ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHAN HOÀNG CHƠN
ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER
QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA
VÀ DÃY PHỔ MAY
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
Mục lục
Mục lục v
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 12
1.1. Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Giải thức bar và cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Dãy phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số 30
2.1. Giới thiệu về đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Đại số lambda dưới lăng kính của lý thuyết bất biến modular . . . . 33
2.3. Cấu trúc A -môđun của đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda . . . . . . 44
2.5. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6. Đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3. Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số 63
3.1. Dãy phổ May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Hai bài toán “hit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
v
3.5. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

sự khác biệt kiểu đồng luân của các không gian tôpô mà đồng điều và đối đồng điều
không nhận biết được.
Cấu trúc của đại số Steenrod đã được Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor
[50] nghiên cứu một cách sâu sắc. Bên cạnh các cơ sở cộng tính cổ điển đã biết (xem
Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), những năm gần đây, nhiều cơ sở cộng tính
khác của đại số Steenrod đã được các tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86],
Palmieri-Wang [57] xây dựng và nghiên cứu.
Một bài toán quan trọng trong chương trình phân loại kiểu đồng luân của các
không gian tôpô là xác định nhóm đồng luân, đặc biệt là nhóm đồng luân ổn định,
của mặt cầu. Năm 1958, Adams [1] xây dựng một dãy phổ hội tụ về thành phần
2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu. Trang E
2
của dãy phổ này (được
gọi là dãy phổ Adams) chính là đối đồng điều của đại số Steenrod, Ext
∗,∗
A
(F
2
, F
2
).
Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều của đại số Steenrod trở thành một bài toán
quan trọng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những
năm 60 của thế kỷ trước, đáng chú ý nhất là các công trình của Adams [2], Wang
1
[80], May [46, 47], Tangora [74], Lin [37, 38], Lin-Mahowald [39], Bruner [11].
Tuy nhiên, đây là một bài toán rất khó. Cho đến nay Ext
s,∗
A
(F

2
, F
2
) (xem [11]).
Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều của đại số Steenrod là đại số
vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem
[46, 47], [74], [37]) và giải thức cực tiểu của A (xem [11]).
Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod bằng công cụ lý thuyết
bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số,
gọi là đồng cấu chuyển đại số (hay còn gọi là đồng cấu chuyển Singer):
T r
s
: F
2
⊗
GL
s
P
A
H
∗
(BV
s
)
//
Ext
s,s+∗
A
(F
2

s
và của đại số Steenrod giao hoán với nhau
nên có một tác động cảm sinh của GL
s
trên P
A
H
∗
(BV
s
).
Đồng cấu Tr
s
có thể được xem như một phiên bản đại số của đồng cấu chuyển
hình học π
S
∗
((BV
s
)
+
) → π
S
∗
(S
0
) trên trang E
2
của dãy phổ Adams (xem [52]).
Singer cũng đã chứng minh rằng Tr

2
, F
2
).
Đồng cấu T r
s
, với s ≥ 5, đã bước đầu được nghiên cứu bởi Singer [63] và V. T.
N. Quỳnh [61]. Bên cạnh đó, dùng tính giao hoán của toán tử Kameko (xem [34])
và toán tử Sq
0
cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N.
H. V. Hưng [28] chứng minh rằng, khi s ≥ 5, T r
s
không là đẳng cấu tại vô hạn bậc.
Tuy nhiên, tại những bậc đang xét, việc T r
s
không là đơn cấu hay không là toàn cấu
vẫn chưa được biết đến nên giả thuyết của Singer vẫn còn mở.
Dựa vào các tính toán trên F
2
⊗
A
H
∗
(BV
s
), N. H. V. Hưng và Kuhn đã đưa ra
một số giả thuyết thú vị về cấu trúc của đối đồng điều của đại số Steenrod (xem [28],
[9]). Cụ thể, trong [58], Peterson đưa ra giả thuyết rằng F
2

s
P
A
H
∗
(BV
s
) lặp lại
nhiều nhất s − 2 lần thì ta nhận được một đẳng cấu lên ảnh của nó. Một giả thuyết
tương tự được N. H. V. Hưng [28], [9] đưa ra là tồn tại một số r, phụ thuộc vào s, sao
cho (Sq
0
)
i−r
: Im(Sq
0
)
r
→ Im(Sq
0
)
i
là một đẳng cấu, trong đó ký hiệu Im(Sq
0
)
i
là ảnh của (Sq
0
)
i

Các tính toán của Singer [63] được thực hiện chủ yếu trên đối ngẫu của đồng cấu
chuyển đại số sau
T r
∗
s
: Tor
A
s,s+t
(F
2
, F
2
)
//
(F
2
⊗
A
H
t
(BV
s
))
GL
s
.
Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu
chuyển đại số có liên quan mật thiết đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của
H
∗

Ext
s,t
A
(F
2
, F
2
). Do đó, Λ có thể được xem như trang E
1
của
dãy phổ Adams. Ngày nay, Λ là một trong những công cụ hữu hiệu nhất để tính đối
đồng điều của đại số Steenrod, và được sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]). Năm
1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh rằng đại số lambda đẳng cấu
với thương của đối phức cobar của đại số Steenrod.
Một cách thuần túy đại số, Λ là đại số vi phân kết hợp trên trường F
2
sinh bởi các
phần tử λ
i
, i ≥ 0, có song bậc (1, i), và thỏa mãn các quan hệ Adem:
λ
s
λ
t
=

j

j − t − 1
2j − s

s,0
(xem [23]). Singer [62] chứng minh rằng đối ngẫu của đại số lambda đẳng cấu
với một phức dây chuyền, tại mỗi bậc đồng điều s, là không gian con của Γ
s
sinh
bởi các phần tử thỏa mãn điều kiện chiều. Với cách xây dựng này, đối ngẫu của đại
4
số lambda có cấu trúc tự nhiên của một A -môđun vi phân; tuy nhiên, mối liên hệ
giữa cấu trúc A -môđun của Λ và quan hệ Nishida vẫn chưa được hiểu rõ (xem bình
luận của Wilkerson trong [83, trang 10]). Sau đó, N. H. V. Hưng [27] dùng phức dây
chuyền của Singer để xây dựng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số.
Dựa trên ý tưởng của Singer [62], chúng tôi xây dựng lại đại số lambda (chứ
không phải đối ngẫu của lambda như trong [62]) theo lý thuyết bất biến. Từ đó, cấu
trúc A -môđun của đại số lambda được xác định một cách tường minh (xem Mệnh
đề 1, so sánh với công thức (5.1) trong [62]). Với kết quả này, chúng tôi có thể chỉ
rõ mối liên hệ giữa quan hệ Nishida và cấu trúc A -môđun của đại số Λ. Gọi Λ
s
là
không gian con của Λ sinh bởi các đơn thức có độ dài s. Với mỗi s ≥ 1, chúng tôi
xây dựng một đồng cấu
ψ
s
: H
∗
(BV
s
)
//
Λ
s

2
, F
2
) nằm
trong ảnh của T r
4
. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra một chứng minh khác cho việc
f
0
∈ Ext
4,22
A
(F
2
, F
2
) nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số, kết quả này đã được
chứng minh bởi T. N. Nam [91].
Một công cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều của đại số Steenrod là dãy
phổ được xây dựng bởi May [46] năm 1964. Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu
một vài thuật ngữ và ký hiệu. Gọi A là iđêan của A sinh bởi tất cả các phần tử bậc
dương, được gọi là iđêan bổ sung của A . Lọc bổ sung của A được định nghĩa bằng
cách đặt F
p
A = A nếu p ≥ 0 và F
p
= (A )
−p
nếu p < 0.
Lọc bổ sung của A cảm sinh một lọc trên giải thức bar, và do đó ta thu được một

bản tương tự như đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số:
E
2
ψ
s
: Tor
E
0
A
s,s+t
(F
2
, F
2
)
//
F
2
⊗
E
0
A
E
0
H
t
(BV
s
) = Tor
E

2
) (0 ≤ n ≤ 5) và h
n
0
j ∈ Ext
7+n,33+n
A
(F
2
, F
2
) (0 ≤ n ≤ 2)
không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số (xem Định lý 5). Lưu ý rằng vì
h
6
0
i = h
3
0
j = 0 (xem [11]) nên kết quả trên cho chúng ta đầy đủ thông tin về các
h
0
-tháp của i và j.
Trong phần phụ lục của luận án, chúng tôi nghiên cứu một đại số thương quan
trọng của đại số lambda là đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Đại số này đầu tiên
được xây dựng bởi Araki và Kudo [5] trên trường F
2
, sau đó được Dyer và Lashof
[24] mở rộng lên trường F
p

thỏa mãn các quan hệ Adem sau:
Q
s
Q
t
=

j

j − t − 1
2j − s

Q
s+t−j
Q
j
, s > 2t.
Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof được dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) của
không gian các vòng lặp, đặc biệt là không gian các vòng lặp vô hạn (xem [5], [49],
[43]).
Mặt khác, các công trình của Madsen [42], H. Mùi [54], cho thấy không gian
con của R sinh bởi các đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu của đại số
Dickson. Kết quả này mở ra một con đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-Dyer-
Lashof bằng công cụ của lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43],
6
H. Mùi [54], Campbell [14], N. H. V. Hưng [26], N. H. V. Hưng-P. A. Minh [30],
N. H. V. Hưng [29]).
Kết của chính của phần phụ lục là xây dựng một cơ sở mới cho đại số Araki-
Kudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) cũng như chỉ ra liên hệ giữa cơ sở mới với cơ sở
chấp nhận được và cơ sở Turner (xem Mệnh đề 7 và Mệnh đề 8). Ngoài ra, dựa vào

(λ
I
Sq
t
).
Với tác động này, đại số lambda trở thành một môđun trên đại số Steenrod, nó đối
ngẫu với cấu trúc A -môđun của phức dây chuyền được định nghĩa bởi Singer trong
[62] (xem Mệnh đề 2.3.8). Lưu ý rằng hệ số nhị thức

n
k

trong Mệnh đề 1 xác định
với mọi số nguyên n và với mọi số nguyên k ≥ 0, trong khi quan hệ Nishida cũng có
công thức tương tự nhưng hệ số nhị thức chỉ được định nghĩa cho trường hợp n và k
đều không âm. Do đó, tác động được mô tả trong mệnh đề trên làm sáng tỏ hơn một
số kết quả trong Wellington [81] về mối liên hệ giữa vi phân và cấu trúc A -môđun
của đại số Λ.
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số, ψ
s
(xem
Định lý 2.4.2), và ứng dụng vào việc khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Trong [25], L. M. Hà xây dựng các phần tử

d
0
∈ P
A
H
14

2
). Dùng đồng cấu ψ
s
, chúng tôi có thể
tính toán trực tiếp ảnh của

d
0
, e
0
qua ψ
4
và chỉ ra rằng chúng tương ứng là các đại
diện của d
0
và e
0
trong đại số lambda (xem Mệnh đề 2.5.2). Ngoài ra, chúng tôi cũng
xây dựng một cách tường minh phần tử

f
0
∈ P
A
H
18
(BV
4
) và chứng tỏ rằng ψ
4

2
, F
2
),
(ii) h
2
0
P h
2
∈ Ext
7,18
A
(F
2
, F
2
), và
(iii) h
n
1
P h
1
∈ Ext
5+n,14+2n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 2,

(F
2
, F
2
).)
Ý tưởng chính trong chứng minh của Định lý 2 là các khẳng định (F
2
⊗
A
P
6
)
GL
6
11
=
0 (xem Bổ đề 2.6.9) và (F
2
⊗
A
P
7
)
GL
7
11
= 0 (xem Chứng minh phần (ii) của Định
lý 2.6.1), trong đó ký hiệu P
s
= H

(F
2
, F
2
) đều đã được xác định (xem
[46, 74, 11]).
8
Mệnh đề sau đây (còn được đánh số là Mệnh đề 3.4.2) là kết quả đầu tiên của
chương này.
Mệnh đề 3. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) d
0
∈ Ext
4,18
A
(F
2
, F
2
),
(ii) e
0
∈ Ext
4,21
A
(F
2
, F
2
),

được chứng minh bởi N. H. V. Hưng-
V. T. N. Quỳnh [33]. Việc nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số, dùng E
2
ψ
s
,
liên quan đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của E
0
H
∗
(BV
s
) (môđun phân bậc
liên kết của H
∗
(BV
s
)) xem như môđun trên đại số phân bậc liên kết của A (được
gọi là bài toán “hit” thứ hai), và sau đó là bài toán xác định các chu trình vĩnh cửu
không tầm thường trên dãy phổ May cho H
∗
(BV
s
) tại bậc đồng điều không.
Dùng phương pháp này, chúng tôi chứng minh được các phần tử sau đây không
nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Mệnh đề 4 ([13]). Phần tử g
1
∈ Ext
4,24

, F
2
),
(iii) h
n
0
i ∈ Ext
7+n,30+n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 5, và
(iv) h
n
0
j ∈ Ext
7+n,33+n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 2,
không được phát hiện bởi đồng cấu chuyển đại số.
Lưu ý rằng phương pháp của chúng tôi chưa chứng tỏ được các phần tử khác
trong họ g
i
, i ≥ 1, không nằm trong ảnh của T r

lý A.2.1).
Định lý 6. Tập hợp tất cả các đơn thức Q
j
k−1
· · · Q
j
0
, trong đó j
n
≥ 2j
n−1
, với
1 ≤ n ≤ k − 1, và j
n
chia hết cho 2
n
, là một cơ sở cộng tính của R[k].
Turner [75] đã giới thiệu một cơ sở cộng tính cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof
thông qua lý thuyết bất biến, và dùng nó trong nghiên cứu cấu trúc vành Hopf của
đồng điều (modulo 2) của không gian các vòng lặp vô hạn của mặt cầu S
0
. Các cơ sở
cộng tính khác nhau của đại số Steenrod đã được Walker và Wood [77, 78] sử dụng
trong nghiên cứu bậc lũy linh của các toán tử Sq
i
, do đó, chúng tôi hy vọng rằng
việc xây dựng các cơ sở cộng tính khác nhau cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof có
thể sẽ mang lại các kết quả tương tự.
Gọi A
C

2
có 2 phần tử.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan cần cho các
chương tiếp theo của luận án. Các nội dung được trình bày theo thứ tự là: sơ lược về
đại số Steenrod (mod 2); giải thức bar và cobar; dãy phổ; đồng cấu chuyển đại số.
1.1. Đại số Steenrod
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod và một số tính chất
cơ bản sẽ được sử dụng trong các chương sau.
Đại số Steenrod là đại số sinh bởi các toán tử đối đồng điều, được định nghĩa bởi
Steenrod [67],
Sq
k
: H
∗
(X) → H
∗+k
(X),
tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X, xác định với mọi k ≥ 0.
Các toán tử này giao hoán với phép treo và do đó chúng được gọi là các toán tử đối
đồng điều ổn định.
Những kết quả đầu tiên liên quan đến cấu trúc của đại số Steenrod được xây dựng
bởi Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50].
Năm 1950, Cartan [88] chứng minh rằng
Sq
k
(xy) =
k

i=0
Sq

quan hệ Adem,
Sq
a
Sq
b
=
[a/2]

i=0

b − i − 1
a − 2i

Sq
a+b−i
Sq
i
, a < 2b, (1.2)
trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2, ký hiệu [x] là phần nguyên của x,
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Cho I = (i
1
, . . . , i
k
) là một bộ k số nguyên dương. Một tích các toán tử Sq
I
=
Sq
i
1

Theo Milnor [50], đại số Steenrod, A , là đại số Hopf, phân bậc, liên thông, đối
giao hoán, có kiểu hữu hạn và có bổ sung, trong đó, đối tích được cho trên các phần
tử sinh bởi
∆(Sq
k
) =
k

i=0
Sq
i
⊗ Sq
k−i
.
13
Đồng cấu bổ sung  : A → F
2
xác định bởi (θ) = 1 nếu |θ| = 0 và (θ) = 0
nếu |θ| > 0, trong đó ký hiệu |θ| là bậc của phần tử θ trong A . Nhân của  được gọi
là iđêan bổ sung của A và được ký hiệu là A .
Tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A , được gọi là đẳng cấu phản đối xứng (phản
đồng cấu), thỏa mãn
χ(Sq
k
) =
k

i=1
Sq
i

n−2
. . . Sq
1
theo cơ sở chấp nhận được.
Đại số A
*
là một đại số Hopf với đối tích và phản đồng cấu được cho bởi
µ
∗
(ξ
k
) =
k

i=0
ξ
2
i
k−i
⊗ ξ
i
, χ(ξ
k
) =
k−1

i=0
ξ
2
i

1
1
. . . ξ
r
k
k
theo cơ sở đơn thức của
A
*
. Khi đó, bậc của Sq(r
1
, . . . , r
k
) là r
1
+ 3r
2
+ · · · + (2
k
− 1)r
k
, và ta có kết quả
sau đây.
Mệnh đề 1.1.3 ([50]). Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tính của đại
số Steenrod A , xem như F
2
-không gian véctơ phân bậc.
Cơ sở của A nói trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là cơ sở Milnor.
Trong [50], Milnor xây dựng cấu trúc tích của các phần tử trong cơ sở Milnor, là
đối ngẫu của đối tích trong A

x
11
x
12
· · ·
x
20
x
21
x
22
· · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





,

n

w=0
x
w,n−w
, 1 ≤ n ≤ m,
b(X) =

m
n=1
(t
n
!)

i,j
(x
ij
!)
,
trong đó b(X) được lấy theo modulo 2.
Đặt P
s
t
= Sq(0, . . . , 2
s
) là phần tử trong cơ sở Milnor có 2
s
ở vị trí thứ t, các
vị trí còn lại đều bằng không. Nói cách khác, P
s

Khi đó, đối tích được cho bởi
∆(Sq(T )) =

R+S=T
Sq(R) ⊗ Sq(S).
Cấu trúc A -môđun của H
∗
(BV
s
)
Gọi V
s
là không gian véctơ s chiều trên F
2
. Đối đồng điều của không gian phân
loại BV
s
là đại số đa thức P
s
= F
2
[x
1
, . . . , x
s
] trên F
2
sinh bởi các x
i
, mỗi x

) =

n
k

x
n+k
i
.
Với tác động này, P
s
trở thành một A -môđun trái. Từ các công trình của Serre [92],
Milnor [50], Peterson [58, 59] cho thấy cấu trúc A -môđun của P
s
đặc biệt quan
trọng.
15
Bài toán xác định tập sinh cực tiểu của P
s
xem như một A -môđun được gọi là bài
toán “hit”
1
. Một đa thức f ∈ P
s
được gọi là bị “hit” nếu f ∈ A P
s
. Việc giải bài toán
“hit” tương đương với việc tìm một cơ sở cho không gian véctơ F
2
⊗

.
Ký hiệu α(n) là số chữ số 1 trong khai triển nhị phân của số tự nhiên n. Kết quả
sau đây được sử dụng nhiều trong các chương tiếp theo.
Định lý 1.1.4 ([84]). Cho m ∈ P
s
là một đơn thức bậc d. Nếu α(d + r) > r thì m bị
“hit” trong P
s
, trong đó r là số lũy thừa lẻ của m.
Hệ quả 1.1.5 (Giả thuyết của Peterson [58]). Nếu α(d+s) > s thì mọi đa thức thuần
nhất bậc d của P
s
đều bị “hit”.
Đối ngẫu lại, đồng điều của BV
s
là đại số lũy thừa bị chia Γ(a
1
, . . . , a
s
) trên F
2
sinh bởi các a
i
, trong đó a
i
là đối ngẫu của x
i
∈ H
1
(BV

là đối ngẫu của x
t
1
1
. . . x
t
s
s
theo cơ sở đơn thức của P
s
.
Gọi P
A
H
∗
(BV
s
) là đối ngẫu của F
2
⊗
A
P
s
. Khi đó, với mọi y ∈ P
A
H
∗
(BV
s
), ta

n
(
¯
A) là tích tenxơ n phiên bản của
¯
A. Các phần tử sinh trong B
n
(A; A) được ký hiệu đơn giản là a{a
1
| . . . |a
n
}b, trong
1
Thuật ngữ “Hit problem” do Peterson [58] đưa ra và được sử dụng rộng rãi.
16
đó a, b ∈ A và a
i
∈
¯
A; các phần tử sinh của B
0
(A; A) được ký hiệu là a{}b. Khi đó,
B(A; A) = ⊕
n≥0
B
n
(A; A) là một A-môđun song bậc, trong đó a{a
1
| . . . |a
n

n
}b;
s
−1
: A → B
0
(A; A), s
−1
(a) = 1{}a;
t
n
: B
n
(A; A) → B
n+1
(A; A), t
n
(a{a
1
| . . . |a
n
}b) = a{a
1
| . . . |a
n
|b}1;
t
−1
: A → B
0

n
= 1 + t
−1
,
và ∂ thỏa mãn ∂(axb) = a∂(x)b, trong đó x ∈ T (
¯
A).
Tính toán trực tiếp, ta nhận được công thức của ∂ như sau:
∂(a{a
1
| . . . |a
n
}b) = aa
1
{a
2
| . . . |a
n
}b +
n−1

i=1
a{a
1
| . . . |a
i
a
i+1
| . . . |a
n

); B(A; M) =
B(F
2
; M).
17
Ta định nghĩa
H
∗
(A; M) = H(B(F
2
; M)) = Tor
A
(F
2
, M);
H
∗
(A; N) = H(B(N; F
2
)) = Tor
A
(N, F
2
);
H
∗
(N; M) = H(B(N; M)) = Tor
A
(N, M).
(1.6)

(N, M).
(1.7)
Một cách ngắn gọn, ta viết
H
∗
(A) = H
∗
(A; F
2
) = Tor
A
(F
2
, F
2
);
H
∗
(A) = H
∗
(A; F
2
) = Ext
A
(F
2
, F
2
).
Vì ta có

).
Gọi
¯
A
∗
; M
∗
là đối ngẫu của
¯
A và M, khi đó C(F
2
; M) = T(
¯
A
∗
) ⊗ M
∗
. Một
phần tử của C(F
2
; M) được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các phần tử
dạng {α
1
| . . . |α
n
}λ, trong đó α
i
∈
¯
A

{α
1
| . . . |α
n
|α

ν
}λ

ν
,
(1.8)
trong đó đối tích của
¯
A
∗
và cấu trúc đối môđun của M
∗
có dạng
µ
∗
(α
i
) =

ν
i
α

i,ν

} = {α
1
| . . . |α
r
|β
1
| . . . |β
s
}. (1.9)
18
Với x, y ∈ C(A) thì δ(x ∪ y) = δ(x) ∪ y + x ∪ δ(y). Do đó, (1.9) cảm sinh trên
Ext
A
(F
2
, F
2
) một tích, tích này trùng với tích Yoneda.
C(A; M) là một C(A)-môđun với ánh xạ cấu trúc
{α
1
| . . . |α
r
} ∪ {β
1
| . . . |β
s
}λ = {α
1
| . . . |α

r+s
sao cho
σ(1) < · · · < σ(r),
σ(r + 1) < · · · < σ(r + s).
Với tích ken, B(A) là một đại số giao hoán.
Nếu x, y là các chu trình trong B(A) và a
i
a
j
= a
j
a
i
, với 1 ≤ i ≤ r và r + 1 ≤
j ≤ r + s thì x ∗ y cũng là một chu trình trong B(A).
1.3. Dãy phổ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về dãy phổ và đồng cấu dãy phổ.
Trình bày của mục này dựa theo [41], [66].
Dãy phổ và đồng cấu dãy phổ
Một môđun Z-song bậc là một họ các môđun E = {E
p,q
} với mỗi cặp p, q ∈ Z.
Một vi phân d : E → E có song bậc (−r, r − 1) là một họ các đồng cấu {d
p,q
:
E
p,q
→ E
p−r,q+r−1
} với mỗi cặp p, q và d

bậc −1 thông thường, và H({E
n
}, d) là một
môđun phân bậc nhận được từ H
p,q
(E) bằng cách đặt H
n
(E) =

p+q=n
H
p,q
(E).
Định nghĩa 1.3.1. Một dãy phổ E là một họ {E
r
, d
r
}, với r ≥ 0, sao cho:
(i) E
r
là một môđun song bậc và d
r
là vi phân song bậc (−r, r − 1) trên E
r
;
(ii) Với mỗi r ≥ 0, tồn tại đẳng cấu H(E
r
)
∼
=

r
là đồng cấu song bậc (0, 0) và giao hoán với vi phân d
r
.
Như vậy f
r+1
được cảm sinh từ f
r
qua đồng điều.
Để định nghĩa trang giới hạn của dãy phổ, ta đồng nhất E
r+1
với H(E
r
), r ≥ 0
bởi đẳng cấu trong định nghĩa. Gọi Z
0
là môđun song bậc với Z
0
p,q
= Ker[d
0
:
E
0
p,q
→ E
0
p,q−1
], và B
0

E
1
p−1,q
], và B(E
1
) là môđun song bậc với B(E
1
)
p,q
= d
1
(E
1
p+1,q
). Theo định lý
đẳng cấu Noether, tồn tại môđun con song bậc Z
1
và B
1
của Z
0
chứa B
0
sao cho
Z
1
p,q
= Z(E
1
)

B
0
⊂ B
1
⊂ · · · ⊂ B
r
⊂ · · · ⊂ Z
r
⊂ · · · ⊂ Z
1
⊂ Z
0
,
trong đó E
r+1
= Z
r
/B
r
.
Ta định nghĩa các môđun song bậc Z
∞
= ∩
r
Z
r
, B
∞
= ∪
r

p,q
→ E
r
p−r,q+r−1
là tầm thường. Khi đó
E
r+1
p,q
đẳng cấu với một thương của E
r
p,q
và E
∞
p,q
đẳng cấu với giới hạn trực tiếp của
dãy
E
r(p,q)
p,q
→ E
r(p,q)+1
p,q
→ · · ·
Một dãy phổ được gọi là hội tụ mạnh nếu với mỗi p, q tồn tại một số nguyên
r(p, q) ≥ 0 sao cho, với r ≥ r(p, q), E
r
p,q
∼
=
E

Dãy phổ sinh bởi phức có lọc
Một lọc (tăng) F trên môđun A là một họ các môđun con của F
p
A của A sao
cho F
p
A ⊂ F
p+1
A, với mọi số nguyên p. Nếu A = {A
q
} là một môđun phân
bậc thì F phải tương thích với phân bậc. Cho một lọc F trên A, môđun phân bậc
liên kết G(A) được định nghĩa bởi G
p
(A) = F
p
A/F
p−1
A. Nếu A là một môđun
phân bậc thì môđun phân bậc liên kết G(A) là một môđun song bậc xác định bởi
G
p,q
(A) = F
p
A
p+q
/F
p−1
A
p+q

}). Lọc trên C cảm sinh lọc trên
H
∗
(C) định nghĩa bởi
F
p
H
∗
(C) = Im[H
∗
(F
p
C) → H
∗
(C)].
21
Vì hàm tử đồng điều giao hoán với giới hạn trực tiếp nên nếu F là lọc hội tụ trên
C thì ∪
p
F
p
H
∗
(C) = H
∗
(C), tuy nhiên ∩
p
F
p
H

p−1
C, F
p−2
C) và E
∞
đẳng cấu với môđun song bậc GH
∗
(C) liên kết với lọc cảm sinh F
p
H
∗
(C) =
Im[H
∗
(F
p
C) → H
∗
(C)].
Dãy phổ thỏa mãn định lý này được gọi là dãy phổ sinh bởi phức có lọc hội tụ về
H
∗
(C).
Chứng minh. Với r bất kỳ, ta định nghĩa
Z
r
p
= {c ∈ F
p
C|∂(c) ∈ F

p−1
⊂ ∂Z
0
p
⊂ ∂Z
1
p+1
⊂ · · · ⊂ ∂C ∩ F
p
C ⊂ Z
∞
p
⊂ · · · ⊂ Z
1
p
⊂ Z
0
p
= F
p
C.
Ta định nghĩa
E
r
p
=Z
r
p
/(Z
r−1

r−1
p−1
. Do đó, nó
cảm sinh một đồng cấu
d
r
: E
r
p
→ E
r
p−r
.
Khi đó, E
r
là môđun song bậc và d
r
là một vi phân với song bậc (−r, r − 1) trên
E
r
. Với r < 0, d
r
= 0 và E
r
p
= F
p
C/F
p−1
C. Do đó,