A-ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là Đại số 8- Đại số 9. Các dạng
toán tìm GTLN- GTNN luôn được đề cập đến, nhưng do quỹ thời gian không cho phép
nên các nhà viết sách không đưa ra được các phương pháp giải hoặc các ví dụ minh họa.
Chính vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong làm bài, thậm chí nhiều em còn
không hiểu rõ thế nào là GTLN- GTNN chứ chưa nói đến việc tìm ra giá trị đó. Toán học
nâng cao sẽ giúp các em có hiểu biết sâu hơn, rộng hơn về toán. Các phương pháp giải
toán cực trị là một trong các chuyên đề đó.
Sử dụng các phương pháp “Tìm cực trị toán học” có tác dụng góp phần phát triển
năng lực, trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Rèn luyện đức tính :
cẩn thận, chính xác, khoa học, tính kỉ luật, tự giác cao trong học tập. Bồi dưỡng tính sáng
tạo cho các em
2.Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy Toán 8- Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy sách giáo
khoa hầu như chưa đề cập đến dạng toán “ Tìm cực trị”. Song khi thi tuyển vào THPT
hay thi chọn đội tuyển HSG cấp huyện- tỉnh các thầy cô ra đề thường chọn đây là mảng
kiến thức hay và khó nhằm chọn được học sinh có trí tuệ, có tư duy, có kỹ năng.
Sử dụng “ Một số phương pháp tìm cực trị ở bậc THCS” sẽ giúp cho nhiều học
sinh hiểu và nắm vững cực trị toán học. Giúp các em có kiến thức vững vàng khi tham
gia các kỳ thi lớn. Chính vì thế tôi xin được hệ thống các dạng toán và các phương pháp
giải thích hợp nhằm cùng thầy cô có cái tổng quan hơn về dạng toán “ tìm cực trị”. Đồng
thời tạo điều kiện cho các em học sinh có bộ tài liệu tham khảo về mảng kiến thức khó
này.
II. MỤC TIÊU – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Mục tiêu
- Giúp học sinh làm quen và có hướng giải quyết các bài toán liên quân đến “ Tìm
giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất” gọi chung “ tìm cực trị” trong toán học phổ
thông cơ sở. Củng cố được kiến thức toán học còn hổng cho học sinh
-Rèn tính sáng tạo, tư duy linh hoạt, khả năng giải quyết các vấn đề mới, các vấn

m , với m là hằng số.
- Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D sao cho f(x
0
,y
0 )
=m
II. Các kiến thức thường dùng.
1. Lũy thừa: Ta có (x
k
)
2
=x
2k
≥
0 với mọi x
∈
R và k
∈
Z
=> - x
2k
≤
0 với mọi x
∈
R và k
∈

∈
R và k
∈
Z
-
[ ]
2
( )
k
f x m m± ≤ ±
với mọi x
∈
R và k
∈
Z
2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
( ) 0f x ≥
với mọi x
∈
R
x y x y+ ≤ +
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0
x y x y− ≥ −
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0 và
x y≥
3. Bất đẳng thức Cosi:

=….=a
n

4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với hai cặp số (a,b) và (c,d) ta có ( a.b+c.d)
2

≤
(a
2
+c
2
)(b
2
+d
2
)
Dấu “=” xảy ra khi
a c
b d
=
Tổng quát: Với n cặp số a
1
;a
2
;….;a
n
và b
1
; b

N
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=0
6. Một số bất đẳng thức khác.
a, x
2
+y
2

≥
2xy
b, (x+y)
2

≥
4xy
c, 2(x
2
+y
2
)
≥
(x+y)
2
d,
2
x y
y x
+ ≥
với x.y>0
e,

2
-7
≥
-7 với mọi x
Vậy minA=-7 khi và chỉ khi x=2
b,B=-5x
2
-4x+1 =-5(x
2
+
4
5
x)+1 = -5(x
2
-2x.
2 4 4
5 25 25
+ −
) +1
=-5
2
2 9
5 5
x
 
− +
 ÷
 
≤
9

= y
2
+12y+36-36
=(y+6)
2
-36
≥
-36
Vậy minA=-36 khi và chỉ khi y=-6 thì x
{ }
1;6∈
Ví dụ 2.2: Tìm GT LNcủa biểu thức B=- (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+1976
Giải
Ta có B= -(x
2
-9x+8)(x
2
-9x+20)+1976
Đặt y= x
2
-9x+14 thì B = -(y-6)(y+6)+1976
B= -(y
2
-36) +1976
B= -y
2
+2012
≤
2012
Vậy maxB =2012 khi và chỉ khi y= 0 thì x

− + − − −
−
A=
( )
2
6 9
2
1
1
x
x
− −
−
−
=
2
3
1 3 3
1x
 
− + + ≤
 ÷
−
 
Vậy maxA=3 khi và chỉ khi x=-2
Ví dụ 3.2: Tìm GTNN của biểu thức B =
2
2
3 8 6
2 1

khác là dùng “Miền giá trị để giải” . Ta có thể xét sau
1.4: Biểu thức có chứa từ hai biến trở lên.
Ví dụ 4:(chuyên Hà Nội Amsterdam 2001-2002)
Tìm GTLN của biểu thức A=-x
2
-y
2
+xy+2x+2y
Giải
Ta có A=-x
2
-y
2
+xy+2x+2y
 -2A= 2x
2
+2y
2
-2xy-4x-4y
= (x
2
-2xy+y
2
)+(x
2
-4x+4)+(y
2
-4y+4) -8
= (x-y)
2

2
7 74 196
10 25
x x
x x
− + −
− +
II. PHƯƠNG PHÁP 2:Vận dụng các bất đẳng thức đã biết.
Trong quá trình giải các bài toán cực trị ta có thể dùng các bất đẳng thức đã biết
hoặc đã được chứng minh trong các sách bài tập toán 8, toán 9. Như bất đẳng thức Cosi,
bất đẳng thức Bunhiacopxki…hoặc các bất đẳng thức đề cập trong phần kiến thức thường
dùng. Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa đơn giản.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2x y− + −
biết x+y =4
Giải
Ta có hai vế của biểu thức A không âm nên
A
2
=
( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2)x y x y− + − + − −
= 1+
2 ( 1)( 2)x y− −
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số(x-1) và (y-2) không âm ta có
2 ( 1)( 2)x y− −

≤
x-1+y-2=1 (do x+y=4)
 A

1 1
1 1.( 1)
2 2
x x
x x
+ −
− = − ≤ =
=>
1 1 1 1
2 2
x x
x x
− + −
≤ =
Tương tự
2
2 2 2
4
2 2
y
y
y
y
−
+ −
≤ =
Vậy B
1 2 2 2
2 4 4
+

6 5
2 ( )
5
x
x ktm
x tm
≤





= +






= −





6 5
2
5
x = −
Vậy maxf(x) =

Bài 1:Cho a,b,c >0 và a+b+c =1. Tìm GTNN của
1 1 1
1 1 1A
a b c
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2: Cho
, , 0a b c ≥
và a+b+c=1 .Tìm GTLN của
B a b a c b c= + + + + +
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A=
2
2
2
1
a
a
+
+
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B=
2 2
1 1x x x x− + + + +
Bài 5: Cho x,y>0 và x+y
≤
1 . Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2
4A xy

2
+1>0 với mọi x nên phương trình(1)  x
2
(a-2)-4x+a-5=0 (2) có nghiệm
Nếu a=2 thì (2) có nghiệm x=
3
4
−
Nếu
2a
≠
Phương trình (2) có nghiệm khi
'
4 ( 2)( 5) 0a a∆ = − − − ≥
 a
2
-7a+6
≤
0

1 6( 2)a a≤ ≤ ≠
Với a= 1 thì x=-2
Với a=6 thì x=
1
2
Vậy maxA= 6 khi và chỉ khi x=
1
2
minA =1 khi và chỉ khi x=-2
Ví dụ 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức B = 2x

=
thì
2
2
2 4 5
5 1
b t t
t
+ +
=
+
Theo Ví dụ 1 điều kiện để PT ẩn t có nghiệm khi
1 6 5 30
5
b
b≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Từ đó có :
maxb=30 khi
1
2
x
y
=
=> y=2x hay (x:y) nhận các giá trị(1; 2)và(-1;-2)
minb= 5 khi
2
x
y
= −
=> x=-2y hay (x:y) nhận các giá trị (2; -1)và(-2;1)

-8dz+d
2
-9 =0
Để phương trình có nghiệm z thì
2
0 25 5d d∆ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
(do d>0)
*)GTLN của d là 5  maxc=6 khi
2
4 4 16
( )
25 5 25
d
z x z tm= = ⇒ = =
*) Từ d=4z+3y
2 12yz≥
( bất đẳng thức Cosi) . Dấu “=” xảy ra khi 4z=3y
Thay vào (1) ta cso
3 1 9
, ;
20 5 400
z y x= = =
Lúc đó GTNN của d là
9 6
2
25 5
=
Vậy min c=
41
10

x x
+ +
+ +
Bài 4: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức g(x) =
2
2 2
8 6x xy
x y
+
+
IV.PHƯƠNG PHÁP 4: Đổi biến và tìm cực trị theo biến mới (đặt ẩn phụ)
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đổi tương đương. Sử dụng các
bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biểu thức đã cho về các biểu thức đơn giản trong
việc tìm cực trị. Dưới đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa
1. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
a b
A
a b
= +
− −
với a>1 ;b>1
Giải
Đặt x=a-1 >0 , y=b-1> 0 khi đó ta có
( )
2
2
1

2 2
2 2
2. 5 6
x y x y
y x y x
 
 
+ − + +
 ÷
 ÷
 
 
với x, y>0
Giải
Đặt
x y
a
y x
= +
theo Cosi thì
2a
≥
=>
2 2
2
2 2
2
x y
a
y x

y x
+ = −
Khi đó C=(a
2
-2) -3a+2012 =(a-1)(a-2)+2010
Do
2a ≥
=> a-1>0 và
2 0a − ≥
=> (a-1)(a-2)
≥
0
 C
≥
2010
Vậy minC= 2010 khi và chỉ khi a=2 hay x=y và x. y>0
Ví dụ 4: Cho x,y,z >0 .Tìm GTNN của biểu thức D=
y
x z
y z x z y x
+ +
+ + +
Giải
Đặt a=
y z+
, b=
x z+
,c=
y x+
=>

2 2
a b b c a c
b a c b c a
 
     
+ + + + + − ≥
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

Theo BĐT Cosi ta có
2; 2; 2
a b a c c b
b a c a b c
+ ≥ + ≥ + ≥
Vậy minD=
3
2
khi a=b=c hay x=y=z
2. Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTNN của
2
2
1
4
1
A x x
x x
= + − +

 ÷
 
 
Bài 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=12 . Tìm GTLN của
E=
3 2 1 3 2 1 3 2 1a a b b c c+ + + + + + + +
Bài 6: Tìm GTNN và GTLN của F=
x x y y+
biết
y x+
=1
V. PHƯƠNG PHÁP 5: Sử dụng biểu thức phụ.
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của một biểu
thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. Sau
đây tôi đưa ra một số ví dụ minh họa.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A=
2
4 2
1
x
x x+ +
Giải
a, Xét x=0 => A =0 giá trị này không phải GTLN của A vì với
0x ≠
thì A>0
b, Xét
0x ≠
Đặt
1

Nhận xét: Như vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta sử dụng biểu thức phụ
1
P
A
=
Việc tìm GTNN của
1
P
A
=
đơn giản hơn nhiều so với tìm GTLN của A
Ví dụ 2: Cho ba số dương a,b,c và a+b+c=3 .
Tìm GTLN của B=
5 4 5 4 5 4a b b c c a+ + + + +
Giải
Do a,b,c>0 => B>0 Đặt P= B
2
khi đó max C =max
P
Ta có P =
( )
2
5 4 5 4 5 4a b b c c a+ + + + +
áp dụng BĐT bunhiacppxki
 P
( )
( )
2 2 2
1 1 1 5 4 5 4 5 4a b b c c a≤ + + + + + + +
 P

y t x x t y y x t x y t
       
+ + + + + +
+ + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + +
       
 P=
2 2 2 3
2 2 2 2
x y t y x t t y x y t x t x y
y t x x t y y x t x x y y t t
       
+ + +
+ + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + +
       
Áp dụng Cosi đôi một ta có
3
2 2 2 .6 15
2
P ≥ + + + =
 minP=15 khi và chỉ khi x=y=t >0
Vậy minC =
15
2
khi và chỉ khi x=y=t >0
Ví dụ 4: Cho x
2

y x y x y x
+ − − + +
Giải
Đặt P= G-2 ta có P=
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
y x y x y x
+ − − + + −
P=
4 2 4 2 2 2
4 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2. . 2
x x y y x x y y x y
y y x x y y x x y x
     
 
− + + − + + − + + + −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
P=
( )
2 2
2
2
2 2
2 2

1x x
x
+ +
Bài 3: Cho x
≠
0 . Tìm GTLN của biểu thức C=
8
16 8
1
x
x x+ +
Bài 4: Cho a
2
+b
2
+c
2
=1. Tìm GTLN của biểu thức D=a+2b+3c
Bài 5: Cho a, b>0 và a+b=2. Tìm GTNN của E=
2 2
4 4
1 1
a b
  
− −
 ÷ ÷
  
Bài 6: Cho a, b,c,d là các số dương.
Tìm GTNN của F=
a b b c c d a d

8 7
1
x x
x
+ +
+
Giải
Xét f(x)=Q(x)-t =
( )
2 2
2
8 7 1
1
x x t x
x
+ + − +
+
Vì x
2
+1>0 với mọi x nên dấu của f(x) phụ thuộc và dấu của
g(x) =
( )
2 2 2
8 7 ( 1) 1 8 7x x t x t x x t+ + − + = − + + −
(1)
Xét tam thức g(x)
( )
2
1 8 7t x x t= − + + −
2

Ví dụ 2:Tìm GTNN- GTLN của biểu thức Q=
2
2 2
3 4y xy
x y
−
+
với (x;y) khác (0;0)
Giải
Đặt f(x,y)=Q(x,y)-t =
( )
2 2 2
2 2
4y xy t x y
x y
− − +
+
Vì x
2
+y
2
>0 trì giá trị x=y=0 nên dấu của f(x,y) chính là dấu của
g(x, y)=3y
2
-4xy-t(x
2
+y
2
) =(3-t)y
2

*) Khi t=4 thì 3-t=-1<0 nên g(x,y)
≤
0=> f(x,y)
≤
0
Suy ra maxQ=4 khi và chỉ khi f(x,y)=0  y=-2x
Ví dụ 3: Tìm u,v để biểu thức Q=
2
ux+v
1x +
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải
Đặt f(x)=Q(x)-t=
2
2 2
ux+v ux+v-t( 1)
1 1
x
t
x x
+
− =
+ +
vì x
2
+1>0 với mọi x nên dấu cảu f(x) phụ
thuộc vào dấu của g(x)=ux+v-t(x
2
+1) =-tx
2

= ±
− + =



Vậy với (u,v)=(4;3) hoặc (u;v)=(-4;3) thì bài toán thỏa mãn
2. Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTLN – GTNN của các biểu thức sau
A =
2
2
4 2 3
1
x x
x
+ +
+
B= (x-2y+1)
2
+(2x+ay+5)
2
C=
2 2
2 2
x xy y
x xy y
− +
+ +
D=
2 2

) =M thì không khẳng
định được maxf =M (hoặc minf=M) mặc dù ta vẫn chứng minh được f(x
0
;y
0
;z
0
)
≤
M (hoặcf(x
0
;y
0
;z
0
)
≥
M ) với mọi x,y,z thuộc TXĐ. Khi đó ta phải tìm một
cách giải khác
2. Bộ giá trị (x
0
;y
0
;z
0
) để f(x
0
;y
0
;z

n

b, Với n cặp số a
1
;a
2
;….;a
n
và b
1
; b
2
;…b
n

Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 1 1

n n n n
a b a b a b a a b b+ + + ≤ + + + +
(BĐT Bunhialcopxki)
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a

để f(x
0
)=A+B là đủ điều
kiện kết luận maxf =A+B (hoặc minf=A+B)
PHẦN IV: KẾT QUẢ
1. Trước khi áp dụng đề tài
-Học sinh thường lúng túng trong việc tìm hướng giải cho một bài toán cực trị
-Học sinh thường khó khăn trong việc chọn cách giải quyết một bài toán cực trị
-Học sinh tìm được cực trị của bài toán nhưng không tự kiểm tra được kết quả đó
có chính xác không
- Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế, học sinh thường thụ động trong việc
tiếp thu kiến thức khi giải các bài toán cực trị
-Chất lượng bài kiểm tra có bài toán liên quan đến tìm GTLN- GTNN ở khối 8,
khối 9 trường tôi rất thấp, nhiều học sinh không thể làm được
2. Sau khi dạy thực nghiệm 2 năm
Sau khi hoàn thiện đề tài, thông qua nhóm chuyên môn của trường và qua
việc thực hiện giảng dạy trong hai năm học 2009-2010 và 2010-2011, trong quá
trình bồi dưỡng HSG khối 8, 9 và ôn thi cho học sinh Khối 9 vào THPT. Kết quả
cho thấy:
- Từ một dạng toán khó, học sinh đã tự tin và hứng thú học tập hơn, nhiều
em có lời giải hay, gọn, trình bày khoa học.
- Kỹ năng giải toán cực trị đã dần được hình thành và là một đề tài được
học sinh bàn tán, trao đổi nhiều trong các buổi ngoại khóa, các tiết tự chọn hoặc
trong giờ truy bài.
- Với học sinh khá, nhiều em đã bước đầu định hình lời giải, có khả năng tự
chọn được phương pháp để giải quyết vấn đề.
- Đối với học sinh Giỏi 100 %,học sinh trong đội tuyển các em đã giải thành thạo
dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức”. Đã có HSG huyện
- Qua nghiên cứu và dạy thực nghiệm trong 2 năm học tôi có thống kế kết quả cụ
thể (tỷ lệ % học sinh đạt yêu cầu khi giải các bài toán cực trị) như sau

- Trong sáng kiến này số lượng ví dụ mẫu đưa ra còn hạn chế và nội dung chưa
phong phú. Các phương pháp giải đưa ra còn ít chưa có ví dụ về “cực trị hình học”,
chưa khai thác được tới phương pháp “ Hình học trong cực trị”
- Đề tài chủ yếu áp dụng đối với học sinh Giỏi, học sinh ôn đội tuyển thi HSG
2- Hướng đề xuất:
Trong quá trình giảng dạy, chắc ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất
lượng mũi nhọn được nâng cao. Vì vậy nó đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cần phải:
- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối
tượng học sinh.
- Giáo viên cần sưu tầm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp để lấy ví dụ minh họa.
- Cần áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh.
- Nhà trường cũng như các cấp, ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp đỡ về
thời gian cũng như tài liệu, tạo điều kiện về phương pháp dạy học hiện đại để giáo
viên khai thác được nhiều phương pháp dạy học.
C- KẾT LUẬN
Sau thời gian tìm tòi nghiên cứu, kết hợp với tư liệu tham khảo, kiến thức tích lũy.
Đồng thời qua quá trình giảng dạy cùng với sự tham gia góp ý của đồng nghiệp trong và
ngòai nhà trường đề tài đã được hoàn thành nhằm đóng góp một mảng nhỏ kiến thức
trong vô vàn kiến thức toán học của giáo viên tham gia BD học sinh giỏi THCS. Những
vấn đề được trình bày trong sáng kiến này tuy chưa thật toàn diện song thực sự có ích đối
với quý thầy cô tham gia BDHSG. Với việc cố gắng chọn và quát thành một phương
pháp giải quen thuộc cùng hệ thống các bài tập minh họa có thể giúp học sinh tiếp thu bài
một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu…
Tôi nghĩ rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp
nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, tài liệu cũng như của thầy cô
đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của thầy
cô giáo, tiếp tục giúp đỡ tôi hoàn thiện sáng kiến, từng bước hoàn thiện phương pháp dạy
học của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực cho sự
nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta hằng mong ước.