Nông Văn Đàm
Tài liệu tham khảo
Hàm số lợng giác của một số cung đặc biệt
Góc sin Cos tan cot
0(0
o
) 0 1 0
P
( )
0
6
30

1
2
3
2
3
3
3
( )
0
4
45

2
2
2
2
1 1
( )

3
3
3

( )
0
3
4
135

2
2
-
2
2
-1 -1
( )
0
5
6
150

1
2
-
3
2
-
3
3

1 tana.tanb
tana tan b
. tan(a b) (6)
1 tana.tanb
a,b
2


+ + +
ữ

k ; a b k
2
1
N«ng V¨n §µm
2 . C«ng thøc nh©n ®«i
. C«ng thøc nh©n ®«i
=
= −
= −
= −
π π π
 
= ± + π ≠ +
 ÷
−
 
2 2
2
a

.cos cos 2cos .cos (16)
2 2
.cos cos 2sin .sin (17)
2 2
. sin sin 2sin .cos (18)
2 2
. sin sin 2cos .sin (19)
2 2
α +β α −β
α + β =
α +β α −β
α − β = −
α + β α −β
α + β =
α + β α − β
α − β =
+
2
1 cos2a
cos a (10)
2
+
=
+
2
1 cos2a
sin a (11)
2
−
=

2
1
1 cot , k ,k
sin
+ =

Z
.
c.
tan .cot 1, k ,k
2

= Z
.
3. Giá trị LG của cung có liên quan đặc biệt.
3.1- Cung đối nhau:
&
.
.
cos( ) cos

=
.
= tan( ) tan
.
sin( ) sin

=
.
= cot( ) cot
.
sin cos
2


=
ữ

.
cos sin
2


=
ữ

.
tan cot
2


=
ữ

.
cot tan
2


= +



= +

Â
3) tanu =tanv
u v k

= +
(
k

Â
) 4) cotu =cotv
( )u v k k

= + Â

*) chú ý: các trờng đặc biệt
a. sinu = 0
( )u k k

= Â
b. sinu =1
2 ( )
2
u k k


= + Â
h. tanu = 0
( )u k k

= Â
i. tanu = -1
( )
4
u k k


= + Â
k. cotu =1
( )
4
u k k


= + Â
3
Nông Văn Đàm
II-phơng pháp giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp
1. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác
*)Dạng1 : cos
2
u + b cos u +c = 0 ; asin
2
u +bsinu + c = 0 (a

0 ; u là biểu thức theo x )


0)
+) Điều kiện để phơng trình có nghiệm : a
2
+b
2


c
2
+)Điều kiện để phơng trình vô nghiệm : a
2
+b
2

p
c
2
Cách giải : chia cả hai vế phơng trình (1) cho
2 2
a b+

Ta đợc :
2 2
a b
a
+
sinu +
2 2
b


+
) =
2 2
c
a b+
3. Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinu và cosu ( u là biểu thức theo x)
Dang tổng quát : asin
2
u +bsinu.cosu + ccos
2
u = d (a,b,c
Ă
) (1)
Cách giải 1 : chia cả hai vế của phơng trình cho cos
2
u

0 ta đợc phơng trình bậc hai :
(a-d)tan
2
u + b tanu + c d = 0 sau đó thử u=
2
k


+
xem có nghiệm không .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc :



(2)

At
2
+ Bt + C = 0 ( với A = b ; b =2a ; C = -b- 2c)
Giải ra t, suy ra phơng trình cơ bản.
Chú ý: Trờng hợp a(sinx cosx )+ bsinxcosx = c
Ta đặt t=sinx cosx và giải tơng tự
4
Nông Văn Đàm
III-Các bài tập cơ bản.
A. Phơng trình lợng giác cơ bản
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây :
a. cos(x+
4

) = 0 b. tan(
3

- 2x) = 0
c. Cot(4x +
3

) = 1 d. sin(2x -
4

) = 0
e.
( )


) + cosx = 0
Bài 3. Giải các phơng trình sau đây :
a. tan( 4x +
3

) + cot(2x +
4

) = 0 b. sin
2
(3x-
3

) = cos
2
(
4

- x)
c. sin(3x +
3

) + sin(
3
2

- 3x) =
3
d. cos(3x +



c. cos6x.cos2x = sin7x.sin3x d. cos
2
x + cos
2
3x + cos4x = 2
B. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 5: Giải các phơng trình sau ;
a. Sin2x +
3
cos2x = 1 b. 2sin
2
x +
3
Sin2x = 3
c. sinx +
3
cosx + 2sin(
6

- x) =
2
( x

[ ]

3;0
);
C. phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác

3

) = 0
D . Phơng trình đẳn cấp đối với sinx và cosx.
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
a. 4sin
2
x +
3
Sin2x + 2 cos
2
x = 4
b. 3sin
2
x -
3
cosxsinx +2cos
2
x 2 = 0
c.
2 3
cos
2
x + 6sinx.cosx = 3 +
3

5