Ebooktoan.com

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức
Lượng
giác
(sinu)
’
= u
’
.cosu
(cosu)
’
= - u
’
.sinu
(tgu)
’

.a
u
.lna
(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u
'
(ln|x|)
’
=
x

b)
Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≤ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a)
Nếu f
’
(x) > 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)
b)
Nếu f
’
(x) < 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)
• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f
’
(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm
thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng.
III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x)
Qui tắc 1:
1) Tính đạo hàm y
’

’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f
’
(x) = 0 (nghiệm của phương trình này)
3) Tính f
’’
(x
i
):
a) Nếu f
’’
(x
i
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) Nếu f
’’
(x
i
) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

CHÚ Ý:
• Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x
1
và x
2

0
) = 0)
VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau:
1) 2) f(x) =
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:
+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x
0
thì f(x
0
) = Min y
+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x
0
thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn
của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f
’
(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,
…, x
n
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều
kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x) trên
khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên
khoảng đó
b) Nếu f
’’
(x) > 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên
khoảng đó
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x) trên khoảng
(a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’

thì đường thẳng y = y
olà tiệm cận ngang của (C)
3. Tiệm cận xiên
• Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của
(C) ⇔ [f(x) – (ax +b)] = 0
• Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công
thức: a = , b = [f(x) – ax ]
4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):
- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó
- Tính giới hạn của hàm số tại các mút
+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

+ Nếu thì ta tính a = :
• Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = [f(x) – ax ].
Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra
các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B

• y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

b) Hàm phân thức hữu tỉ
• y = (c
≠
0, D = ad – bc
≠
0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1) 2) 3)
4) y = 5) y = 6) y =
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
1) y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (ĐH KA – 2006)

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.
Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = |f(x)|
♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C
0
)
- Lấy đối xứng phần (C
0
) qua trục Oy ta có (C
1
)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = f(|x|)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x
0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f
’
(x
0
) = k để có x

1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇔
x
0
và k là nghiệm
của hệ pt: (I) ⇒ k rồi thay vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0
,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x

’
(x)(x – x
1
) + y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số
• IA.IB = const
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = x
4
– 2x
2
– 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các
giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0, -1).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
Bài 3: Cho hàm số y = (H).
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm
của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 8: Cho hàm số y = (H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x
3
+ mx
2
– m. Tìm m để hàm số đồng biến trong
khoảng (1; 2). ĐS :
Bài 2: Tìm m để hàm số trên khoảng
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2

khoảng (-2, 3).
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a) . b) y = 2(3-m
2
)x + 6m – 5,
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a) m b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0 (ĐS: )

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x
0
> m
2
– 2m – 5
ĐS: a) m 3, b) -1 < m < 4
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ
nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác.
Bài 4: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.
ĐS: a =
Bài 5: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm
số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng
A. Phương pháp:
+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) = f(-x)
(Hàm số chẵn đối với x)
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (C
m
): y = x
3
– 3x
2
- (m-2)x + m + 1
đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
Cho (C): y = f(x)
2) Chứng tỏ (C) nhận I(x
0
; y
0-
) làm tâm đối xứng (1)
1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)
A. Phương pháp:
- Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x
0
; y
0-
) làm tâm đối xứng ⇒ (1)
+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x
0
, y
0
. ⇒ (2)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

làm trục đối
xứng ⇒ (1
’
)
+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x
0
⇒ (2
’
)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x
4
– 4x
3
+ 4x
2
nhận đường thẳng x = 1 làm
trục đối xứng.
Bài 2: Cho (C
m
):
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C
4
) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

2) Tìm các giá trị của m để (C
m
) có trục đối xứng // Oy

0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và
(C’). Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hay y
0
= g(x
0
).
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

• Biện luận:
♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C
’
) cắt nhau tại n điểm.
♦ (1) có nghiệm bội k ≥ 2 ⇔ (C) và (C
’
) tiếp xúc nhau
♦ (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C
’
) không có điểm chung.
• CHÚ Ý:
♦ Điều kiện tiếp xúc:
(C) tiếp xúc (C
’
) ⇔ Hệ có nghiệm
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) ⇔
(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔
Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:
Bài giảng
Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:
• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường
thẳng (d): y = g(m).
B. Bài tập tự luyện:
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com

Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:
(C): y = x
3
+ 9x và (C
’
): y = 6x
2
+ 4
Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1
Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:
(C): y = x
3
- 6x

– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 6: Cho (C
m
):
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương
Bài 7: Cho (C
m
): y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m +1
Định m để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1
cấp số cộng.
Bài 8: Cho (C): và (P): y = x
2
+ a
Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý
Ebooktoan.com


sao cho 2x
2
= x
1
+ x
3
. Tìm 3 nghiệm đó
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x
3
- 3x + m = 0
ĐS: -1< m < 1
Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m
1x
2
+
Bài 14: Cho phương trình:
m)x6)(x3(x6x3 =−+−−++
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m
Bài 16: Cho phương trình:
m1xx1xx
22
=+−−++
a) Giải phương trình với m = -
2
1
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3
4