BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 10. 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU
TS NGUYỄN DUY BÌNH
NGHỆ AN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Duy
Bình. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó.
Tác giả
Trần Lê Nam
ii
LỜI CẢM ƠN
2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Định lý kiểu Fenchel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng
với mật độ log-tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ. . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ 50
3.1 f-độ cong trung bình của siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Siêu mặt trong không gian G
n
× R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Kết luận chung và kiến nghị 75
Danh mục công trình 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO 77
iv
1
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Kí hiệu Ý nghĩa
B
n
R
Hình cầu tâm O bán kính R trong R
n
dA
f
Phần tử diện tích theo mật độ e
−f
dV Phần tử thể tích Riemann
dV
f
Phần tử thể tích theo mật độ e
−f
r(x) r(x) =
x
2
1
+ ··· + x
2
n
, với x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
T
p
Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p
δ
ij
Ký hiệu Kronecker
∆f Laplacian của hàm f
với mật
độ
1
(2π)
n/2
e
−|x|
2
/2
, được nhiều nhà xác suất quan tâm. Do đó, việc tìm hiểu hình
học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý
nghĩa thực tiễn.
Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F. Morgan đã
đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn bộ hình học vi phân
cổ điển lên đa tạp với mật độ". Trong dự án đó, ông và các cộng sự đã đạt được
nhiều kết quả về bài toán đẳng chu, tổng quát một số định lý cổ điển của lý
thuyết đường lên mặt phẳng với mật độ. Chẳng hạn, C. Ivan và các đồng nghiệp
đã mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F. Morgan đã chứng minh Định lý
Myers với mật độ (xem [50]). Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toán
đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f-độ
cong trung bình hằng (xem [40]). Do đó, việc khảo sát tính chất hình học của
siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các siêu mặt f-cực tiểu là cần
thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra một số kết quả về lý thuyết
đường không còn đúng khi được gia thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng
có rất nhiều vấn đề về lý thuyết đường trong không gian với mật độ cần được
nghiên cứu như: Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng
Ơclit? Các định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các
đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường
f-trắc địa trên đa tạp với mật độ.
Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực nghiên cứu
× R và trên các không gian với mật độ tổng quát;
(e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f-cực tiểu trong không
gian G
2
× R
n−2
, với n ≥ 3.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
.
• Các định lý cổ điển của lý thuyết đường trên mặt phẳng với mật độ như:
Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel;
4
• Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ;
• Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu;
• Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích;
• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể.
4 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện
đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó là phương
pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của các đường cong có
f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham
số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác định các biến phân f-diện tích; phương
pháp dùng dạng cỡ để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp
dùng các ước lượng gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên
lý cực đại để chứng minh các định lý kiểu Bernstein.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
= Ric + Hessf,
ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Các mở rộng trên đã được
kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích
theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]). H
f
, Ric
f
lần lượt được gọi là độ cong
trung bình theo mật độ hay f-độ cong trung bình và độ cong Ricci theo mật độ
hay f-độ cong Ricci.
Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán học với các tên
gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds), "không gian của các
kiểu thuần nhất" (space of homogeneous type) (xem [15]), "không gian mêtric-độ
đo" (metric-measure space) (xem [30]). Năm 2004, V. Bayle đã trình bày tổng
quan về không gian mêtric-độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm
f-diện tích trong luận án của ông (xem [4]). Một năm sau đó, F. Morgan đã
gọi tên các lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem
[49]). Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của phiếm
hàm f-diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze và Karcher,
tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov. Ông cũng trình bày chi
tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật độ trong chứng minh giả thuyết
Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lý thuyết độ đo hình học (p. 197-201, [51]).
Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về biến
phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f -cực tiểu, f-ổn định. Sau
đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp với mật độ. Năm 1975,
C. Borell đã chứng minh một bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Gauss.
Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên không gian này là nửa không gian (xem [7]).
Một kết quả hết sức bất ngờ. Tiếp theo, M. Gromov chứng minh được hình cầu
tâm O là miền đẳng chu trên không gian R
n
và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: Định lý Gauss-Bonnet
suy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của đường trắc địa trên mặt phẳng với
mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng
và không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật
độ (xem [8], [36]),. . . Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia
thêm mật độ. Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu là
không đúng (xem [31]).
Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu mặt
f-cực tiểu, siêu mặt có f-độ cong hằng, f-độ cong Gauss hằng trong không gian
và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan tâm. Các tác giả C. Ivan,
H. Stephanie, Ă. Vojislav và Y. Xu đã chỉ ra một số mặt có f-độ cong trung
bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các
mặt có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]), J. M. Espinar và H. Rosenberg
đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ và có f-độ cong trung bình
hằng (xem [25]), D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f-cực
tiểu trong không gian R
3
với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). Tính chất cực
tiểu f-diện tích của các siêu mặt f-cực tiểu cũng được một số người làm hình
học quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với
mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f-cực tiểu diện tích (xem [33]). Bên
cạnh đó, các tính chất của siêu mặt f-cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi
một số tác giả (xem [13], [33], [47]).
Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình
là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f-cực tiểu trong các không gian với
mật độ. Cho M là một đa tạp Riemann khả vi n-chiều trong không gian R
n+1
.
Một phép nhúng phụ thuộc thời gian
x
=
H
λ(t), x
, N
λ(t), x
. (3)
Từ đó, chúng ta được
H(x
0
) = a x
0
, N(x
0
), (4)
với a = λλ
là một hằng số và λ =
λ
2
0
+ 2at.
Chúng ta xét 2 trường hợp sau:
.
(i) Nếu a < 0 thì λ → 0 khi t →
là các siêu mặt tự co rút nếu a < 0, là các
siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0.
Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến x
t
= x
0
+ at, ở đó a ∈ R
n+1
là
một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt f-cực tiểu trong
không gian R
n+1
với mật độ log-tuyến tính e
ax
. Một số tác giả còn mở rộng việc
8
nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở rộng với một lực tác động (with a
forcing term) dạng
∂
∂t
x
t
= −(H + b).N, b ∈ R.
Khi đó, f-độ cong trung bình của x
t
trên R
n+1
với mật độ log-tuyến tính là
một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]).
Như vậy, các mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss, không gian R
định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của mảnh tham số của siêu
mặt trong không gian R
n
. Mục 1.3 trình bày khái niệm và công thức tính độ
cong trung bình và độ cong Ricci của một đa tạp con định hướng được trong
đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng
trong luận án.
9
Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp với mật
độ. Mục 2.1 trình bày về khái niệm f-độ cong của đường cong phẳng, biến phân
thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Mục 2.2 trình bày về Định lý Gauss-Bonnet
suy rộng. Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật
độ. Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu.
Mục 2.5 phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật
độ log-tuyến tính. Mục 2.6 trình bày về đường f-trắc địa cực tiểu trong đa tạp
với mật độ. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ
quả 2.4.10, Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6. Các nội dung chính
của Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52].
Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ. Mục 3.1
trình bày về khái niệm f-độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và thứ hai
của phiếm hàm f-diện tích. Mục 3.2 trình bày về nguyên lý dạng cỡ trên đa
tạp với mật độ, tính cực tiểu f-diện tích của đồ thị của một hàm khả vi trong
không gian với mật độ. Mục 3.3 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong không
gian Gauss. Mục 3.4 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong tích của không gian
Gauss với đường thẳng R. Mục 3.5 trình bày về mặt f-cực tiểu trong không gian
với mật độ. Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.3.2.3, Định lý 3.4.3 và
Định lý 3.4.5.3. Các nội dung chính của Chương 3 đã được trình bày trong bài
báo [35].
10
Chương 1
f
= e
−f
dA, và d
f
= e
−f
d. (1.1.1)
Chúng ta để ý rằng định nghĩa trên không tương đương với việc nhân một
hệ số λ vào mê-tríc vì khi đó phần tử f-thể tích n-chiều và phần tử f-diện tích
(n −1)-chiều có số mũ λ khác nhau.
Không gian Ơclit R
n
với tích vô hướng chính tắc và mật độ e
−f
được ký hiệu
(R
n
, e
−f
). Tương tự, (M, g, e
−f
dV ) được dùng để chỉ đa tạp Riemann (M, g) với
mật độ e
−f
.
Các ví dụ sau cho thấy đa tạp với mật độ xuất hiện một cách tự nhiên trong
Toán học và Vật lý.
1.1.2 Ví dụ. Xét đường cong trên nửa mặt phẳng đóng Ơclit (biên Ox) và mặt
tròn xoay được sinh ra khi quay nó quanh trục Ox. Khi đó, diện tích của mặt
−x
2
/2
2π
dx =
1
√
2π
.
Hình 1.1.1: Mật độ của không gian Gauss tập trung ở gốc tọa độ,
giảm rất nhanh khi di chuyển khỏi gốc tọa độ.
Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được f-độ dài của một đường cong bất biến qua
phép quay quanh tâm O. Do đó, các đường thẳng qua gốc tọa độ có f-độ dài
bằng 1/
√
2π.
Mặt khác, f -diện tích của mặt phẳng Gauss G
2
bằng
Area
f
(G
2
) =
R
2
e
−r
2
dx
+∞
−∞
e
−y
2
/2
√
2π
dy
= 1.
Đường tròn tâm O bán kính R có f-độ dài bằng Re
−R
2
và f-diện tích của
đĩa tròn B(O, R) tâm O bán kính R bằng
1
2π
2π
0
R
0
re
−r
2
n
i=1
a
2
i
=
0, được gọi là không gian với mật độ log-tuyến tính. Trong không gian này, tập
hợp tất cả các điểm có cùng mật độ là một siêu phẳng. Do đó khi giải quyết các
bài toán liên quan đến các tính chất mà nó bất biến qua phép quay quanh gốc
tọa độ, chúng ta có thể xét hàm mật độ dạng e
x
n
. Trong không gian R
n
với mật
độ e
x
n
, phép tịnh tiến theo vectơ v = (a
1
, . . . , a
n−1
, 0), a
1
, . . . , a
n−1
∈ R
∗
, không
,
với mọi x, ξ ∈
B(a, r), chúng ta được
u(x) =
∂B(a,r)
u(ξ)P (x, ξ)dξ. (1.1.3)
13
1.1.8 Ví dụ (Tích của 2 đa tạp với mật độ). Cho 2 đa tạp với mật độ
M
1
, g
1
, e
−f
1
dV
M
1
,
M
2
, g
2
, e
−f
2
M
1
dV
M
2
= e
−f
1
−f
2
dV
M
1
dV
M
2
, (1.1.4)
dA
ϕ
= e
−ϕ
dA
M
1
dA
M
2
= e
−f
1
e
−ϕ
được gọi là đa tạp tích với mật độ tích hay tích của 2 đa tạp với mật độ.
1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong R
n
1.2.1 Định nghĩa (Definition 3.1.1, [21]). Một mảnh tham số của siêu mặt
trơn trong R
n
là một ánh xạ khả vi cấp vô hạn r : U −→ R
n
từ miền mở U của
R
n−1
vào không gian n-chiều R
n
.
Một mảnh tham số của siêu mặt được gọi là chính qui nếu n − 1 vectơ
∂r
∂x
1
(u), . . . ,
∂r
∂x
n−1
(u) là độc lập tuyến tính với mọi u ∈ U.
Cho Σ là một mảnh tham số chính qui được xác định bởi r : U −→ R
n
.
Không gian tiếp xúc của Σ tại p = r(u), ký hiệu T
p
n
từ miền xác định của tham số vào không gian R
n
.
Trường vectơ X được gọi là trường vectơ tiếp xúc nếu X(u) là một vectơ tiếp
xúc của siêu mặt tại r(u) với mọi u ∈ U.
Cho v là một vectơ tiếp xúc của Σ tại r(u
0
). Chúng ta định nghĩa đạo hàm
của trường vectơ X theo hướng v, ký hiệu ∇
v
X, bởi đẳng thức
∇
v
X = (X ◦u)
(0), (1.2.1)
14
ở đó u : [−1, 1] −→ U là một đường cong trong miền tham số U sao cho
u(0) = u
0
và (r ◦ u)
(0) = v.
Chúng ta ký hiệu ∂
i
r =
∂r
∂x
i
1.2.4 Định nghĩa (Definition 3.1.9, [21]). Cho Σ là một mảnh tham số của
siêu mặt được xác định bởi r : U −→ R
n
trong R
n
, p = r(u) ∈ Σ, N là pháp
vectơ đơn vị của Σ tại p. Chúng ta có hai định nghĩa sau:
.
1. Ánh xạ tuyến tính S
p
: T
p
Σ −→ T
p
Σ, v −→ −∇
v
N được gọi là toán tử
hình dạng hay ánh xạ Weingarten của Σ tại p;
2. Ánh xạ song tuyến tính II
p
trên T
p
Σ được xác định bởi đẳng thức
II
p
(v, w) = S
p
v, w (1.2.3)
được gọi dạng cơ bản thứ hai của Σ.
1.2.5 Bổ đề (Lemma 3.1.12, [21]). Chúng ta có,
. Một độ cong chính của Σ tại p là một giá trị riêng κ(p)
của S
p
.
2. Độ cong trung bình H(p) của Σ tại p được định nghĩa là bởi
H(p) =
1
n −1
tr S
p
. (1.2.4)
15
Do đó, chúng ta có
H =
1
n −1
n−1
i=1
κ
i
(p), (1.2.5)
với κ
i
(p) là các độ cong chính của Σ.
3. Vectơ
H := HN được gọi là vectơ độ cong trung bình của Σ.
Tiếp theo, chúng ta xây dựng công thức xác định độ cong trung bình cho
một mảnh tham số của siêu mặt trong hệ tọa độ địa phương.
r}. Tức là, chúng
ta có
S(∂
i
r) =
n−1
k=1
S
ki
∂
k
r. (1.2.8)
Khi đó, chúng ta được
b
ij
=
n−1
k=1
S
ki
∂
k
r, ∂
j
r
=
, x ∈ U. Khi đó, trường vectơ pháp
đơn vị của G
u
được tính bởi
N =
1
1 + |∇u|
2
(−∇u, 1). (1.2.10)
Suy ra S
ii
= (−∇
∂
i
r
N)
i
=
∂
∂x
i
∇u
1 + |∇u|
2
với mọi i = 1, . . . , n −1. Từ đó,
A(X, Y ) = (∇
X
Y )
N
, ∀X, Y ∈ T
x
Σ. (1.3.1)
2. Vectơ độ cong trung bình
H tại x được định nghĩa bởi đẳng thức
H =
1
k
k
i=1
A(E
i
, E
i
), (1.3.2)
ở đó {E
i
} là một cơ sở trực chuẩn của T
x
Σ. Nếu Σ là một siêu mặt có
trường vectơ pháp đơn vị N sao cho E
1
, . . . , E
x
(∇
E
i
X, E
i
). (1.3.4)
1.3.2 Nhận xét. 1. Nếu {N
} là một cơ sở trực chuẩn của không gian pháp
của Σ trong lân cận của x thì chúng ta có
n−k
=1
g
A(X, Y ), N
N
= −
n−k
=1
g(Y, ∇
X
N
)N
1.3.3 Định nghĩa (Definition 4.9.15, [21]). Cho X, Y, Z là 3 trường vectơ
trên Σ, độ cong Riemann của chúng được cho bởi
R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z −∇
Y
∇
X
Z −∇
[X,Y ]
Z, (1.3.7)
ở đó [X, Y ] là tích Lie của X và Y .
Độ cong Ricci, ký hiệu Ric, của liên thông ∇ là trường tenxơ hai lần hiệp
biến được xác định bởi đẳng thức:
Ric(X, Y )|
p
= tr
Z
p
−→
R(Z, X)Y
|
p
.
=
k
i=1
g
(R(X, E
i
)E
i
)
p
, Y
p
. (1.3.8)
1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong
luận án
1.4.1 Định lý ([56]). Cho τ : [a, b] −→ [a, b] là một hàm khả vi, biến đầu mút
của đoạn [a, b] thành đầu mút của đoạn [a, b] . Khi đó,
b
a
dτ
dt
2
dt ≥ b − a.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi τ là một ánh xạ đồng nhất.
x
2
(1 + a
2
x
2
)(1 + x
2
)
dx = −
a
2
+ 1
a
2
− 1
arctan x +
2a
a
2
− 1
arctan(ax) + c;
3.
be
2
√
1−b
2
x
+ c;
4.
√
1 −b
2
(e
√
1−b
2
x
− e
−
√
1−b
2
x
)
e
√
1−b
2
x
− 2b + e
−
√
1−b
2
x
dx = ln
- Giới thiệu 1 bất đẳng thức và 4 tích phân cần sử dụng trong các chứng
minh ở Chương 2.
19
Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA
ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA
TẠP VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý
Fenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu, phân loại
các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-
tuyến tính và thiết lập mối quan hệ giữa các đường f-trắc địa cực
tiểu với f-phiếm hàm năng lượng. Các kết quả chính của Chương 2
được viết dựa trên bốn bài báo [5], [31], [34] và [52].
2.1 f-độ cong của đường cong phẳng
2.1.1 Định nghĩa ([40]). Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f
cho đường tham
số α. Độ cong theo mật độ hay f-độ cong, ký hiệu k
f
, của α được định nghĩa
bởi công thức
k
f
= k +
df
dn
, (2.1.1)
trong đó k là độ cong của α và n là trường vectơ pháp đơn vị dọc α.
Copyright: Tài liệu đại học ©