Giáo án BDHSG Toán 8
Tiết 1-2-3-4
Chuyên đề 1:
phép nhân và phép chia đa thức
Dạng tổng quát:
Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:
A(B+C) = A.B +A.C
( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
Cho biểu thức:
M =
433
432
229
1
)
433
1
2(
229
3
+
-
433229
4

a) Bằng cách đặt
a=
229
1

A = 4
5
-5.4
4
+5.4
3
-5.4
2
+5.4-1
= 4
5
-(4+1).4
4
+(4+1).4
3
-(4+1)4
2
+ (4+1).4-1
= 4-1
= 3
Cách 2: Thay 5 bởi
1
+
x
, ta có:
A =
1)1()1()1()1(
2345
++++++ xxxxxxxxx
=

x2
đợc vế trái bằng
cabcabx +++
2
, bằng vế phải.
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
[ ]
}{
)5(322 xyxyyxxy +
Với
2222
2,2 babaybabax +=++=
.
Bài tập 2:
a)Chứng minh rằng
121110
222 ++
chia hết cho 7
b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba
số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
Tính
39
8
118117
5
119
118
5

Giáo án BDHSG Toán 8
Mở rộng:
nnnnn
aaaaaaaaaaa
121
22
1
2
2
2
1
2
21
2 2 ) (

+++++++=++
Tổng quát:
n
b
n
a
n
aBbBba +=+=+
)()(
)(
Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x-y ; b) x
2

2
+y
2
+2xy
suy ra x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy = 9
2
-2.14 = 53
c) (x+y)
3
= x
3
+y
3
+3x
2
y+3xy
2
= x
3
+y
3
+3xy(x+y)
suy ra x
3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y 5)
2
- 6xy + 26
Giải :
A = x
2
+ 9y
2
+ 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26
= ( x
2
- 10x + 25) + ( 9y
2
- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)
2
+ ( 3y-5)
2
+ 1
Vì (x-5)
2

0 (dấu = xảy ra

x=5 ); (3y-5)
2


0 (dấu = xảy ra

A = B).
Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x
2
- 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một đa
thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta đợc :

1x
2
- 5x +3 = 2( y 1)
2
- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y
2
- 2y + 1) 5y + 3 + 5
= 2y
2
- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
A = (2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2
16
+1)

.
Giải :
A = [a + (b + c)]
3
+ [a (b + c)]
3
- 6a(b + c )
2
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c) + a
3
-3a
2
(b + c) +
+ a
3
- 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
- (b + c)
3
- 6a(b + c)
2
= 2a

2
+18
2
+ +4
2
+2
2
) (19
2
+17
2
+ +3
2
+1
2
) ;
e)
22
22
75125.150125
220780
++

Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
Giáo án BDHSG Toán 8
a) A =
22
22
246254

+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
Tìm x và tìm n

N biết
x
2
+ 2x + 4
n
- 2
1+n
+2 = 0.
B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2
(x+1)(x-1) (x
2
-1)(x
4
+x
2

3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) 3(a
2
+b
2
) .
Tiết 9-10-11-12
Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân
D
C
B

Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác
lồi.
ABCD lồi

ABCD có hai đờng chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng
bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ
giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng
hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM
là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và
không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh
rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra
đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Giải
j
M'
M

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi)
lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm
các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác,
toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
o
C
D
A
B
O
C
D
A
B
Giáo án BDHSG Toán 8
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong

Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)
Q
F
P
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC.
Chứng minh rằng :
PQ

2
ABDC +

2
ABDC +
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ

2
ABDC +
.
( đpcm)
Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.
Do đó ta chứng minh đợc rằng :
PQ

2
ABDC +
.
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C

Bài tập 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E,
hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED
và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD.
*) hình thang hình thang cân:
Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
D
E
O
K
L
B
C
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai
cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =
2
CDAB +

đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là
hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)
Nhng trong tam giác OKL, ta có :
O
E
D
H
C
B
A
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
Giáo án BDHSG Toán 8
OK + OL > LK (3)
Trong


đó AH =
1 1
EC (AB CD)
2 2
= +
hay
AB + CD =2h.
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đờng
phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ
trên).
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.
Ví dụ 6 :
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
à
à
0
A C 180+ =
. Chứng minh rằng
a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải :
Giáo án BDHSG Toán 8
a) Vẽ BH

CD, BK

AD. Ta có

(vì cùng bằng
ả
1
A
) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là
hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa)
hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì
AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh
bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.
Các bài tập vận dụnG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân
giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung
điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên
kia.
Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung
điểm của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =
2
ABCD
thì tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ
từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
2. a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.(h.9)
h.8
h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và
bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :
Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối
trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
MN // AB // CD
CD AB
MN
2

=
.
Các ví dụ minh họa
O
N
M
D
C
B

và OM // AB ; (1)
ON =
CD
2
và ON // CD ; (2)
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M,
O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác
ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai
điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm
trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung
bình của tam giác để chứng minh.
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình
của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học.
*) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của
hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần
bằng nhau.
Giải :
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ; MN
cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của
hình thang nên MN // AB // CD.
Xét
ABD

có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD
Xét
ADC

=
+) Nhận xét :
F
O
D
M
B
H
N
I
G
P
K
C
E
A
F
E
H
C
A
N
B
B'
M
A'
Giáo án BDHSG Toán 8
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD ,
chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành
ba phần bằng nhau.

điểm C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ
dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau
đây bằng nhau :
Giáo án BDHSG Toán 8
A'HA = AEC (1)
B'FB = BEC (2)Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là trung điểm của HF thì N cũng là trung điểm của
AB. MN cũng là đờng trung bình của hình thang vuông AHFB nên
A'H + B'F
MN AB và MN =
2

.
Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE
nên
AE + BE AB
MN =
2 2
=
.
Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và
AB
MN =
2
, nghĩa
là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C

*) Kiến thức cơ bản:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức .
2. Các phơng pháp thông thờng :
+) Phơng pháp đặt nhân tử chung
AB + AC AD = A(B+C-D).
+) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2
A
3


3A
2
B + 3AB
2


B
3
= (A


lập phơng là :
A
n
B
n
= (A B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A
n-1
A
n-2
B +A
n-3
B
2
- AB
2
+ B

2
B
2
với k

N và A

B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành
bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai
hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
a) Cách 1. x
2
-6x + 8 = x
2
2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x
2)(x- 4)
Cách 2. x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x -3)

+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng
đẳng thức :
mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b đợc tách thành b
1
+ b
2

sao cho b
1
b
2
=ac .
Trong thực hành ta làm nh sau :
1. Tìm tích ac .
Giáo án BDHSG Toán 8
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức 9x
2

2
+x
+6)(x
2
+x 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x 1)
Cách làm nh trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai
a
x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử trong
phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng
a
x
2
k thì k không là bình phơng
của số hữu tỉ.
Tam thức x
2
+x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong phạm vi
số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổng bằng
1.
Còn theo cách 2, x
2

thức. Ta nhắc lại
a
là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Nh vậy nếu đa thức f
(x)

chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức
trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx + c, suy ra ac = -4, tức
là a phải là ớc của -4. Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên
nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi. Ước của -4 là

1,

2,

4. Kiểm tra ta
thấy -1 là nghiệm của đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách
các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Giáo án BDHSG Toán 8
Cách 1. x
3
+3x
2
4
= x

2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa
nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.
Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không có
nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số
nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng
q
p
trong đó p là ớc của hệ số tự do,q
là ớc dơng của hệ số cao nhất. Nh vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ
có thể là

1,

2
1
,

3, hoặc

Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân
tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng :
(
a
x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :
a
cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta đợc
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3
Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do
đó a=1 hoặc a=2.
Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể bằng

1,

3.
Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
Ta có :

; b) 7x(y -4)
2
(4 y)
3
;
c) (x
2
+4y
2
-5)
2
16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)
2
+(a-b+c)
2
- 4b
2
.
f) a
5
+ b

x + x
2
z z
2
x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau hoặc
đối nhau.
Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2
+ 1.
Bài tập 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
b) B = (a+ b -2c)

I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)
Nếu có q Z sao cho a = bq
Thì ta nói:
a là bội của b hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b hoặc b chia hết a
Kí hiệu: a b
a b a = bq




b) Tính chất cơ bản của quan hệ chia hết trong Z
Với mọi a, b, c, m

Z :
1. a/ 0 (a

0)
2. 1/ a
3. a/ a (a

0)
4. a/b và b/a

2

)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2

.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a,
b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên điịnh
lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, d r
0
, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b).
Ví dụ :
Tìm ƯCLN(300, 105).
- Chia 300 cho 105, ta đợc d 90
- chia 105 cho 90, ta đợc d 15
- Chia 90 cho 15, ta đợc d 0
Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15.
Có thể thấy rõ điều đó nh sau :
300 = 105. 2 + 90


Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết cho
tích a.b.
c a, c b và (a, b) = 1 c a.b
II Phơng pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) ph ơng pháp 1 :
Để chng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia
n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
5
Giải :
Xét mọi trờng hợp khi chia n
Z

cho 5, ta có số d là : r =
0, 1, 2.
a) r = 0
c) r =
2

A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia
hết cho 5. Vậy A(n)
5

+


2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5

+
+