Sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt biu
thc ủi s Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
1 M U hỳng ta bit rng trong chng trỡnh Toỏn hc trng
THCS hin nay, cú nhng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht hoc
giỏ tr ln nht ca mt biu thc khi hc sinh gp phi thỡ
rt l b ng v lỳng tỳng . Vỡ trong chng trỡnh Toỏn THCS SGK cha
ủ cp nhiu v cỏch gii. Do ủú, nhiu hc sinh cha cú ủc phng
phỏp gii nhng bi toỏn dng nh th ny, m dng toỏn ny chỳng ta
ủu thy cỏc ủ thi hc k, HSG, ủ thi tuyn sinh vo lp 10, .

Vỡ th trong quỏ trỡnh dy hc (dy hc t chn, dy BDHSG,) .
Chỳng ta cn phi trang b cho hc sinh nm ủc mt s phng phỏp
gii thng gp nht trong chng trỡnh Toỏn THCS. t ủú, mi hc
sinh t mỡnh gii ủc cỏc bi toỏn dng ny mt cỏch ch ủng v sỏng
to.

ng trc thc trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b mụn, mun
ủc ủúng gúp phn no ủ g ri cho hc sinh. Tụi xin ủa ra mt s
phng phỏp thng gp ủ tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt

ủ bin ủi biu thc v
dng:
* A = a + [f(x)]
2
a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]
2
b suy ra maxB = b khi f(x) = 0

2. p dng tớnh cht : | x| + | y | | x + y | ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi x.y 0
3. p dng tớnh cht : | x | - | y | | x y | ủ tỡm GTLN
Du = xy ra khi x y 0 hoc x y 0

4. p dng bt ủng thc:
baba
(a b 0 ) ủ tỡm GTLN.
Du = xy ra khi b(a-b) = 0

b = 0 hoc a = b
5. p dng bt ủng thc:
baba ++
(a , b 0 ) ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi a.b = 0

a = 0 hoc b = 0

6. p dng bt ủng thc CụSi:
+ Vi a 0, b 0 thỡ a + b 2
ab

= = a
n

T ủng thc (1) ta suy ra:
- Nu a.b =k ( khụng ủi) thỡ min (a +b) = 2
k


a = b
- Nu a +b = k (khụng ủi ) thỡ max( a.b) =
4
2
k


a = b
T ủng thc (2) ta suy ra:
- Nu a
1
.a
2
.a
3
. a
n
= k (khụng ủi ) thỡ min(a
1
+ a
2
+ a

.a
3
. a
n
) =
n
n
k






a
1
= a
2
= a
3
= = a
n7. p dng ủiu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai l 0 (

0)


l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
3 NI DUNG


a) A = (4x
2
+ 4x + 1) + 10 = (2x +1)
2
+ 10 10
Suy ra minA = 10 khi x =
2
1
b) B = (x 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x
2
+ 5x - 6)(x
2
+ 5x + 6)
= (x
2
+ 5x )
2
36 - 36
Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoc x = -5

b) C = (x
2
2x + 1) +(y
2
4y + 4) + 2

- (2y + 1)
2
+ 7 7
Suy ra maxB = 7 khi x =1 v y =
2
1

Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a) A = 4 x
2
+2x = 5 (x
2
2x +1) = 5 (x 1)
2
5
Suy ra maxA = 5 khi x = 1
b) B = 4x x
2
= 4 (x
2
4x + 4) = 4 (x -1)
2
4
Suy ra maxB = 4 khi x = 2

2) Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = x
2
+ 5y
2
-2xy +4y + 3
b) B = (x
2
- 2x)(x
2
- 2x + 2)
c) C = x
2

=
2
1
012
0
y
yx
y
yx

Vy minB =2 khi x = y =
2
1
b) B = (x
2
- 2x)(x
2
- 2x + 2)
t t = x
2
- 2x

B = t(t +2) = t
2
+ 2t = (t
2
+ 2t + 1) 1

+ 25 + 2
= (x 2y + 5)
2
+ (y 1)
2
+ 2 2


MinC = 2 khi



=
=




=+
=
3
1
052
01
x
y
yx
y

Vy minC = 2 khi x = -3, y = 1



x

Suy ra maxA =1 khi x =
2
14) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B =
9)1()1(44
224
++++ xxxxGii:
Ta cú B =
399)12(
22
=+ xx

Suy ra minB = 3 khi 2x
2
- x 1 =0

(2x + 1)(x 1) = 0


x =1 hoc x =
2


a) Ta cú A = | 2x 5 | + | 2x - 1 | = | 2x 5 | + | 1- 2x | | 2x 5 + 1- 2x |
= | -4 | = 4
Suy ra minA = 4 khi (2x 5)(1 2x) 0

2
5
2
1
x

b) B = | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
Ta cú | x 1| + | x 3 | = | x 1| + | 3 x | | x 1 + 3 x | = 2
Du = xy ra khi (x 1)(3 x) 0

1
3


x

| x 2| nh nht khi x =2
Vy min B = 2 khi x =2

Sỏng ki

n kinh nghi

m : M


Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
6

c) C = | x - 1| + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | = | x - 1| + | x 4 | + | x 2 | + | x 3 |

Ta cú: | x - 1| + | x 4 | | x -1 +4 x | 3
Du = xy ra khi (x 1)(4 x) 0

1
4


x

Ta cú: | x 2 | + | x 3 | | x -2 +3 x | 1
Du = xy ra khi (x 2)(3 x) 0

2 3


x
Vy minC = 3 + 1 = 4 khi 2 3



22
+++ xxxxGii:
Chỳ ý 1: y = | x a | + | x b | ( a < b )
Min y = b a khi
bxa

a) Ta cú A = ( | x 1 | + | x 2006 | ) + ( | x 2 | + |x 2005 | ) +
+ ( | x 1002| + | x -1003 | )
Suy ra minA = 2005 + 2003 + + 1 khi
10031002


x

Vy minA = 1003
2
khi
10031002


xb) Ta cú B =

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i s


Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi
3
5
3
7
x

Bi tp:
1) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) A =
222
)2006( )2()1( +++
xxx
b) B =
222
)2007( )2()1( +++
xxx
2) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) C =
9124144
22
+++ xxxx

b) D =
9124484144
222
+++++ xxxxxx

c) E =
161649124484144

)84()74()64()54( +++++++
xxxx
l) Q =
222
)20064( )19464()19454( ++++++
xxx
m) X =
222
)20074( )19764()19754( ++++++
xxx

Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l


Thớ d: Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x 2 |
c) C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 |
Gii:

a) Ta cú A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 |

| (3x + 5) - (3x + 7) | = 2
Du = xy ra
3
7
07353

++ xxx

Vy maxA = 2
3
7

x

b) Ta cú B = | 5x + 7| - | 5x 2 |

| (5x + 7) - (5x 2) | = 9
Du = xy ra





2
45
2
45
02025419754
22
x
x
xx
Vy maxC = 50










2
45
2
45
x
x


nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang

Du = xy ra khi a.b = 0

a = 0 hoc b = 0

Thớ d: Tỡm GTNN ca biu thc A = xx + 53
Gii:
KX: 53


x
Ta cú A =
2)5()3(53 =++ xxxx

Du = xy ra khi x =3 hoc x =5
Suy ra minA =
2
khi x =3 hoc x =5

Bi tp:
1)Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) B = xx 2019821120 +
b) C =
201019189019
55
++ xx

2) Cho x + y = 15 . Tỡm GTNN ca biu thc D =
34
+ yx



t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
10 F/ Phng phỏp6:

p dng bt ủng thc CụSi: tỡm GTLN, GTNN
+ Vi a 0, b 0 thỡ a + b 2
ab
(1)
Du = xy ra khi a = b
+ Vi a
1

T ủng thc (1) ta suy ra:
- Nu a.b =k ( khụng ủi) thỡ min (a +b) = 2 k

a = b
- Nu a +b = k (khụng ủi ) thỡ max( a.b) =
4
2
k


a = b
T ủng thc (2) ta suy ra:
- Nu a
1
.a
2
.a
3
. a
n
= k (khụng ủi ) thỡ min(a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
) = n
n

n
k






a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
Dng 1:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng A =
)()(
xgxf +
bc f(x)
bng bc g(x)
Phng phỏp gii: Ta tỡm GTLN bỡnh phng biờu thc ủú. Sau ủú ỏp
dng BT Cụsi

Du = xy ra khi
23753
=


=

xxx

Vy maxA
2
= 4 khi x = 2
Do ủú maxA = 2 khi x = 2
Bi tp:
1)Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
xx + 235

b) C =
2007719547
55
++ xx

2) Cho x + y = 15 . Tỡm GTLN ca biu thc D =
34
+ yx

Sỏng ki

n kinh nghi

i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
11 Chỳ ý: Tỡm GTLN ca biu thc M =
nn
axcbax +
(b < c )
Max A
2
= 2(c b) khi x
n
=
a
bc
2


Suy ra maxA =
)(2
bc

x
5
9

Gii:
KX:
9

x

Ta cú A =
30
1
10
3
99
5
)3
3
9
(
2
1
5
3.
3
9
5
9
=


Bi tp:

Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
x
x
7
16
b) C =
x
x
7
253
e) F =
x
x
3
52

c) D =
x
x
2006
4910
d) E =
2
2
2006
252

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
12
d) Nhõn v chia biu thc2x
2
25 cho cựng mt s 5 (
525 =

xf
bc ca f(x) ln
hn bc ca g(x).
Phng phỏp gii: Bin ủi biu thc ủó cho thnh mt tng ca cỏc biu
thc sao cho tớch ca chỳng l mt hng s ( Tỏch mt hng t thnh tng ca nhiu
hng t bng nhau) , ri ỏp dng BT Cụsi

Thớ d : Cho x > 0 , tỡm GTNN ca biu thc M =
x
x
2
)1994( +

Gii:
Ta cú M =
1994.21994.21994.2
1994
.21994.2
199419941994.2
2222
+=+++=
++
x
x
x
x
x
x

= 4.1994

2
+

Gii:
a) Ta cú A =
8
16
4
1616
3
4
333
=+++=+
x
xxx
x
xxx
x
x

Du = xy ra khi
2
16
3
== x
x
x

Vy minA = 8 khi x = 2


nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
13

10
2
1
52
2
5
2
=== xx
x
x

Vy minC =
310

10
2
1
= x

2) Cho a, b, x > 0 . Tỡm GTNN ca biu thc D =
x
bxax ))((
+
+

Gii:
Ta cú D =
2
2
)(2.2

, tỡm GTNN ca biu thc
a) E =
)1(2
172
2
+
++
x
xx
b) F =
3
346
+
++
x
xx

Gii:
a) Ta cú E =
42.2
1
8
.
2
1
2
1
8
2
1


=
=




=+
=+
=+
+
=
+
5
3
41
41
16)1(
1
8
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
xx Du = xy ra khi




=
=





=+
=+
=+
+
=+
8
2
53
53
25)3(

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Du = xy ra khi
101000
1000
32
=== xx
x
x

Vy minG = 300 khi x = 10

5) Cho x > y . Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau
a) H =
yx
yxx

++
22
2,1
bit x.y = 5 b) I =
yx
yx

+
22
bit x.y = 2
Gii:
a) Ta cú H =
8

yx
yx
.
Kt hp vi ủiu kin x.y =5 ta suy ra ủc x =5, y =1 hoc x =-1 , y = -5
Vy minH = 8

x =5, y =1 hoc x =-1 , y = -5
b) Ta cú I =
4
4
).(2
422)(
2
=



+=

+=

+
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx

a) K =
x
xx
+
1
b) P =
1
8
+
+
x
x

Gii:
a) Ta cú K =
11.
1
.21
1
=+ x
x
x
xSỏng ki

n kinh nghi

m : MNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
15
Du = xy ra khi
1
1
==
xx
x

Vy minK = 1 khi x = 1 b)Ta cú
P =
42
1
9
).1(22
1
9
1
1
9

4
1
9
1 =
+
=+ x
x
x

Vy minQ = 4 khi x = 4

7) Cho x > 9 .Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau Q =
3
4

x
x

Gii:

Ta cú Q =
3
36
124
3
36
)3(4
3
36)9(4
3

36
)3(4224
3
36
)3(41212
3
36
124 =+

+

+=++

+=
x
x
x
x
x
x Du = xy ra khi



=
=



x
x Gii:
Ta qui v tỡm GTNN ca biu thc
1
4
1
2
2
1
.
2
2
2
1
2
2
11
==+=
+
=
x
x
x
x
x
x
L


nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy

=
x
x
x
x
x
xx
y Du = xy ra khi
1982
1982
2
== x
x
x

Vy min
1982.4
1
=
y
khi x = 1982
Do ủú max y =
1982
.
4
1
khi x = 1982

64
4
16
4
)16(
2
2
33
==
+

xxDu = xy ra khi x
3
= 16 x
3


x
3
= 8

x = 2
Vy maxA = 64 khi x = 2
Thớ d 2 : Tỡm GTLN ca biu thc B = (1 x )(2x 1) vi
1
2
1


Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u

Dng 5:
Tỡm GTNN ca biu thc cú dng: A = f(x) + g(x)

Phng phỏp gii: Bin ủi biu thc ủó cho thnh mt tng ca cỏc biu
thc sao cho tớch ca chỳng l mt hng s
( tỏch mt hng t cha bin thnh tng ca mt hng s vi mt hng t ny
l nghch ủo ca mt hng t khỏc cú trong biu thc ủó cho , cú th sai khỏc mt
hng s )

Thớ d: Cho 0 < x < 12 . Tỡm GTNN ca biu thc A =
x
x
x 2
2
9
+


Gii:
Ta cú A =
713.21
2
.
2
9
21
2
2
92
2

x
x
x

Vy minA = 7 khi
2
1
=
xBi tp:

1) Cho x > 1 , tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
1
1

+
x
x
b) C =
1
25
4

+
x
x


=
==

=
0
2
111)1(
1
1
1
2
x
x
xx
x
x

Vỡ x > 1 nờn x =0 (loi)
Vy minB = 3 khi x =2

b) Ta cú C =
24410024
1
25
).1(424
1
25
)1(4
1
25


t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
18
Du = xy ra khi

1
4
25
)1(
1
25
)1(4
2
x
x
x
x
x
x
x

Vỡ x > 1 nờn
2
3

=
x
(loi)
Vy minC = 24 khi
2
7
=x2) Cho x, y > 0 v x + y > 6. Tỡm GTNN ca biu thc D =

12
3 =
v
y
y
16
=

x = 2 v y = 4
Vy minD = 32

x = 2 v y = 4 3) Cho x, y, z
0

tha món ủiu kin: x + y + z = 2007
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2Gii:
p dng BT Cụsi : a
2

+
222
zyxzxyzxy
++++
)(2)(
2
zxyzxyzyxzxyzxy
++++++2
)()(3 zyxzxyzxy
++++2
20073

E447561669
3
2007


n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
19
Vy maxE = 447561 khi x = y = z = 669

b)Ta cú F =
)(2)(
2222

2007.2
2007 ==
khi
669
3
2007
====
zyx4) Cho x, y, z
0

tha món ủiu kin: x + y + z = a ( a l hng s dng)
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2

G/ Phng phỏp7:

p dng ủiu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai l 0 (

0)



5
1
015' = aa

Vy minA =

5
1
phng trỡnh (*) cú nghim kộp x =
5
2Bi tp:
1) Tỡm GTNN ca biu thc B =
1
2
12
2
2
+

+
x
x
xx

Gii:

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i s

1
1
2
2
+
+
+
x
x
xx

Gii:
KX: x

R
Gi a l mt giỏ tr ca P , phng trỡnh
a
x
x
xx
=
+
+
+
1
1
2
2
(1) phi cú nghim


34
2
+

x
x
b) K =
3
2
12
2
2
+

+
x
x
xxGii:

a) KX: x

R
Gi a l mt giỏ tr ca Q , phng trỡnh
a
x
x
=

2
1


maxQ = -1 khi PT (2) cú nghim kộp x = 2

b) KX: x

R
Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh


+
3
2
12
2
2
(1) phi cú nghim

PT (1)
0)13()1(2)1(
2
=+++ axaxa
(2)
- Nu a = 1 thỡ PT (2) l -4x = -4 cú nghim x = 1
- Nu a

1 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
242)13)(1()1('
22
++=++= aaaaa

PT (2) cú nghim
21210242'
2
+++=
aaa

Vy: minK =
21




yyVy max y = 5 khi PT(1) cú nghim kộp x =1
Nờn cp s cn tỡm l (1;5) 5) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) E =
1
2
1
2
2
+
+
++
x
x
xx
b) F =
x
x
2
)2007( +

6) Tỡm GTLN ca biu thc G =

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
22
KT LUN

Ngoùc
Ngoùc Ngoùc
Ngoùc

Duy
DuyDuy
Duy Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh
TI LIU THAM KHO 1. Toỏn nõng cao i s 8 ca Nguyn V Thanh NXB Giỏo dc -1997
2. Toỏn nõng cao i s 9 ca Nguyn V Thanh NXB Nng -1996
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn ủ Toỏn 9 ca Bựi Vn Tuyờn - NXB
Giỏo dc 2005
4. Mt s ủ thi HSG cỏc cp v thi tuyn sinh vo lp 10,