HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức

α ' α 1 '
(u )α.u . u
−
=

'
1 u
'
( )
2
u
u
= −

'
u

’
.sinu
(tgu)
’
=
'
u
' 2
u .(1 tg u)
2
cos u
= +
(cotgu)
’
= -
'
u
2
sin u
(sinx)
’
= cosx
(cosx)
’
= - sinx
(tgx)
’
=
1
2

(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u
'
(ln|x|)
’
=
x
1
1'
u

(a ; b) thì tồn tại điểm c
∈
(a ; b) sao cho: f
’
(c) =
f(b) f(a)
b a
−
−
II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Hàm số không đổi: f
’
(x) = 0 ⇔ f(x) = c
2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≥ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≤ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f
’
(x) > 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)

4) Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm
đó
b) f
’
(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó
Qui tắc 2:
1) Tính f
’
(x), f
’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f
’
(x) = 0 (nghiệm của phương trình này)
3) Tính f
’’
(x
i
):
a) Nếu f

f (x)
V(x)
=
thì
'
0
0
'
0
U (x )
f(x ) =
V (x )
2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
Ta chia f(x) cho f
’
(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có:
f(x) = f
’
(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x
0
) = (mx
0
+ n) (vì f
’
(x

thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới
hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f
’
(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,
…, x
n
(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])
4 - Tính f(a),f(b), f(x
1
), f(x
2
)
,
…, f(x
n
)
- So sánh f(a), f(b), f(x
1
), f(x

• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

⊕
Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)

⊕
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều
kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x)
trên khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên
khoảng đó
b) Nếu f
’’
(x) > 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên
khoảng đó
52. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f

1. Tiệm cận đứng
• Nếu
lim f(x)
x x
o
= ∞
→
thì đường thẳng x = x
o
là tiệm cận đứng của (C)
2. Tiệm cận ngang
• Nếu
lim f(x)
x
=
→∞
y
o
thì đường thẳng y = y
olà tiệm cận ngang của (C)
3. Tiệm cận xiên
• Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của
(C) ⇔
lim
x → ∞
[f(x) – (ax +b)] = 0
• Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo

∞
thì ta tính b =
lim
x→∞
[f(x) – ax ].
Nếu b ≠
∞
thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra
các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B
3
: • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)
• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ
B
4
: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)
B
5
: Lập bảng biến thiên
B
6
: Đồ thị:

ax b
cx d
+
+
(c
≠
0, D = ad – bc
≠
0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1)
2
1y x x= + −
2)
2
4 3y x x= − +
3)
2
4y x= +
4) y =
2
2
1
1
x x
x

- 8x
2
+ 10 (ĐH KB – 2002)
2)
4
2
x
y 2(x 1)
2
= − −
(ĐH DB KA – 2006)
8Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau:
1)
3x 1
y
x 1
− −
=
−
(ĐH KD – 2002)
2)
2x
y
x 1
=
+
(ĐH KB – 2007)

Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = f(|x|)
⊗
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =

= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x

số góc k: y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇔
x
0
và k là
nghiệm
của hệ pt:
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=


) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
11• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến
cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +




8 3( 3)y x
= ±
m
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0, -1).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
12Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc
với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x
3
– 3x
2
+ 4
biết tiếp tuyến qua P(1;0).
Bài 5: Cho (C): y = x
3

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung
điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay
đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
13c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 8: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x
3
+ mx
2
– m. Tìm m để hàm số đồng biến trong

3 2
y = ( 1)
3 2
x x m x+ + +
đạt cực trị tại các điểm có
hoành độ x > m.
3
( , 1)
4
m m< − ≠ −
14Bài 6: Cho hàm số
2 22
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)
Bài 7: Định m để hàm số
4 2 2
y = mx ( 9) 10m x+ − +
có ba điểm cực trị.
ĐS :
3
0 3
m

1
x x m
x
+ +
+
có các điểm cực trị nằm về hai
phía của trục tung (ĐS: m > 0).
Bài 11: Định m để hàm số
1
3 2
y = ( 1) 4 7
3
x m x x+ + + +
có độ dài khoảng
nghịch biến bằng
2 5
. ĐS:
2
(x x ) 4x x 20 m 2,m 4
1 2 1 2
+ − = ⇒ = = −
.
Bài 12: Định m để hàm số
2
y = ( m 0 )
x mx m
x m
− +
≠
−

x
+ − +
−
luôn có cực trị với
mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn:
2 2
y + y 72
cd ct
=
15{ }
2
2 8
4 ( y = m + 8 )
HD : D = \ 1 , y = = 0
2 ( y = m 4 )
2
( 1)
2 2 2 2
y + y 72 ( 8) ( 4) 72 2
CT
CÑ
x x
x
x
x
m m m


YCBT m
x x
m m

 

  
 


′
+ − + − = + − + − =
⇔ = − = −
≠
− ≠ − ≠
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −
∈ −
− < − < − < <
¡
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ
THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
| | 3m >

16c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số.
(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số
2
2x 3x m
y
x m
− +
=
−
. Tìm m để hàm số y có cực đại, cực
tiểu
thỏa mãn: |y
CĐ
– y
CT
| > 8 (ĐS:
1 5 1 5
2 2
m m
− +
< ∨
)
Bài 5: Cho hàm số
3 2
y = x 3 1.x mx+ + +

3
– 3(m - 1)x
2
+ 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số
b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x
0
> m
2
– 2m – 5
17ĐS: a) m
≥
3, b) -1 < m < 4
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và
nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm
khác.
Bài 4: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.
ĐS: a =

ĐS: m < 0 hoặc m>1/3
Bài 2: Cho (C):
2 2 2
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS:
2
1; |m| >
2
m
≠ ±
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m - 3)x + 4

(C
m
)
Tìm m để (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía

19 + Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng ⇒
(1)
+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x
0
, y
0
. ⇒
(2)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (H):
2
2x 5x 4
y
x 1
− +
=
−
có tâm đối xứng là giao
điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1))
Bài 2: Chứng tỏ (H):
2x 5
y
x 2

, y
0
chưa được cho trước
+ Ta đổi trục tọa độ
0
x X x
y Y
= +


=

, ta được phương trình mới Y =
g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối
xứng ⇒ (1
’
)
+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x
0
⇒ (2
’
)
B. Bài tập tự luyện:
20Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x

) có trục đối xứng song song với Oy.
ĐS : a = 0, x = 0 ; a =
1±
, x =
1m

VẤN ĐỀ 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)
VẤN ĐỀ 6
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp:
• Cho hai đường:
'
(C): y f(x)
(C ) : y g(x)
=


=

21• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C
’
) là: f(x) = g(x) (1)
• Nhận xét:
- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và

) ⇔ Hệ
' '
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=


=

có nghiệm
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):
Cho x = 0 ⇒ y
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox):
Cho y = 0 ⇒ x
22
x
y
0
y
0
x
O ♦ Với (C
m
): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm
chung của (C
m
) với trục hoành nhờ vào dạng của (C

> 0
y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆


<


> >


<

g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆



y .y 0
∆ ≤


∆




>


⊕
Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:
Bài giảng
23
⊕
Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n
nghiệm”
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:
• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số
f(x).
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với
đường thẳng (d): y = g(m).
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:
(C): y = x

- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 5: Cho (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 6: Cho (C
m
):
3 3
2 2

và (P): y = x
2
+ a
Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)
Bài 9: Cho các đường (C):
2
x 2x 2
y
x 1
− +
=
−

(Δ
1
): y = - x + m và (Δ
2
): y = x + 3
Tìm m để (Δ
1
)

cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ
2
)
Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x
3
+ ax
2
+ bx + c

=−+−−++
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m
2
1x +
25