Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
BUI 1 : HNG NG THC

A. MC TIấU:
* Cng c v nõng cao kin thc v phộp nhõn a thc hng ng thc
* Tip tc rốn luyn k nng gii cỏc bi toỏn v phộp nhõn a thc hng ng thc
* To hng thỳ cho HS trong quỏ trỡnh hc nõng cao mụn toỏn
B. HOT NG DY HC:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
1. Nhân đa thức với đa thức:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phơng một tổng: ( A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
Bình phơng một hiệu: ( A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
Hiệu hai bình phơng: A
2
B
2

Bài 3:
Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị các biểu
thức sau theo a và b:
x
2
+ y
2
; x
4
+ y
4
Bài 4: chứng minh rằng
a) (x + y)(x
3
x
2
y + xy
2
y
3
) = x
4
y
4
HS ghi đề, thực hiện theo nhóm
HS cùng GV thực hiện lời giải
a) (x + 1) (x
2
+ 2x + 4) =x
3

= (3x + 1 3x
5)
2
= (- 4)
2
= 16
HS ghi đề bài
giải theo nhóm ít phút
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3)
3(x + 2)
2
+ (2x 1)
2
7(x + 3)(x - 3) =
172

3(x
2
+ 4x + 4) + 4x
2
4x + 1 7(x
2

9) = 172

.

8x = 96

x = 12

4
- 4a
2
b + 2b
2

HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV
a)VT = (x + y)(x
3
x
2
y + xy
2
y
3
)
= x
4
x
3
y + x
2
y
2
xy
3
+x
3
y - x
2

2
+ b
2
+ c
2
= 2
c/m: a
4
+ b
4
+ c
4
= 2
HD cách giải tơng tự
Bài 5:
So sánh:
a) A = 1997 . 1999 và B = 1998
2
b)A = 4(3
2
+ 1)(3
4
+ 1) (3
64
+ 1)
và B = 3
128
- 1
Tính 4 theo 3
2

2
+ 2ab + b
2
= 2a
2
+ 2b
2


a
2
- 2ab + b
2
= 0

(a b)
2
= 0

a b = 0

a = b
(đpcm)
c) Từ : x + y + z = 0

(x + y + z)
2
= 0

x

ab + bc + ca = -1 (1)
Ta lại có:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+
c
2
a
2
) = 4 (2)

2


A < B
b) Vì 4 =
2
3 1
2

nên
A = 4(3
2
+ 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1) (3
64
+ 1)
=
2
3 1
2

(3
2
+ 1)(3
4
+ 1)(3
8

- 1)(3
16
+ 1)(3
32
+ 1)(3
64
+ 1)
=
1
2
(3
32
- 1)(3
32
+ 1)(3
64
+ 1)
=
1
2
(3
64
- 1)(3
64
+ 1) =
1
2
(3
128
- 1) =

+ 5. 11 1…
§Æt: a = 11 1 th× 9a + 1 = 10…
n
Do ®ã : U
n
+ 1 = 9a
2
+ 6a +1 =(3a + 1)
2

III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x
2
+ y
2
+ 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2:
Chứng minh rằng: x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2

Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
BUI 2 : HNG NG THC ( Tip)
A. MC TIấU:
* Cng c v nõng cao kin thc v hng ng thc
* Tip tc rốn luyn k nng gii cỏc bi toỏn v hng ng thc
* To hng thỳ cho HS trong quỏ trỡnh hc nõng cao mụn toỏn
B. HOT NG DY HC:
I. Nhc li ni dung bi hc:
Nhng hng ng thc ỏng nh:
Bỡnh phng mt tng: ( A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
Bỡnh phng mt hiu: ( A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
Hiu hai bỡnh phng: A
2
B
2
= (A + B)(A B) (3)
Lp phng mt tng: (A + B)
3

3
B
3
= ( A B )( A
2
+ AB + B
2
) (7)
Bình phơng tổng ba hạng tử: (A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB + AC + BC)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (x - 2)
3
- x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải
Ta thực hiện phép tính nh thế nào?
b) (x - 2)(x
2
- 2x + 4)(x + 2)(x
2
+ 2x + 4)

2
+ 2x + 4)(x + 2)(x
2
- 2x + 4)
= (x
3
- 8)(x
3
+ 8) = x
6
- 64
HS ghi đề, tiến hành bài giải
Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái
1HS lên bảng giải
(x - 3)(x
2
+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1

x
3
- 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1

x
3
- 27 - x(x
2
- 4) = 1

x
3

Cho HS giải
Viết A thành tích
Để tính giá trị của A ta cần tính xy.
Tính xy nh thế nào?
Từ : x + y = 2; x
2
+ y
2
= 10. Hãy tìm cách
tính xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tính giá trị của Bt: B = a
4
+ b
4
+ c
4
?
Để có a
4
+ b
4
+ c
4

B
Bài 5:
Cho a =
{
2n
1 1
; b =
{
n 1
1 1
+
và c =
{
n
6 6
Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là
một số chính phơng
Để chứng minh một tổng là một số chính
phơng, ta cần c/m gì?
A = a + b + c + 8 = ?
Ta có:
{ {
n n
9
11 1 (11 1)
9
=
. Viết thành luỹ
thừa 10?
A = a


HS giải
A = (x + y)(x
2
+ y
2
- xy) = 2( 10 - xy) (1)
HS suy nghĩ, tìm cách tính xy
Từ x + y = 2

x
2
+ y
2
+ 2xy = 4

xy = - 3 (2)
Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26
HS ghi đề
Bình phơng Bt: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1, ta có
a
4
+ b
4

+ c
2
a
2
) (1)
Tính: 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
ta phải bình phơng Bt: (ab + bc + ca)
Ta bình phơng Bt: a + b + c = 0, ta có:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0


2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
=
1
4
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
B = 1 - 2.
1
4
= 1 -
1
2
=
1
2
HS ghi đề, tìm cách giải
Để chứng minh một tổng là một số chính ph-
ơng, ta cần c/m nó bằng bình phơng của một số
A =
{
2n
1 1

=
2n
10 1
9

+
n 1
10 1
9
+

+ 6.
n
10 1
9

+ 8
5
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z
thoã mãn đẳng thức:
x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng
tổng các bình phơng?

2
n
n 1
10 8 100 08
33 36
3 3
+

= =
ữ
ữ
ữ
1 2 3
x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 = 0

(x
2
- 4x+ 4)+(4y

2
- xy + y
2
)(x - y)(x
2
+ xy + y
2
)(x + y) - 2(x
6
- y
6
)
Bi 2:
a) Cho x - y = 1. Tớnh giỏ tr Bt: A = x
3
- y
3
- 3xy
b) Cho x + y = a + b; x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tớnh x
3
+ y
3

- EF l ng trung bỡnh ca

ABC thỡ EF // BC v EF =
1
2
BC
4. ng trung bỡnh ca hỡnh thang:
* on thng ni trung im hai cnh bờn ca hỡnh
thang gi l ng trung bỡnh ca hỡnh thang
+ Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú M l trung im
AD, N l trung im BC thỡ MN l ng trung bỡnh
ca hỡnh thang ABCD
+ Nu MA = MD, MN // CD // AB thỡ NB = NC
+ MN l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABCD
thỡ MN // AB // CD v MN =
1
2
(AB + CD)
II. Bài tập áp dụng:
Bi 1:
Cho

ABC u cnh a. Gi M, N theo
th t l trung im ca AB v AC
a) T giỏc BCMN l hỡnh gỡ? vỡ sao?
b) Tớnh chu vi ca t giỏc BCNM theo a
Cho HS tỡm li gii ớt phỳt
D oỏn dng ca t giỏc BCNM?
c/m t giỏc BCNM l hỡnh thang cõn
ta cn c/m gỡ?

B = C 60=
(3)
Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là hình
thang cân
Chu vi hình thang cân BCNM là
P
BCNM
= BC +BM + MN + NC (4)
BM = NC =
1
2
AB =
1
2
BC =
1
2
a
8
A
B C
E
F
C
N
M
B
A
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
III. Bài tập về nhà:

* HS s dng thnh tho cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t
* Vn dng vic phõn tớch a thc thnh nhõn t vo cỏc bi toỏn chng minh, tỡm giỏ tr
ca biu thc, ca bin
B. HOT NG DY HC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích
* Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân
tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
9
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
* Phơng pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x
2
+ bx + c ta làm nh sau:
Viết tích ac = b
1
b
2
= b
3
b
4
= sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b.
Tách bx = (b
1
x + b
2
x) nếu b = b

2
áp dụng phơng pháp nào để phân tích đa
thức này
b) 8m
3
+ 36m
2
n + 54mn
2
+ 27n
3
c) (4x
2
3x -18)
2
(4x
2
+ 3x)
2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x
4
+ 2x
3
4x - 4
Ta áp dụng phơng pháp nào để phân tích
b) x
3
+2x
2

2
.y + y
2
= (5x
2
y)
2
b) 8m
3
+ 36m
2
n + 54mn
2
+ 27n
3
= (2m)
3
+ 3.(2m)
2
.3n + 3.2m.(3n)
2
+ (3n)
3
= (2m + 3n)
3
c) (4x
2
3x -18)
2
(4x

2
+ 2)(x
2
2) + 2x(x
2
2)
= (x
2
2)(x
2
+ 2x + 2)
b) x
3
+2x
2
y x 2y = x
2
(x + 2y) (x + 2y)
= (x + 2y)(x
2
1) = (x + 2y)(x 1)(x + 1)
c) ac
2
x adx bc
2
x + cdx + bdx c
3
x
= ( adx + bdx + cdx) + (ac
2

6x + 8 = (x
2
4) 6x + 12 = ?
10
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
Tơng tự, GV cùng HS tìm ra các cách
phân tích khác trong phơng pháp tách
hạng tử
b) a
4
+ a
2
+ 1
Hãy tách a
2
thành 2 hạng tử để phân tích
c) x
3
19x 30
Hãy tách hạng tử -19x để phân tích
Bài 4: Phân tích thành nhân tử
a) a
4
+ 64
Dạng a
2
+ b
2
nên ta thêm và bớt hạng tử
nào để xuất hiện một hằng đẳng thức

+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Yc HS làm tơng tự nh câu a
Bài 6:
Cách 4: x
2
6x + 8 = (x
2
16) 6x + 24 = ?
HS về nhà tìm thêm cách khác
b) a
4
+ a
2
+ 1 = (a
4
+ 2a
2
+ 1 ) a
2
= (a
2
+ 1)
2
a
2
= (a
2
a + 1)(a

= (a
2
+ 8)
2
(4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8)(a
2
- 4a + 8)
b) x
5
x
4
1
= (x
5
- x
4
+ x
3
) - (x
3
- x
2
+ x) - (x
2
- x + 1)
= x

3
- (3a
2
b+ 3ab
2
+3abc)
= (a + b)
3
+ c
3
- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)
2
- (a+ b)c + c
2
] - 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc)
a) (x
2
+ x )
2
+ 4x
2
+ 4x - 12

= (x
2
+ x +6 )[x(x 1) + 2(x 1)]
= (x
2
+ x +6 )(x 1)(x + 2)
b) Đặt y = x
2
+ 8x + 7 thì x
2
+ 8x + 15 = y + 8
ta có: (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
= y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 8y +16 1 = (y + 4)
2
1
= (y + 3)(y + 5) =(x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)
11

)(x
2
+y
2
) = (ax + by)
2

C/m:
a b
x y
=
a) Tõ a + b + c = 0
⇒
(a + b + c )
2
= 0
⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0
⇒
(a
2
+ b
2
+ c

2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2abc(a + b + c)
⇒
a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
= 4(a
2

)
b) Tõ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2

⇒
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) - (ax + by)
2
= 0
⇒
a
2
x
2
+ a

= 0
⇒
(ay – bx)
2
= 0
⇒
ay – bx = 0
⇒
ay = bx
⇒
a b
x y
=
(®pcm)
III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x
2
– 20xy + 4y
2
b) x
3
– 4x
2
– 9x + 36
c) x
2
– 7xy + 10y
2
d) (x

⇔


ABCD là Hcn
µ
µ µ
µ
0
A = B = C = D 90⇔ =
2. Tính
chất
ABCD là Hbh , AC
∩
BD = O
µ
µ µ
µ
AB = CD, AD = BC
A = C , B = D
OA = OC, OD = OB


⇒



ABCD là Hcn , AC
∩
BD = O
µ

A = 120
. Đường phân
giác của góc D đi qua trung điểm của AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Gọi F là trung điểm của CD.
C/m
∆
ADF đều,
∆
AFC cân
c) C/m AC
⊥
AD
Giải
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có
∆
ADE là tam giác gì? Vì sao?
Hãy C/m điều đó
Hãy C/m
∆
ADF cân tại A có một góc
60
0
Hãy C/m
∆
AFC cân tại F
Từ
∆
AFC cân tại F ta suy ra điều gì?

, mà ABCD là Hbh nên
µ
0
D = 60

·
·
0
ADE = AED = 30⇒ ⇒ ∆
ADE cân tại A
⇒
AD = AE mà AB = 2 AE
Nên AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD là Hbh)
mà DF =
1
2
CD, AD =
1
2
AB. Suy ra
AD = DF
⇒
∆
ADF cân trại D có
µ
0
D = 60

vậy:

·
0
DAC = 90
hay AC
⊥
AD
HS ghi đề, vẽ hình
13
+
+ ABCD có AB // CD
Và
+ ABCD là Hbh có:
-
- AC = BD
ABCD
Là hcn
µ
µ µ
µ
AB // CD, AD // BC
AB = CD, AD = BC
A = B , C = D
OA = OC, OB = OD
( O = AC BD)




⇒


∆
BFE là tam giác gì? Vìa sao?
4. Bài 4:
Cho
∆
ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC
kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC
lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật
BDEH và CDFK
a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng
b) C/m: A là trung điểm của HK
L
M
N
O
F
E
D
C
B
A
HS suy nghĩ , phát biểu
HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F là trung điểm của BC, CA
⇒
EF là đường
trung bình của
∆
ABC suy ra
EF // AB, EF =

⊥
AC
suy ra
·
0
CEK = 90

⇒

∆
CEK vuông tại E
Tứ giác BCFK có BK //= CF và có
µ
0
B = 90
nên là hình chữ nhật nên hai đường
chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK
⇒
I là trung điểm của BF , CK
⇒
EI là trung
tuyến thuộc cạnh huyền CK của
∆
CEK
14
K
I
F
E
H

M cách BC một khoảng không đổi thì m
nằm trên đường nào?
⇒
EI =
1
2
CK =
1
2
BF
∆
BFE có trung tuyến EI =
1
2
BF nên là tam
giác vuông tại E
⇒
BE
⊥
EF
HS ghi đề , vẽ
hình
HS phát biểu
C/m AH, AK cùng song song với IJ
HS nêu cách c/m
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và
CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI
và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam
giác AHD và AKD
Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK

1
2
AH (vì MN là đường trung bình
của
∆
ADG )không đổi, nên M nằm trên đường
thẳng song song với BC và cách BC một
khoảng bằng
1
2
AH không đổi chính là đường
trung bình PQ của
∆
ABC (PQ // BC)
III. Bài tập về nhà:
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K theo thứ tự là trung
điểm của AH và CD. Chứng minh BM vuông góc với MK
15
H
K
F
E
M
I
P
Q
J
N
G
D

m – n
+ C (C là một đa thức chưa xác đònh) Thì A = (x
m – n
+ C ). B
A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế phải bằng nhau
3.1 - Cách 3: dùng giá trò riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bò chia có nghiệm)
Gọi thương của phép chia A cho B là C thì A = B.C
Tìm một giá trò của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất đònh để xác đònh hệ số
III. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
III.1 - Dạng 1:
16
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
Bài 1: xác đònh a, b để A(x) = x
3
+ ax + b
chia hết cho B(x) = x
2
+ x – 2
Hãy thực hiện phép chia A(x) cho B(x)
Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì
Hãy dùng hệ số bất dònh để tìm a và b
Thử lại xem có đúng không
Bài 2: Tìm a, b
∈
Q để A = x
4
+ ax + b chia
hết cho B = x
2

Với m, n
∈
Z thì: A = (x
3m + 1
+ x
3n + 2
+ 1) chia
hết cho B = x
2
+ x + 1
Để C/m : A = (x
3m + 1
+ x
3n + 2
+ 1) chia hết
cho B = x
2
+ x + 1 ta C/m A
M
(x
3
– 1)
Vì sao? Để C/m điều này ta làm thế nào?
x
3m
– 1 = (x
3
– 1)(x
3m – 1
+ x

– 4)(x
2
+ c )
⇔
x
4
+ ax + b = x
4
+ (c – 4)x
2
– 4c
Đẳng thức xẩy ra với
x
∀ ∈
Q nên

0 0
4 0 4
4 16
a a
c c
b c b
= =
 
 
− = ⇔ =
 
 
= − = −
 

- 2
M
x – 1
HS tiếp cận đề bài
HS phát biểu:
Vì x
3
– 1 = (x – 1)(x
2
+ x + 1)
M
(x
2
+ x +
1)
A = (x
3m + 1
– x) + (x
3n + 2
– x
2
) + (x
2
+ x +
17
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
chia hết cho x
3
– 1?
Tương tự ta có kết luận gì?

Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ?
Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào?
1)
= x(x
3m
– 1) + x
2
(x
3n
– 1) + (x
2
+ x + 1)
x
3m
– 1 = (x
3
– 1)(x
3m – 1
+ x
3m – 2
+ … + 1)
chia hết cho x
3
– 1 nên chia hết cho
x
2
+ x + 1
⇒
x(x
3m

A(-1) = - a + b



51 a + b a = 25
1 = - a + b b = 26
=
 
⇔ ⇔
 
 
Vậy R(x) = 25x + 26
HS ghi đề bài
x
2
+ x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phát biểu
2
f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1)
f(x) = (x + 4).q(x) + 9 (2)
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3)





Từ (1)
⇒
f(3) = 2 ; từ (3)
⇒

+ ax + b chia cho D = x
2
– x – 2 có dư là R = 2x – 3
c) P = 2x
3
+ a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21
Bài 2: Chưng minh rằng
18
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
a) mn(m
2
– n
2
) chia hết cho 6 với mọi số ngun m, n
b) n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 với mọi số ngun n
Bài 3:
a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x
2
+ 8x + 11
b) Tìm số ngun x để giá trị biểu thức A = x
3
– 3x
2
– 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu thức

- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc
với nhau tại trung điểm mỗi đường, là
trục đói xứng của hình vuông
- mỗi đường chéo là phân giác của hai
góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường
chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng
Dấu
hiệu
nhận
biết
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau
- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với
nhau
- hbh có đường chéo là tia phân giác
của 1 góc
- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông
- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông
góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường chéo là tia
19
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
phân giác của 1 góc

là hình thoi
MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?
·
CMQ
bằng góc nào? Vì sao?
·
PMD
bằng góc nào? Vì sao?
·
·
CMQ + PMD = ?
·
PNQ⇒
=?
·
·
MPN = MQN
= ?
Hình thoi MPNQ là hình vuông khi
nào?
HS ghi đề và vẽ hình
//
//
/
/
Q
P
N
M
D

1
2
AD (Vì AD = CB).
Suy ra MP = MQ
⇒
MPNQ là hình thoi (H.b.h
có 2 cạnh kề bằng nhau)
⇒
NM là tia phân
giác của
·
PNQ
b) MQ // AD
⇒
·
·
0
ADC = CMQ = 50
(3)
MP // CE
⇒
·
·
0
ECD = PMD = 50
(4)
Từ (3) và (4)
⇒

·

CMQ + PMD = 90

⇔

µ
µ
0
C + D = 90

⇔

µ
µ
C = D = 45
0
20
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
Bài 2:
Cho
∆
ABC vuông cân tại B. từ điểm
D thuộc cạnh AB vẽ DE
⊥
AC tại E,
tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC,
CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông
ta cần C/m điều gì?

MN là đường trung bình của
∆
FCA
⇒
MN // FA và MN =
1
2
FA (1)
Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =
1
2
FA (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h
Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB
và FE của
∆
FAC nên CD là đường cao còn lại
của
∆
FAC
⇒
CD
⊥
FA
⇒
PN
⊥
FA
⇒
PN

FCD,
nên NP =
1
2
CD =
1
2
FA = MN
⇒
hình bình
hành MNPQ là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
21
F
E
Q
P
N
M
D
C
B
A
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
lượt là trung điểm của AD, DC; E là
giao điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI
⊥
AK
b) Chứng minh CE = AB

BK)
·
·
IBD = KBD
hay không? Vì sao?
HS ghi đề và vẽ
hình
a) HS suy nghó, trả lời:
C/m
µ
0
1 1
A + I = 90
$
µ
0
1 1
B + I = 90
$
do
∆
ABI vuông tại A
Ta cần C/m
∆
AIB =
∆
DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)
µ

1 1
A + I = 90
$

·
0
AEI = 90⇒
⇒
BI
⊥
AK
b) Gọi F là trung điểm AB
⇒
AKCF là H.b.h vì có FA //= CK

⇒
AK // CF
⇒
CM
⊥
BE hay CM là đường
cao của của
∆
BCE (1)
F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là
trung điển BE hay CM là đường trung tuyến
của
∆
BCE (2)
Từ (1) và (2) suy ra

IBD = KBD
hay
BD là tia phân giác của
·
IBK
III. Bài tập về nhà:
Bài 1:Cho hình vng ABCD . Từ điểm E trên cạnh BC dựng
·
0
EAx 90=
, tia Ax cắt CD tại
F. Gọi I là trung điểm FE, AI cắt CD tại M. Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI tại K
a) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao?
22
_
_
/
/
/
/
1
1
1
M
K
I
F
E
D
C

− =
;
A A
B B
 
− − =
 ÷
 
II. BÀI TẬP:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Bài 1: Rút gọn phân các thức
a)
2
2
4 12 9
2 6
a a
a a
+ +
− −
Ta làm thế nào để rút gon phân thức đã
cho?
Phân tích tử và mẫu như thế nào?
Tìm nhân tử chung rồi rút gọnh phân
thức đã cho
b)
2
2 2
x - xy + 2x - 2y
x - y + x - y

−+
+
=
a
a
aa
a
b)
2
2 2
x - xy + 2x - 2y
x - y + x - y
=
x(x - y) + 2(x - y)
(x - y)(x + y) + (x - y)
(x - y)(x + 2) x + 2
(x - y)(x + y + 1) x + y + 1
= =
HS ghi đề, tiến hành giải
1HS lên bảng trình bày
23
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Gọi 1 HS lên bảng trình bày
Nếu HS chưa thực hiện được thì gợi ý:
Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng
đặc biệt nào? Có nhân tử nào?
Tách tử và mẫu để làm xuất hiện nhân tử
là x – 1
d)
4 2

có tổng các hệ số bằng 0 nên có nhân tử là x – 1
HS thực hiện:
3 2
3 2
3x - 7x + 5x - 1
2x - x - 4x + 3

3 2 2
3 2 2
(3x - 3x ) (4x 4x) + (x - 1)
2x - 2x + (x - x) - (3x - 3)
− −
=
=
2 2
2 2
3x (x - 1) 4x(x 1) + (x - 1) (x - 1)(3x 4x + 1)
2x (x - 1) + x(x - 1) - 3 (x - 1) (x - 1)(2x x - 3)
− − −
=
+
=
2 2
2 2
3x 4x + 1 (3x 3x) - (x - 1)
2x x - 3 (2x - 2x) + (3x - 3)
− −
=
+
= =

2
2
2
2 2
4
a 1 a a a 1 a - a - 1
a a 1
a a +1
a a + 1 a - a - 1
a a + 1
− − + −
+ −
=
+
+
−
HS ghi đề bài, phân tích tử và mẫu thành nhân
tử:
4 3 4 3
4 3 2 4 3 2 2
1 1
2 1 1
x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + + + + +
=
− + − + − + + − +
( ) ( )
( ) ( )
( )

= =
− + + − + +
+
=
+
HS ghi đề
Phân tích tử: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
= ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a)
= [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c – a)]
= …= (a – b)(b – c) (a – c)
Phân tích mẫu:
a(b
2
– c
2
) + b(c
2
– a
2
) + c(a
2
– b
2
)
= … = (a – b)(b – c) (a – c)
Nên:
2 2 2 2 2 2
ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
a(b - c ) b(c - a ) c(a - b )+ +
24

2 7
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
không tối giản
Để C/m phân số không tối giản ta làm
thế nào
Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử
để tìm nhân tử chung
1 + n + n
2
lớn hơn 1 không? Vì sao?
Vậy ta có kết luận gì?
=
(a - b)(b - c) (a - c)
1
(a - b)(b - c) (a - c)
=
HS tiếp cận đề bài
Để C/m 1 phân số tối giản ta C/m ƯCLN của tử
và mẫu bằng 1
Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d
≥
1)
ta C/m d = 1
(15n

M
d
⇒
1
M
d
⇒
d = 1
Hay 15n
2
+ 8n + 6; 30n
2
+ 21n + 13 nguyên tố
cùng nhau nên phân số
2
2
15 8 6
30 21 13
n n
n n
+ +
+ +
tối giản
Để C/m phân số không tối giản ta C/m tử và
mẫu có ƯC khác 1
Ta có:
7 2 6
1 (1 ) ( 1)n n n n n n+ + = + + + −
=
2 3 3

+ +
+ +
không tối giản
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: rút gọn các phân thức sau:
a)
3 2
2a 12a 17a 2
a 2
− + −
−
b)
5 4 3 2
2
2 2 4 3 6
2 8
− + − + +
+ −
x x x x x
x x
c)
3
2 2 2 2
7 6
( 3) 4 (3 ) 4( 3)
− −
− + − + −
x x
x x x x x
Bài 2: Chứng minh rằng :