1 hay: 2.A + 3 = 3
101
Trong chương trình Đại số 8, ở học kỳ, học sinh được học về các hằng
đẳng thức đáng nhớ, trong đó:
A
2
+ 2AB + B
2
= ( A + B )

2
+ 4( x + 3)
2

Lời giải:
x
2
+ 2( x + 1)
2
+ 3( x + 2)
2
+ 4( x + 3)
2

= 10x
2
+ 40x + 50
= (x
2
+ 10x + 5 ) + ( 9x
2
+ 30x + 25 )
= ( x + 5)
2
+ ( 3x + 5)
2

Bài 2: Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương.
( a + b + c)
2

Hướng dẫn:
4x
2
- 16x + 16 + y
2
+ 4y + 4 = 0


( 2x - 4)
2
+ ( y + 2)
2
= 0













2
2
02
042








3
5
5
053
05
x
x
x
x

Vậy không có giá trò nào của x để vế trái bằng 0.
Bài 5: Tìm x, y biết:
4x
2
- 16x + y
2
+ 4y + 24 = 0
Hướng dẫn:
Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
6
4x
2
- 16x + 16 + y

Tương tự bài toán trên ta có:

Bài 6.2: Chứng minh rằng nếu (a + b)
2
= 2.(a
2
+ b
2
) thì a = b.
Giải:
(a+b)
2

=2(a
2

+ b
2

)
 a
2

+ 2ab + b
2

= 2a
2

+ 2b


-2a +1 + b
2

-2b +1 + c
2

-2c +1 = 0
 (a-1)
2

+ (b-1)
2

+ (c-1)
2

= 0
 a=1, b=1, c=1.
Bài 6.4: Cho (a + b + c)
2
= 3(ab + bc + ca), chứng minh rằng a = b = c .

Bài 6.5:
Cho (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (a - c)
2

2

+2ac - c
2

+ ab - b
2

-ac + bc = 0
 a
2

+ b
2

+ c
2

= ab + bc + ca
Từ đó theo bài toán 6.1 ta có a=b=c

Bài 6.6: Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, chứng minh rằng x = y = z.
Từ bài toán 6 ta có bài toán tổng quát hơn như sau:
Bài 7: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2

 0
 2( a
2

+ b
2

+ c
2

)  2(ab+bc+ca)  a
2

+ b
2

+ c
2

 ab+bc+ca
Từ bài 7, ta có thêm một số bài toán mới:
+ Xét trường hợp đặc biệt hơn: cho c = 1
ta có a
2
+ b
2
+ 1  ab + b + a
+ Kết hợp với hằng đẳng thức:
(a + b + c)
2




2
222
2
222
cbacba
cba


Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
8
 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)  (a + b + c)
2
- (a
2
+ b
2
+ c
2
)
Ta có
Bài 7.2: Chứng minh: (a + b + c)

R = x
2
- 2xy + 4y
2
- 2x - 10y + 3
Hướng dẫn:
P = (x- 6 - y)
2
+ 5(y - 1)
2
+ 4  4 => min P = 4 khi x = 7, y = 1
Q = 10 - (x - y +1)
2
- 3(y + 2)
2


10 => max Q = 10 khi x = -3, y = -2.

Bài 10: Tìm GTNN của biểu thức:
B = (x + 5)
2
+ (3x + 5)
2

Hướng dẫn:
B = 10x
2
+ 40x + 50 = 10(x
2

+ bx + c

-
a
acb
4
4
2

 Min F(x) = -
a
acb
4
4
2

khi x = -
a
b
2

Đồn Ngọc Tâm - THCS Trần Phú, Pleiku
9
Nếu a < 0 thì F(x)

-
a
acb
4
4

-2y + 3 = (y-1)
2

+2  2 với mọi y, dấu xảy ra khi: y = 1
x
2

+2x +4 = (x+1)
2

+3  3 
6
x
2

+2x+4
 2 với mọi x, dấu = xảy ra khi
: x=-1
Do đó phương trình có nghiệm ( x=-1; y=1)

Bài 12:
Tìm giá trò nhỏ nhất của A =
200245
22
 yxxyyx

Giải:
Ta có: 4A = 80081620444
22
 yxxyyx

+ 2 y
2

+4xy-26 - (x+y)
2 = (z+x+y)
2

+ 2x
2

+ 2xy + y
2

-26
= (z+x+y)
2

+ (x+ y)
2

+ x
2

-26  -26
Dấu = xảy ra khi x+y+z=0, x+y=0,x=0 hay x=0,y=0, z=0
Vậy giá trò nhỏ nhất của A là -26 khi x=0, y=0, z=0


4 - Toán nâng cao và chuyên đề hình học 9: Nguyễn Ngọc Đạm,
Nguyễn Việt Hải, Vũ Dương Thụy
5 - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp 2: Võ Đại Mau