Bồi dỡng toán 6
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN
S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th
khụng cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp
hp con ca tp hp B, kớ hiu l A

B hay B

A.
Nu A

B v B

A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A
c A
h A
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.


N* 0 N*
Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập
hợp đó
a. A =
{ }
49 ;; 7;5;3;1
b. B =
{ }
99; ;44;33;22;11
c. C =
{ }
99 ;; 12;9;6;3
d. D =
{ }
100 ;; 15;10;5;0
Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp
đó
a.A =
{ }
49;36;25;16;9;4;1
b.B =
{ }
37;31;25;19;13;7;1

{ }
1;4;9;16;25;36;49;64;81;100A ={ }

3/ xNx
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 7. Cho A =
{ }
3;2;1
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A

B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B =
{ }
4;3;2;1
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b.Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ
số , C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận
cùng bằng 5 . Dùng kí hiệu

và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bồi dỡng toán 6
Bài 12 . Cho tập hợp A =

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a)
{ }
1;3;5A =
;
{ }
1;3;7B =
b)
{ }
,A x y=
;
{ }
, ,B x y z=
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu
; .A B A B
Hãy viết các tập con thực sự của
tập hợp
{ }
1;2;3B =
Bài toán 4: Cho các tập hợp
{ }
1;2;3;4A =
;
{ }
3;4;5B =
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp
{ }

. Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy.
Bài toán 14: Cho
{ }
7. 3; ; 150A x N x q q N x= = +
.
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho
{ }
1;13;21;29;52M =
. Tìm
;x y M
biết
30 40x y< <

Bài toán 10: Cho a)
{ }
1;2A =
;
{ }
1;3;5B =
b)
{ }
,A x y=
;
{ }
, , ,B x y z t=
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Bồi dỡng toán 6
Các phép toán trong N
1. Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn.

125.18 g) 123. 1001
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 463 + 318 + 137 + 22
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12

Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4
c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c
= a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c
+ d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
6. 38. 63 + 37. 38
b) 12.53 + 53. 172 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45
d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
*Chỳ ý: Mun nhõn 1 s cú 2 ch s vi 11 ta
cng 2 ch s ú ri ghi kt qu vỏo gia 2 ch
s ú. Nu tng ln hn 9 thỡ ghi hng
Bồi dỡng toán 6
n v vỏo gia ri cng 1 vo ch s hng
chc.
vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759
*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 2 ch s vi

khong cỏch - s u
a. vy s th 100 = (100-1) .3 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S
2
= 101+ 103+ . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là
2 1k +
, k

N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là
2k
, k

N)
Båi dìng to¸n 6

3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các
chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a)
ab1
+ 36 =
1ab
;
b)
abc
+
acc
+
dbc
=
bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự
nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng
4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì

2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc
1,ch s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s
ú.
5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v
s chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng
do nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s
hng n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s
phi tỡm vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B
cho 13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng
l 233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng
khụng i v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a)
1 2 3 4 n
+ + + + +
b)
2 4 6 8 2.n

b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh
1.1 2.2 3.3 1999.1999B
= + + + +
c) Tính nhanh :
1.2.3 2.3.4 48.49.50.C = + + +
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a)
3;8;15;24;35;
b)
3;24;63;120;195;
c)
1;3;6;10;15;

d)
2;5;10;17;26;
e)
6;14;24;36;50;
g)
4;28;;70;130;
Bài toán 7: Cho dãy số
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + +
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho
1 2 3 4
1 2; 3 4 5; 6 7 8 9; 10 11 12 13 14; S S S S= + = + + = + + + = + + + +
. Tính
100
S
.

c s c s
A =
b)
{ {
2005 . 2005 .
33 3.33 3
c s c s
B =

Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp
a. 111222 b. 444222 c. A=
{
11 122 2
n
123
c.s1
n c.s2

Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho
0 .a b c< < <
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659
là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho
7 10 13 100S = + + + +
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S

Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng
nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm năm chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9
lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0
đó thì số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng
chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu
giữa số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297
Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765 5
+8 +11 +14 + + 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25 13 . 8 .
250
c. ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435
+ 213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560) 1972 –
( 368 + 972)
e. 364 – ( 364 – 111) 249
– ( 75 – 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau
a. 1+2+3+4+5+ +n e.

2x – 138 = 2
3
. 3
2
c.
231 - (x – 6 ) =1339 :13
d.
10 + 2x = 4
5
: 4
3
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)
3
]
5
= 15
0

c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 3
8

+ 315
Bµi 5. TÝnh nhanh
a.
110
58.168168.168 −
74.13
37).91211.456( +
b.
432.48.864
96.43248.864 −
15.4528
1716.45
+
−
c.
7255.43753650
7254375.7256
+
−
14.7413.26
7).315372(3).372315(
+
+++
d.
1979.19781979.1980
195821.19801979.1978
−
++
181614 642
55.2745.27

2
+ 2
0
4.
24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5.
5
6
: 5
3
+ 3 . 3
2
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
6.
20 + 22 + 24 + 96 + 98
H = 3
0
+ 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ 3
0
. 3
1
. 3
2

. 14
11.
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1. Đònh nghóa:
n
a =
a.a……….a ( n
∈
N*)
n thừa số
2. Quy ước: a
1
= a ; a
0
= 1 ( a
≠
0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:
. ( , *)
: ( , *, , 0)
m n m n
m n m n
a a a m n N
a a a m n N m n a
+
−
= ∈

3000
; b) 125
5
với 25
7
; c)9
20
với 27
13
d)3
54
với 2
81
;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 8
4
.16
5
.32; d) 27
4
.81
10
;
4.So sánh: a) 10
30
với 2
100
; b) 5
40

> b
n
(n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c (với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
b, a . a . a + b . b . b . b =
c, 16
6
: 4
2
d, 17
8
: 9
4
e, 125
4
: 25
3
f, 4
14
. 5
28
= (g,
12
n
: 2
2n
= h. 8

25 .125
d)
3 8 4
64 .4 .16
a)
5 .5 .5x x x
b)
1 2 2006
. x x x

c)
4 7 100
. . x x x x
d)
2 5 8 2003
. . x x x x
a)
8 6
3 :3
; ;
7 3
19 :19
10 3
2 :8
;
7 7
12 : 6
;
5 3
27 :81

e)
2
12 :2
n n
g)
4 5 20
64 .16 : 4
Bài tập 2:
Tính giá trị biểu thức.
a, 3
8
: 3
4
+ 2
2
. 2
3
b, 3 . 4
2
2 . 3
2
c,
6 4 5
12
4 .3 .9
6
d,
2
3
21 .14.125

104.
65.13.
2
22
8
1010
+
y. ( 125
3
. 7
5
175
5
: 5 ) : 2001
2002

k. 16 .64 .8
2
: ( 4
3
. 2
5
. 16)
Bài 4. Cho A = 5. 4
15
. 9
9
4. 3
20
. 8

8
1010
+
b) (1 + 2 ++ 100)(1
2
+ 2
2
+ + 10
2
)(65 . 111 13 . 15 . 37)
a)
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A
+
=
b)
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
B
+
=
c)
9 4
4
4 .36 64

35 .6
G =
h)
3 4 2
5
45 .20 .18
180
H =
i)
22 7 15
14 2
11.3 .3 9
(2.3 )
I

=
Bài tập 5: Tìm x N biết
a, 2
x
. 4 = 128 b, x
15
= x 1
c, (2x + 1)
3
= 125
d, (x 5)
4
= (x - 5)
6


< 81 25

5
n


125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2
x
. 4 = 128
b. x
15
= x
c. ( 2x + 1 )
3
= 125
d. ( x 5 )
4
= ( x 5 )
6
e. x
2006
= x
2
Bài 4 : Tìm
x N
biết
a)
3 .3 243

3 25 26.2 2.3
x
+ = +
l)
49.7 2041
x
=
m)
5
64.4 4
x
=

n)
3 243
x
=
p)
4 7
3 .3 3
n
=
Bài 6: Tìm
n N

biết:
a)
9 3 81
n
< <

. 7 = 224 b) (3x + 5)
2
=
289
c) x. (x
2
)
3
= x
5
d) 3
2x+1
. 11 = 2673
Bài 8: Tìm
*
n N
biết
a)
32 2 128
n
< <
b)
2.16 2 4
n
>

d)
2
(2 : 4).2 4
n

n
=

Bài 9: Tìm
x N

biết
a)
16 128
x
<

b)
{
1 2 18
18 / 0
5 .5 .5 100 0: 2
x x x
c s
+ +

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10

suy ra 32
10
< 16
15
.
Bài tập 1:
So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 27
11
và 81
8
. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n N
*
)
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3. b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12. d) Đa về cùng số mũ n

21
.
Hớng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2
4
. 5
3

.
Hớng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài 5: 2
7
và 7
2
Ta có: 2
7
= 128 ; 7
2
= 49
Vì 128 > 49 nên 2

9
nên 9
5
> 27
3
b) Ta có: 3
200
= (3
2
)
100
= 9
100
2
300
= (2
3
)
100
= 8
100
Vì 9
100
> 8
100 ;
nên 3
200
> 2
300
c, 3

< 7
300

d, 8
5
và 3 . 4
7
. 8
5
= (2
3
)+5 = 2
15
<3.2
14
= 3.4
7
=> 8
5
< 3 . 4
7
e, 202
303
và 303
202
202
303
=(202
3
)

2
<
202
3
303
2
= 3
3
. 101
2
= 9.101
2
vậy 303
202
< 2002
303
f, 3
21
và 2
31
3
21
= 3 . 3
20
= 3. 9
10
; 2
31
= 2 . 2
30

660
=> 37
1320
> 11
1979

Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 27
5
và B = 243
3
Ta có A = 27
5
= (3
3
)
5
= 3
15

và B = (3
5
)
3
= 3
15
Vậy A = B
b/ A = 2
300
và B = 3

5
)
11
= 2
55
(1)
17
14
> 16
14 =
(2
4
)
14
= 2
56
(2)
Từ (1) và (2) 3
11
< 2
55
< 2
56
< 17
14
nên 31
11
< 17
14
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn

119
b)
100
2
và
9
1024
c)
12
9
và
7
27
d)
80
125
và
118
25
e)
40
5
và
10
620
f)
11
27
và
8

6.5
Bài 4: So sánh các số sau
a)
13
7.2
và
16
2
b)
15
21
và
5 8
27 .49
c)
20
199
và
15
2003
d)
39
3
và
21
11
Bài 5: So sánh các số sau
a)
45 44
72 72

n
và
5
2 ;( )
n
n N
Bài 6: So sánh các số sau
a)
500
3
và
300
7
b)
5
8
và
7
3.4
c)
20
99
và
10
9999
d)
303
202
và
202

75
73
b)
91
2
và
35
5
c)
4
54
và
12
21

Bài 8: Tìm xem 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2
100
với 10
30

và 10
31
.
* So sánh 2

với 10
31
Ta có: 2
100
= 2
31
. 2
69
= 2
31
. 2
63 .
2
6
= 2
31
. (2
9
)
7
. (2
2
)
3
= 2
31
.512
7
. 4
3

31
. 512
7
. 4
3
< 2
31
. 512
7
. 5
3
Hay 2
100
< 10
31
( **)
Từ (*),( **) ta có:
10
31
< 2
100
< 10
31
Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2
100
có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
a) A =
519

5 551
++++
++++
; B =
82
92
3 331
3 331
++++
++++
Bài giải:
A =
519
519
31
30
+
+
Nên 19A =
519
)519.(19
31
30
+
+
=
519
9519
31
31

90
32
+
Vì
519
90
31
+
>
519
90
32
+

Suy ra 1 +
519
90
31
+
> 1 +
519
90
32
+
Hay 19A > 19B Nên A > B
b) A =
32
32
20
18

nên 2
2.
B =
32
)32.(2
22
202


=
32
122
22
22


= 1-
32
9
22

Vì
32
9
20

>
32
9
22

)5 551(51
5 551
)5 55(1
8282
82
82
92
>+
++++
=
++++
+++++
=
++++
++++

Tơng tự B =
)2(43
3 331
1
82
<+
++++
Từ (1) và (2) Ta có
A =
82
5 551
1
++++
+ 5 > 5 > 4 >

+ + 10
3
= (x +1)
2
( 1+ 2 + 3+ + 10)
2
= ( x +1)
2
55
2
= ( x +1)
2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)
2

2
1
2
199






+


3
+ 3
3
+ +7
3
) - (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 6
3
) = x
2
- y
2
(1+ 2 + 3 + + 7)
2
- (1 + 2 + 3 + + 6)
2
= x
2
- y
2
28
2
- 21
2
= x

*)Nếu x = 0 ta có:
35
0
+ 9 = 2.5
y

10 = 2.5
y

5
y
= 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35
x
+ 9 = 2.5
0
35
x
+ 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35
x
+ 9 5 vì ( 35
x
5 ; 9 5 )
Mà 2. 5
y
5 ( vô lý vì 35

3
+ + 2
101
) (1 +2 + 2
2
+ +2
100
)
Vậy A = 2
101
- 1
B = 3 - 3
2
- 3
3
- 3
100
=> 3B = 3
2
- 3
3
+ 3
4
- 3
101
B + 3B = (3 - 3
3
+ 3
3
) - 3

3 3 3 3+ + +
b) Chứng minh rằng:
2 99
1 3 3 3 40B = + + + + M
Bài 4: Chứng minh rằng:
a)
2 3 2004
1
5 5 5 5 6;31;156S = + + + + M
b)
2 3 100
2
2 2 2 2 31S = + + + + M
c)
5 15
3
16 2 33s = + M
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a)
0 1 2 2006
2 2 2 2A = + + + +
b)
2 100
1 3 3 3B = + + + +
c)
2 3
4 4 4 4
n
C = + + + +
d)

n n n n
n N
+ +
+ M
h)
7 9 13
81 27 9 45 M
i)
10 9 8
8 8 8 55 M
k)
9 8 7
10 10 10 555+ + M

Bài 10 Tính nhanh
a.
S = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
62
+ 2
63
b.
S = 1 + 3 +3
2
+ 3
3
+ + 3

+ + 5
200
25 A = 5
2
+ 5
4
+ + 5
202
25 A - A = 5
202
- 1
Vậy A = ( 5
202
-1) : 24
b) Tơng tự B =
17
17
3
304
+
+
Bài 3: Tính
A =
7
1
+
2
7
1
+

1
+
3
7
1
+ +
100
7
1
7A = 1 +
7
1
+
2
7
1
+ +
99
7
1
=> 7A - A = 1 -
100
7
1
A =






+ +
201
5
4
B+5B = -4 +
200
5
4
B =






+
200
5
4
4
: 6
Bài 3: Tính
A =
125 252525
125 252525
2262830
4202428
+++++
+++++


+ 25
20
+ 1) +25
2
. (25
28
+ 25
26
+ 25
22
+ + 1)
= (25
28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1) . (1 + 25
2
)
Vậy A =
2
251
1
+
=
626
1
Bài tập 11: Viết 2
100

⇔
b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu
a b b c a c⇒M M Mvà
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvà
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu
,a m b n ab mn⇒M M M
Hệ Quả: Nếu
n n
a b a b⇒M M
Nếu
, ,( , ) 1a m a n m n a mn= ⇒M M M
A/ LÝ THUYẾT:
1 2 1 0
0 0
1 0 1 0

M M
n
Gọi A = a Tacó
BÀI TẬP:
1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số
275x
chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số
9 4xy
chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: a/
275x
M
5
{ }
0;5x⇔ ∈
;
275x
M
25
{ }
0x⇔ ∈
;
275x
M
125
{ }
0x⇔ ∈
b/

9
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 5
0
– 1 = 1 – 1 = 0
M
4
+ Với n = 1, ta có: 5
1
-1 = 5 – 1 = 4
M
4.
+ Với n > 1, ta có: 5
n
= …5 nên 5
n
– 1 = …5 – 1 = … 4
M
4
Vậy với n
∈
N, 5
n
– 1
M
4 .
b/ Ta có n
2
+ n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n
2


9 (1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
Số 10
28
+ 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 10
28
+ 8 chia hết cho 72.
b/ 8
8
+ 2
20
= (2
3
)
8
+ 2
20
= 2
24
+ 2
20
= 2
20
(2
4
+ 1) = 2
20
. 17
M

Giải: a/ 942
60
– 351
37
= 942
4.15
– 351
37
= ….6
15
- …1 = …6 - …1 = …5
M
5
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
= …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
a)
ab ba+
chia hết cho 11.
b)
ab ba−
Chia hết cho 9 với a > b.

= − −
1)Tacó
Mà : 7.143
7abcM
và
deg 7. deg 7abc abc− M MVậy
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:
ab
.( 0 < a
≤
9, 0
≤
b
≤
9, a,b
∈
N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số:
abba

1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
= + + +
= + = + M
MVậy
3)

M
n b) n + 6
M
n + 2 c) 2n + 3
M
n – 2 d) 3n + 1
M
11 – 2n
4) Cmr nếu
11 deg 11ab cd eg thì abc+ + M M
5) Cho
deg 37. deg 37abc Cmr abc+ M M
6) Cho 10
k
– 1
M
19 với k > 1 CMR: 10
2k
– 1
M
19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu
2 67ab cd abcd= ⇒ M
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)
M

∈

{ }
1;3
b) n + 6
M
n + 2 => n + 2 + 4
M
n + 2, mà n +2
M
n + 2 => 4
M
n + 2 => n + 2
{ }
1;2;4∈
=> n
{ }
0;2∈
c) 2n + 3
M
n – 2 => 2(n – 2) + 7
M
n -2 => 7
M
n - 2 => n – 2
{ }
1;7∈
=> n
{ }
3;9

27.37 37; ( deg) 37; : deg 37
Ta abc abc abc abc
abc abc
Do abc abc abc
= + = + +
= + +
+
M M M
có
Vậy
6) Ta có: 10
2k
– 1 = 10
2k
– 10
k
+ 10
k
-1 = 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
Do 10
k
- 1
M
19 nên 10

Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3. (2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có
100abcd ab cd= +
Mà:
2ab cd=
Suy ra:
2 200 201 3.67 67abcd cdcd cd cd cd cd= = + = = M
Vậy:
67abcd M

Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên
sau:
a) Số đó chia hết cho 5;
a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho
5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2
và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số
yx43123
. hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số
yx43123


a) Chia hết cho 5 :
5*16
;
*174
;
6*53
;
1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
a) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;
6. Chứng tỏ rằng:
a) (5n + 7 )(4n + 6)

2 với mọi số tự nhiên n;
b) (8n + 1 )(6n + 5)
.
.
.
2 với mọi số tự nhiên n;
7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết
có chia hết cho 2 hay không? Vì sao?
8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi
mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta
đếm đúng hay sai?

2001
– 1 .
6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx356
chia hết cho 2 và 9.
7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx171
chia hết cho 445.
8. Tìm tất cả các số có dạng
ba146
, biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.
9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai
số đó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số;
b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;
d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C¸c ph ¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt
Ph ¬ng ph¸p 1: ®Ó chøng minh
A bM
(
0b
≠
). Ta biÓu diÔn
.A b k
=
trong ®ã
k N
∈
Bµi 1: Cho

b)
10 9 8
8 8 8 55 M
c)
5 4 3
5 5 5 7 + M
d)
6 5 4
7 7 7 11+ M
e)
54 24 10 63
24 .54 .2 72M
g)
7 9 13
81 27 9 45 M
h)
3 1 3 2
3 3 2 2 6
n n n n
n N
+ + + +
+ + + M
i)
10 11 12
(2 2 2 ): 7+ +
là một số tự nhiên.
Ph ơng pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng
Nếu
a b m M
và

2
1 300 0n + =
Bài 10: Chứng minh rằng:
,m n N
ta luôn có
2 2
. ( ) 3m n m n M
Bài 11: Chứng minh rằng:
2006 2005
( 2005 )( 2006 ) 2n n n N+ + M
Bài 12: CMR không tồn tại
n N
để
2
15 2004
1 20042004 2004
so
n + =
1 4 44 2 4 4 43
Ph ơng pháp 4: Để chứng minh
A bM
. Ta biểu diễn b dới dạng
.b m n=
. Khi đó
+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh
A mM
và
A nM

.A m n M

a)
10 36 1 27 ; 2
n
n n N n M
b) số
{
27 / 1
11 1 27
c s
M
Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài 17: Chứng minh rằng:
20006
10 8 72+ M
Bài 18: Chứng minh rằng: a) Số
{
/ 5
55 5
nc s
không chia hết cho 125 (
b)
3
10 2 9
n
+ M
c)
37 23
37 23 10 M
Bài 19:Chứng minh rằng: a)
33