SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH"
1

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình
toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để
phương trình , bất phương trình có ngiệm thường có trong các đề thi tuyển sinh vào
ĐH,CĐ. Chính vì vậy việc đi sâu nghiên cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện
luận phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm
cho học sinh các kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương
trình. Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1/ Cơ sở lý luận
Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT. Dạy học
theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư duy. Hàm số có ứng
dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà một trong các ứng dụng đó là
việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa thông qua khái
niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong việc nghiên cứu phương
trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn. Một mặt nó tác dụng củng cố thêm các
kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài
toán về phương trình và bất phương trình.
2/ Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong
việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về hàm số một phần do kiến thức về
phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của
2

2
∈

K ,x
1
< x
2
⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
∀
x
1
,x
2
∈
K ,x
1
< x
2
⇒
f(x
1
) > f(x
2
)

xV
là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
);( ba
khi đó
hàm số
( ) ( )
xVxUy +=
cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
);( ba
ĐL3: Gỉa sử
( )
xU
và
( )
xV
là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
);( ba
và
( )
0xU
;
( )
0xV
với
);( bax ∈∀
khi đó hàm số
( ) ( )
xVxUy =
cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến)
trên

4

+ Đưa phương trình về dạng
( ) ( )
xgxf =
. Trong đó
( )
xf
là hàm số đồng biến
( )
xg
là
hàm số nghịch biến hoặc ngược lại. Khi đó nếu x = x
0
thỏa mãn
( ) ( )
00
xgxf =
thì x = x
0
là
nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng
( )
Axf =
Trong đó
( )
xf
là hàm số đơn điệu. Nếu tồn tại
x = x

−
x
x
Bài giải: phương trình đã cho tương đương với
x
x
−=
−
35
2
Ta thấy hàm số
( )
2
5
−
=
x
xf
là hàm số đồng biến vì
( )
5ln5'
2−
=
x
xf

( )
0' xf
với
Rx∈∀







+








x
x
5

Ta thấy hàm số
( )
x
x
xf







Bài giải:
uxx =−
2
vx
=−
1
Thì
( )
2
1−=− xvu
Phương trình đã cho tương đương với :
vu
uv
−=− 22
⇔
vu
vu 22 +=+
Hàm số tương ứng ở hai vế là:
( )
t
ttf 2+=
(*)
có
( )
02ln21' 
t
tf +=
Nên
( )
tf

xf
( )
xf '
là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một hằng số không
đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:
( )
065ln3ln0' −+=f
( )
065ln53ln31' −+=f
⇒

( )
0' =xf
có nghiệm duy nhất
α
=x
và đổi dấu từ âm sang dương. Ta có bảng biến
thiên.
x
∞−

α

∞+
( )
xf '
- 0 +
( )
xf
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số





=
=+
t
t
x
x
3
21
⇔
tt
231 =+
7

⇔
t
t
231
2
=+
Từ ví dụ 1 suy ra
2=t
là nghiệm duy nhất của phương trình
⇒
2log
3
=x

1
2
32
2
32
=








−
+








+
xx
(2)
Ta thấy
232 ±
⇔

−−=−−
+
+
xxxx
(1)
Bài giải: Tập xác định:
032
2

−−
xx
⇔



−
3
1


x
x
(1)
⇔
( ) ( )
32log22log
2
347
2
348

Đặt
yt
a
=log
thì (2)
⇔
( )





+=+
=
y
y
at
at
11
hay
( )
y
y
aa 11 +=+
⇔
1
1
1
1
=

+a
Vế trái của (3) là tổng của 2 hàm số nghịch biến.
1=y
thỏa mãn phương trình (3)
⇒

1=y

là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Với
1=y

⇒
1log =t
a
⇔
at =

⇔
34732
2
+=−− xx

⇔
034102
2
=−−− xx
⇔
34111 +±=x
Vậy phương trình có 2 nghiệm:

- Đưa bất phương trình về dạng
( ) ( )
xgxf ≤
và nhẩm được
( ) ( )
agaf =
khi đó đưa vào tính
đơn điệu của các hàm số
( )
xf
và
( )
xg
thì có thể suy ra được nghiệm của bất phương trình.
9

- Đưa bất phương trình về dạng
( )
Axf 
(hoặc
( )
Axf 
). Dựa vào việc khảo sát hàm số
( )
xf
ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình.
Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải thông qua bước
đặt ẩn phụ.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình

xf
Rx
∈∀
Nên hàm số
( )
xf
nghịch biến trên R.
Ta thấy
( )
01 =f
nên (1)
⇔

( ) ( )
1fxf 
( )
xf
là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là
1x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
(
)
( )
257log155log
2
3
2
2
≤−++++− xxxx
(1)

3ln2
2
2ln1
1
'
2

+
+
+
=
t
t
t
tf
với
[
)
+∞∈∀ ;0t
Nên
( )
tf
đồng biến trên
[
)
+∞;0
10

Ta lại có
( )








≤≤






+
≥
−
≤
41
2
55
2
55
x
x
x
⇔




⇔
2222 +−  x
(1)
⇔
( )
2
2
2
224log
−
≥−−
x
xx
(2)
Đặt
24
2
−−= xxu
024' =−= xu
⇔
2=x
Ta có bảng biến thiên:
x

22 −
2
22 +
'u
+ 0 -
u

2
224log
−
≤−−
x
xx
do đó bất phương trình (2)
⇔
( )
2
2
2
2124log
−
==−−
x
xx

⇔

2=x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2=x
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
3412 −−− xx
Bài giải: Tập xác định
1≥x
Xét hàm số
( )
12 −−= xxxf

1

3
4

4

∞+
( )
xf '
- 0 + +
12

( )
xf

2

34 −

3
Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
4x

Ví dụ 5: Giải bất phương trình
5429 +++ xx
Bài giải: Xét hàm số
( )
429 +++= xxxf
có tập xác định:

Khi
0x
thì
( ) ( )
50 =fxf 
⇒

0x
∀
là nghiệm.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1.
xxx
543 =+
2.
( )
( )
42lg6lg
2
++=+−− xxxx
3.
( )
xx
x
6
log
2
log3log
6

liên tục trên
[ ]
ba;
và
( ) ( )
0bfaf
thì
∃
( )
bax ;
0
∈
sao cho
( )
0
0
=xf
.
Ví dụ 1: Biết rằng
0632
=++
cba
(1)
Chứng minh
( )
cbxaxxf ++=
2
có nghiệm trong
( )
1;0

Suy ra tồn tại 2 trong 3 số
( )
0f
,






2
1
f
và
( )
1f
là trái dấu nhau trong bất kì trường
hợp nào thì
( )
xf
cũng có nghiệm trong
( )
1;0
Cách 2: Ta có
( )






32
9
6
9
2
2
c
ccc −=






+−=
*
0
=
c
thì (1)
⇔

032
=+
ba

0=a

⇒


.0
2

c
ff −=







⇒

( )
xf
có nghiệm






∈
3
2
;0x
Hay
( )
xf

xf
đồng biến trên R
( )
xf
liên tục trên R.
( ) ( )
011.0 −=ff
Suy ra phương trinhg
( )
xf
chỉ có 1 nghiệm
( )
1;0
0
∈x
hay phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất
( )
1;0
0
∈x
.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
1. Biết rằng
0334
=++
cba
chứng minh
( )
0

b. Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình, bất phương trình.
15

Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số
( )
xfy =
liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
thì
( )
bac ;∈∃
sao cho
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
='
Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng:
0632 =++ cba

Chứng minh
( )

( )
( ) ( )
01
01
'
0
−
−
=
FF
xF
Hay
( )
1;0
0
∈∃x
sao cho
( )
0
6
662
23
0
=
++
=++=
cba
c
ba
xf

và có đạo hàm trên
( )
x;0
. Theo định lí Lagrăng ta có
( )
xc ;0∈∃

sao cho
( )
( ) ( )
0
0
'
−
−
=
x
fxf
cf
hay
( )
xc ;0∈∃
sao cho
x
e
e
x
c
1−
=

và có đạo hàm trên
( )
0;x
. Theo định lí
Lagrăng ta có:
( )
0;xc∈∃
sao cho
( )
( ) ( )
x
xff
cf
−
−
=
0
0
'
hay
( )
0;xc∈∃
sao cho
( )
x
xf
e
c
−
−

10
=+++
−
−
xaxaxa
n
nn
có nghiệm dương
1
x
thì phương trình:
( )
0 1
1
2
1
1
0
=++−+
−
−−
n
nn
axanxna
cũng có nghiệm dương
12
xx 
2. Chứng minh phương trình:
0cos2cos3cos4cos
=+++

xfy =
trên D.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
( )( )
mxxxx =−+−−++ 6363
(1) Có nghiêm.
17

Bài giải: Đặt
xxt −++= 63
Với
[ ]
6;3−∈x
thì
( )( )
0
632
36
' =
−+
+−−
=
xx
xx
t

⇔

xx +=− 36


( )( )
2
9
63
2
−
=−+
t
xx
Khi đó phương trình (1) trở thành:
mt
t
m
t
t =++−⇔=
−
−
2
9
22
9
22
(2) phương trình
(1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm
[ ]
23;3∈t
xét hàm số:
2




− 3;
2
9
23
nên phương trình
đã cho có nghiệm khi






−∈ 3;
2
9
23m
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:
0sincos2cos
2
=−−+ mxxx
(1) có nghiệm.
Bài giải: Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
mxx =−+ 2coscos3
2
Đặt:
tx =cos

- 0 +
y
2 0

12
25
−

Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1;1−∈t
khi
2
12
25
≤≤− m
Hay phương trình (1) có nghiệm khi
2
12
25
≤≤− m
.
* Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
19

Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình
( )
mxf 
( hoặc
( )

0
≥
X
⇔
có ít nhất một điểm của đồ thị
2
1
2
+
+
=
X
X
y
với
0≥X
không ở phía dưới đường thẳng
my =
.
Xét hàm số
2
1
2
+
+
=
X
X
y
có

∞+
'y
- 0 + + 0 -
y

4
13 +

2
1

0
Qua bảng biến thiên suy ra với
4
13 +
≤m
thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho bất phương trình:
04
34
≥++ mxxx
thỏa mãn với
1≥∀x
20

Bài giải: bất phương trình đã cho:
⇔

( )
04

∞+

5
+
m
Suy ra bất phương trình
( )
0≥xf
có nghiệm khi và chỉ khi
505 mm ⇔≥+
Ví dụ 3: Tìm m sao cho mọi
( )
3;2∈x
đều là nghiệm của bất phương trình:
( ) ( )
04log1log1
2
5
2
5
mxxx ++−++
(*)
Bài giải: Ta có (*)
⇔

( )
[ ]
( )
mxxx +++ 4log15log
2

( )
3;2∈∀x
đồng thời là nghiệm của (1) và
(2).
Xét hàm số
( )
( )





++
−+−
3;204
3;20544
2
2
trênmxx
trênmxx


Thì
( )
2
1
048' =⇔=−= xxxf

( )
2042' −=⇔=+= xxxg


∞+
( )
xg'
( )
xg

m
−
12
Suy ra
0)( >xf
và
0)( >xg
với
)3;2(∈x






≤≤−⇔
≥+
≥−
⇔
≥
≥
⇔ 1312
012

x
22

d. Sử dụng phương pháp max, min trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của
phương trình, bất phương trình.
Để áp dụng được phương pháp này chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:
Mệnh đề1: phương trình
mxf =)(
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
)(max)(min xfmxf
D
D
≤≤
Mệnh đề 2: bất phương trình
mxf <)(
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
mxf
D
<)(min
Mệnh đề 3: bất phương trình
mxf <)(
có nghiệm với mọi
Dx ∈
mxf
D
<⇔ )(max
Mệnh đề 4: bất phương trình
mxf >)(
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
mxf

′
xxnnxf
n
Vì n là số tự nhiên chẵn nên
0>
n
x
với mọi x nên
0'y
với
3x
và
0'≤y
với
.3
≤
x
Do đó min
( )
033
21

++
−==
nn
afy
(vì
3a
)
23

3
=
t
Khi
xx
+=−
24
1
=⇔
x
Bất phương trình (1) trở thành:
( )
104
2
+−= tttf
(2)
Bất phương trình (1) có nghiệm khi bất phương trình (2) có nghiệm
[ ]
3;0∈t
Ta có bảng biến thiên:
t
0 2 3
( )
tf
10
7
6
Qua bảng biến thiên :
[ ]
( )

(t
0
≥
)
Phương trình (1) trở thành
⇒=++ 06
2
tt



−=
=
)(3
2
Lt
t
mxxmxxmxxt =+−−⇔=++⇔=++⇒= 164164242
44
4
4
Xét hàm số
164)(
4
+−−= xxxf

10)1(444)(
33
−=⇔=+−=−−=
′

Để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m chúng ta thường đưa
phương trình về một trong các dạng sau:
(1):
mxf =)(
hay
)()( mgxf =
25