Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán
về đoạn thẳng tỷ lệ
A/ Cơ sở lý thuyết các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :
Phần 1
các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ
1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng
Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo
Nh thờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ
đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó .
Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là
CD
AB
. Trong ký hiệu
CD
AB
này , AB
và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD .
Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo .
1.2 . Tỷ lệ thức
Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số .
Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà
CD
AB
=
GH
EF
thì đẳng thức đó là một tỷ
lệ thức của các đoạn thẳng .
1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức

+
5)
CD
AB
=
GH
EF
=
GHCD
EFAB


( Nếu CD khác GH )
1.3 .Trung bình nhân
Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nếu

CD
AB
=
EFCDhayAB
AB
EF
.
2
=
VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì
đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG
1.4 .Trung bình điều hoà
Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu


111
=
+
=
+
=
+
=+=+
(Đpcm)
1.5 . Đoạn thẳng tỷ lệ :
Hai đoạn thẳng AB & CD đợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
nếu có tỷ
lệ thức :
//
//
DC
BA
CD
AB
=
.
Chú ý : Hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A
/

& A
/
B
/

- AB & A
/
B
/
tỷ lệ với CD & C
/
D
/

- C
/
D
/
& CD tỷ lệ với A
/
B
/
& AB
- A
/
B
/
& C
/
D

- Điểm D chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số k ( 0 < k 1 ) khi và chỉ khi D
thuộc đờng thẳng AB nhng không thuộc đoạn thẳng AB và
k
DB
DA
=
VD : Trọng tâm G của tam giác ABC chia trong trung tuyến AD theo tỷ số k = 2
vì
2=
GD
GA
. Trung điểm D của cạnh BC chia ngoài đoạn thẳng AG theo tỷ số 3
vì
3=
DG
DA
.
Phần 2 : Định lý thaleS
2.1 Định lý Thale
\
s thuận
Ba đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tơng
ứng tỷ lệ . d d
/

a A A
/

Giả sử đờng thẳng d cắt ba đờng thẳng
Song song a , b , c tại các điểm tơng

/
các đoạn
thẳng tơng ứng AB và A
/
B
/
.Nếu một đờng thẳng c cắt d và d
/
tại hai điểm tơng ứng
C (không trùng với A ) và C
/
ở cùng phía đối với đờng thẳng b mà ta có các đoạn
thẳng tơng ứng tỷ lệ
//
//
CB
BA
BC
AB
=
Thì đờng thẳng c song song với a & b
2.3 Định lý Thales trong tam giác :
2.3 .1 Định lý Thuận
Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh
đối diện thì nó chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn
thẳng tơng ứng tỷ lệ . A
Tam giác ABC , DE / / BC ( với D thuộc đờng thẳng AB E thuộc đờng thẳng AC
) thì
AC
EC

0= k
MB
MA
cho trớc .
a H A A
/
b K B B
/

c I M M
/

Lời giải :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
3
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phần thuận : Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên )
qua H vẽ đờng thẳng vuong góc với b tại K . Khi đó có đúng một điểm I trên đờng
thẳng HK sao cho
k
IK
IH
=
Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà
0= k
MB
MA
Thì
IK
IH

//
//
. Vậy mọi điểm trên c đều thoả mãn ĐK đã cho đối với điểm M
Vậy quỹ tích cần tìm là đờng thẳng c .
3.2 Bài toán thứ hai :
Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Đờng thẳng đi qua giao điểm I
của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các
điểm tơng ứng E , F . Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung
bình điều hoà của hai đáy .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.3 Bài toán thứ ba :
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD . Đờng thẳng đi qua A và
song song với BC cắt BD tại E . Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC
tại F . Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình thang .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.4 Bài toán thứ 4 :

Nếu góc BAC của tam giác ABC và góc B
/
A
/
C
/
của tam giác A
/
B
/
C
/

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t )

Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
4
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Cho trớc ba đoạn thẳng AB , m , n . Dựng các điểm chia trong và chia ngoài
đoạn thẳng AB theo tỷ số
n
m
.
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.7 Bài toán thứ bẩy( Định lý về chùm đờng thẳng đồng quy) :
a/ Định lý thuận :
Nếu ba đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song thì chúng định ra
trên hai đờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
b/ Định lý đảo 1 :
Cho ba đờng thẳng , trong đó có hai đờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai đ-
ờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì ba đờng thẳng ấy đồng
quy .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
c/ Định lý đảo 2 :
Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các
đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau.
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) :
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đờng

Lời giải : (Xem tài liệu TK )
3.12 Bài toán thứ m ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ):

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm tơng ứng M ,
N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN
và MD . Chứng minh rằng ba điểm C , P , Q thẳng hàng .
3.13 Bài toán thứ m ời ba ( Định lý Cé va ):
Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,
AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện
cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là
1=
RB
RA
QA
QC
PC
PB
.
Chú ý : Nếu P , Q , R theo thứ tự nằm trên các cạnh BC , CA , AB của tam giác
ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó thì không thể xảy ra trờng hợp ba
đờng thẳng AP , BQ , CR song song với nhau . Do đó nếu không dùng khái niệm độ
dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh sau :
Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,
AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện
cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là
1=
RB
RA
QA
QC

tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng :
532
ECEBEA
==
.
3.19 Bài toán thứ m ời chín ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giác ABC, có đờng trung tuyến AD . Đờng phân giác của góc ADB và
ADC cắt các cạnh tơng ứng AB , AC tại E , F . Chứng minh rằng EF // BC và
EF là trung bình điều hoà của AD , BD .
3.20 Bài toán thứ hai m ơi ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giác ABC không cân tại A . Chứng minh rằng chân đờng phân giác
ngoài của góc A và chân của hai đờng phân giác trong của hai góc B , C là ba
điểm thẳng hàng .
3.21 Bài toán thứ hai m ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giácABC vuông tại A . Chứng minh rằng : Đờng cao AH , đờng trung
tuyến BD , đờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân
của BC và CA .
3.22 Bài toán thứ hai m ơi hai (Định lý đảo của định lý về đờng phân giác )
Đờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện
thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đờng phân giác( trong,
ngoài) của tam giác đó .
3.23 Bài toán thứ hai m ơi ba ( Quỹ tích về đờng tròn Apollonius ):
Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân
biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đờng tròn có đờng kính là
đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỷ số k .
3.24 Bài toán thứ hai m ơi t ( ứng dụng Quỹ tích về đờng tròn Apollonius):
Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D . Dựng tam giác vuông ABC mà
AD là đờng phân giác của góc vuông .
Lời giải các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng
thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ nh bốn
đoạn thẳng nói trên .
F
E
B
G
D
C
A
Lời giải ( Tóm tắt ) :
Từ D dựng DG // AB ta có
BC
AC
BG
AD
BG
EB
FD
EF
===
2) Lợi dụng đờng phân giác của một góc :
VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt
đờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) . Chứng minh rằng :
EC
AE
FA
DF
=
.
Suy xét : DF và FA là hai đoạn thẳng

=
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
8
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Suy xét ( Cách 1 ) PE & PD là hai cạnh của
tam giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác
PDF . Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác
PDF thì bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau . Muốn chứng
minh hai tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải
chứng minh hai cặp góc tơng ứng bằng nhau từng đôi
một . Để chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đôi
một thì phải tìm những cặp góc khác làm trung gian .
Từ những đờng vuông góc đã cho trong giả thiết ta
thấy các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có
thể tìm đợc những góc nội tiếp bằng nhau . Từ tiếp
tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đợc góc giữa
tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc nội tiếp
chắn cung mà dây đó căng
A
F
E
P
C
D
B
Suy xét (Cách 2 ) : Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm
ta biết góc PBE = góc PCD . Ta chứng minh đợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC ,
và suy ra PE : PD = PB : PC . Với cách đó ta cũng chững minh đợc PD : PF = PB : PC và nh vậy qua tỷ số
trung gian PB : PC ta chững minh đợc tỷ lệ thức trong kết luận . Cách giải này đơn giản hơn cách giải 1 .

Q dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đờng thẳng song song với AC , đờng
này lại đi qua P . Chứng minh rằng P là trung điểm của AB .
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
9
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Chứng minh :
AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC
Nhng AQ : QC = BR : RC suy ra
AP : PB = PB : PA suy ra

22
PBAP =
suy ra AP = PB (đpcm)
Q
R
P
B
C
A
b/ Phơng pháp 2 : Chứng minh hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai đoạn thẳng bằng
nhau cho trớc . Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dựa vào hai
đoạn thẳng bằng nhau cho trớc nào đó rồi chứng minh bốn đoạn thẳng ấy tỷ lệ với
nhau VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b rồi ta có thể chứng minh a : x
= b : y
VD 6 : Từ một điểm D trên một đờng tròn dựng DE vuông góc với đờng kính
AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F . Chứng minh
rằng : DF = FE .
Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn
chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD :
DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng

cũng có BC : EG = DC : DG
Vế phải của hai tỷ lệ thức trên
bằng nhau , vì đấy là những đoạn
thẳng tạo nên bởi ba đờng thẳng
song song cắt hai đờng thẳng
khác , nên những đoạn thẳng tơng
ứng tỷ lệ với nhau
B
F
E
G
C
D
A
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
10
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đợc FE = EG .
d/ Phơng pháp 4 :
Lợi dụng phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn .
Ngời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngoài một đờng tròn ,
ta kẻ tới đờng tròn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là trung bình
nhân giữa toàn cát tuyến và phần cát tuyến ở ngoài đờng tròn .
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
VD 8 : Kéo dài hai dây cung AB , CD của một đờng tròn , chúng cắt nhau tại
một điểm E ở ngoài đờng tròn đó ; dựng đờng song song với AD và đi qua E cắt
CB kéo dài tại F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đờng tròn . Chứng minh rằng FG
= FE .

Suy xét : Từ định lý trên ta có :

VD 9 : Cho tam giác ABC , AD là đờng trung tuyến của tam giác , dựng các đ-
ờng phân giác của các góc ADB , & ADC cắt AB , AC tại E & F . Chứng minh
rằng : EF//BC .
Suy xét : Muốn chứng minh
E F // BC ta có thể chứng minh
AE : EB = A F : FC (1) . Tỷ số ở vế
trái của (1) có các số hạng là hai
đoạn thẳng đợc tạo thành do đờng
phân giác của góc trong tam giác
DAB chia cạnh đối diện cho nên bằng
AD : BD . Tơng tự nh trên ta cũng
chứng minh đợc tỷ số ở vế phải của
( 1 ) bằng AD : CD . Mặt khác
vì BD = DC nên AD : BD = AD : CD
do đó tỷ số (1) đợc chứng minh .
E
B
D
C
F
A
b)Phơng pháp thứ hai :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
11
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó
áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra
hai đờng thẳng song song .
VD 10 : Từ một điểm P ngoài đờng tròn dựng tiếp tuyến PA với đờng tròn đó , từ
trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đờng tròn tại E và F .

Suy xét : Trớc hết ta chứng minh E , F G
thẳng hàng , ta biết rằng AGC là một đờng
thẳng , do đó nếu ta chứng minh đợc góc
AGE = góc CGF thì ta có thể suy ra đợc EG
và GF hợp thành một đờng thẳng . Để đạt đợc
mục đích trên ta nghiên cứu xem tam giác
AEG có đồng dạng với tam giác CFG hay
không ? Vì đã có góc EAG = góc FCG cho
nên chỉ cần chứng minh thêm tỷ số
AE : CF = AG : CG là đợc . Quan sát hình
vẽ ta thấy tam giác ADG đồng dạng với tam
giác CGB cho nên AD : CB = AG : CG mà giả
thiết đã cho AE =
CBCFAD
2
1
,
2
1
=
suy ra tỷ
lệ thức đầu có thể chứng minh đợc .
F
E
G
B
A
C
D
H

3=+
AN
AC
AM
AB
Suy xét : Đặt vế trái của hệ thức cần chứng minh là f =
AN
AC
AM
AB
+
. Ta thấy hai
đoạn thẳng thuộc hai tỷ số từng đôi một thuộc hai đờng thẳng khác nhau đó là đờng
thẳng AB & đờng thẳng AC . Do đó chúng ta đứng trớc một sự lựa chọn thứ nhất đó
là : Đi về đâu ? Đa về cùng một đờng thẳng nào ? Nói cách khác là chiếu lên đờng
thẳng nào ?
Cách 1 : Đa về đờng thẳng AC ( chiếu lên đờng thẳng AC ) !

Qua B kẻ một đờng
thẳngBP // MN cắt AC
tại P , áp dụng định lý
Ta Lét trong tam giác
ABP ta có
AB : AM = AP : AN
Khi đó f =
AN
ACAP +
đến đây ta nhận thấy
cần phải chứng minh
(AP+AC) = 3AN

.22
2
3
====
AN
AQ
AN
AQ
AG
AI
Tức là f = 3 (ĐPCM)
Cách 2 : Đa về đờng thẳng AB ( chiếu lên đờng thẳng AB ) !
Làm tơng tự nh cách 1 .
Tuy nhiên chúng ta nhận thấy ở cách 1 hoặc cách 2 đều có sự quanh quẩn dù có
chiếu sang AC hoặc AB rồi lại vẫn phải quay về AI . Vì vậy tốt nhất là chúng ta
đa về đờng trung tuyến AI . Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đ-
ờng thẳng AI ) .
Ta có AB : AM = A J : AG
AC : AN = AE : AG Do đó
f =
AG
AEAJ +
Vì I là trung điểm
của BC suy ra I cũng là trung
điểm của JE suy ra I J = I E
mà ta có ( A J + AE ) =
( A I I J + AI + IE ) = 2AI
Do đó f =
3
2

AC tơng ứng sao cho
3
AB AC
AM AN
+ =
Chứng minh rằng : Đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định .

Lời giải : Là nội dung chính của VD 13 : Gọi I là trung điểm của BC , nối AI cắt đờng
thẳng MN tại G , Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đờng thẳng AI ) . sau đó
trình bày giống VD 13 đến chỗ : f =
2 3
3
2
AI AI
G
AG AG
= =
chính là trọng tâm của tam giác
ABC , tức là đờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC , Nghĩa là đờng thẳng
MN luôn đi qua điểm cố định G đó .
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
14
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
*/ Mệnh đề tổng quát của bài toán VD 13
Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB &
AC tơng ứng sao cho
2012
AB AC
AM AN

;S
3
và S .
CMR : S = (
2
1 2 3
)s s s+ +
.
c/
2
AM BK CD
AB BC CA
+ + =
d/ ( MN + FK + ED ) không phụ thuộc vào vị trí của điểm O .
e/ Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a , b , c . Giả sử ba đoạn thẳng MN ,
DE , FK cùng có độ dài là y hãy tính giá trị của y theo a , b , c .
Bài 4 : Cho tam giác ABC , trung tuyến BM cắt phân giác CD tại P . Chứng minh
rằng :
1
PC AC
PD BC
=
.
Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD một đờng thẳng qua B , cắt các đờng thẳng
AC , DC , AD lần lợt tại I , M , N . Chứng minh rằng :

1 1 1
BI BM BN
= +
.

2
= ab + cd ; x
2
= a
2
+ cd ; x
2
= a
2
+ c
2
; .và các
dạng tơng tự mà một vế của đẳng thức hình học cần chứng minh là một tổng
hoặc một hiệu hai tích , hai tỷ số .
1/ Nguồn gốc của dạng toán là :
Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng khác :
AB = CD + EF , ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M
AB = AM + MB sao cho AM = CD , công việc còn lại là chứng minh MB = EF
ý tởng trên đợc sử dụng để chứng minh dạng toán ab + cd = xy theo ba bớc
sau :
Bớc 1 : Chia đoạn thẳng có độ dài x thành hai đoạn bởi điểm chia M để có :
x=x
1
+ x
2
sao cho x
1
y = ab (1)
Bớc 2 : Chứng minh hệ thức : x
2

AB BC
BMA BAC
BMA v
=

=
:

từ đó M chính là chân đ-
ờng cao hạ từ A xuống BC
M
B
C
A
Lời giải : Hạ AM BC . Vì các góc B , C đều nhọn cho nên M thuộc đoạn BC . Ta có

2
( ) .
BM AB
BMA BAC g g AB BM BC
AB BC
= =:
(1) . Tơng tự

2
.CMA CAB AC CM BC =:
(2) . Cộng từng vế các hệ thức (1) , (2) ta đợc
AB
2
+ AC

AC )
Hay AC = AM + CM .
- Dễ thấy
( )
. .
ABM ACE g g
AM AC AB AE

=
:
- Lại có
( )
. .
ACF CBM g g
CM AC BC AF

=
:
E
M
F
D
C
B
A
Từ đó với chú ý rằng : BC = AD ta có AB.AE + AD . A F = AM . AC + CM . AC = AC
2
(đpcm)
VD 16 (Định lý Ptôlêmê ) :
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O . Chứng minh rằng :

M
D
C
B
A
AM . BD = AB . CD . Dễ thấy
( )BMC BAD g g :
MC . BD = AD . BC

Cộng theo từng vế các đẳng thức trên ta đợc AC.BD = AB .CD + AD . BC (đpcm) .
VD 17 (Bài toán có nội dung số học ) :
Cho tam giác ABC , gọi a , b , c lần lợt là độ dài các cạnh BC , CA , AB của
tam giác , biết rằng :
à à
0
3 2 180A B+ =
.
a/ Chứng minh rằng : a
2
+ bc = c
2
( BC
2
+ AC . AB = AB
2
)
b/ Hãy tính các giá trị của a , b , c ?Biết rằng a , b , c là ba số nguyên liên tiếp

Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
17

0
3 2 180A B+ =
=
à à
à à
à à
à
ả
1 2
2A B C C A B C C+ + = + = +
mà theo chứng
minh trên
à
à
ả
à à
à
ả
à
0 0
1 2 2
180 , 180C A C A B C vayC C= = + = =
.
Mặt khác nữa
ả
à
à à à
à
0
1 1

ả
1 2
M C=
(1) Ta sẽ chứng minh
à
à
1
C A=
. Tvậy : Ta có

ả
à
à
à
à à
ả
à à
à
2 1
2 1
2 2
C C C
C A B C A B C
=
= + = +
(2)
. Mặt khác theo định lý về góc ngoài của một tam giác ta có

ả
à

c = a+1 ; b = a 1 thay vào (*) và rút gọn ta đợc : a
2
- 2a 2 = 0 , đây là một phơng trình
bậc hai ẩn số là a có biệt thức = 12 không phải là số chính phơng cho nên phơng trình
không thể có nghiệm nguyên đợc . Do đó TH này sẽ bị loại .
*/ Nếu a < b thì c>b>a khi đó ba số nguyên liên tiếp đó sẽ có dạng : c = b + 1 ; a = b 1
Thay vào (*) và rút gọn ta đợc b
2
- 3b = 0 suy ra b = 0(loại ) hoặc b = 3 ta chọn b = 3
suy ra c= 4 , a = 2 . Thoả mãn BĐT tam giác : 3 + 2 > 4 > 3 - 2
Đáp số : Vậy độ dài các cạnh của tam giác là 2 , 3 , 4
VD 18 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn . D là một điểm trên cung
BC không chứa đỉnh A . Gọi I , H và K lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng
thẳng BC , AB , và AC . Chứng minh rằng :

BC AB AC
DI DK DH
= +
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
18
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phân tích : Giả sử M thuộc cạnh BC sao cho
BM AB
DI DK
=
lại có tứ giác BKDI nội tiếp đợc trong
đờng tròn suy ra
ã
ã

H
K
D
N
C
B
A
Lời giải : Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC , đờng thẳng này cắt đờng tròn tại điểm thứ
hai là N (N có thể trùng với D ) . Gọi M là giao điểm của AN với BC . Dễ thấy :
- DKI BAM
BM AB
DI DK
=
.
- Lại thấy
( )
CM AC
ACM HDI g g
DI DH
=:
- Cộng từng vế các đẳng thức trên ta đợc ĐPCM
Lời bàn : */Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác và có thể có
nhứng cách giải hay hơn .Tuy nhiên ở đây muốn trình bày lời giải một cách tự
nhiên hơn bằng cách phân tích có ý thức , có chủ ý để tìm cách vẽ thêm đợc hình
phụ thích hợp cho mỗi bài toán . Đồng thời đây chính là những cơ hội rất lớn đối
với các em học sinh muốn rèn luyện suy nghĩ , tu duy và ý thức của con ngòi thông
qua hoạt động giải Toán . Các em sẽ thấy đợc tại sao ngời ta lại vẽ đợc những đờng
phụ nh thế . Tại sao SGK Toán 9 khi chứng minh định lý Pitago ngời ta lại dựa vào
chân đờng cao ứng với cạnh huyền , .
*/ Học giải Toán là học cách suy nghĩ , cách tu duy để tìm kiếm lời giải , chứ

( )
2 2
c b
a
b

=
.
Bài 3 : Cho tam giác ABC có
ã
0
20 ; ;BAC AB AC b BC a= = = =
. Chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
19
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Bài 4 : Cho tam giác ABC . Kẻ đờng phân giác AD . Chứng minh rằng :
AD
2
= AB . AC BD . DC . Từ đó suy ra công thức tính đờng phân giác của một
tam giác theo các cạnh của tam giác :

( )

= EB . EC AB . AC .

Phần thứ năm
Sử dụng câu thần chú :
((
hãy chăm lo tốt phần gốc sẽ tơi tốt phần
ngọn
))
để tìm kiếm lời giải các bài toán khó
I/ Đặt vấn đề :
Lời giải một bài toán nào đó dù khó đến đâu đi nữa cũng chỉ là phần ngọn mà thôi.
Đằng sau nó là một phần rất quan trọng đó là là phần gốc của lời giải đó . Phần
gốc này bao gồm nhiều góc độ khác nhau nh : Kiến thức , kỹ năng , phơng pháp
suy nghĩ , phơng pháp giải vv
Giống nh một cái cây , phần gốc của nó không chỉ là phần thân cây ở trên mặt đất
mà còn có một phần rất quan trọng nằm dới mặt đất mà ngời ta gọi là rễ .Vì vậy khi
nói chăm lo phần gốc thì chúng ta phải chăm lo một cách toàn diện cả gốc lẫn rễ
( Sâu rễ bền gốc) thì phần ngọn của cây mới đợc toi tốt , đơm hoa kết trái đợc
Chúng ta bắt đầu từ bài toán sau đây :
II / Bài toán gốc :
Cho tam giác ABC với AM là đờng trung tuyến xuất phát từ A , I là một điểm
bất kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI ,
CI kéo dài lần lợt cắt AC & AB tại E & F . Chứng minh rằng : EF // BC
Nhận xét : Đây là một bài toán rất quen thuộc đối với HS giỏi Toán , tuy nhiên có
thể là do cách tiếp cận với bài Toán của mỗi ngời khác nhau , hơn nữa có thể lâu
không động đến thì phần lớn chúng ta sẽ quên cả cách chứng minh của nó , chứ cha
nói đến những chuyện khác về BT đó .
Vì vậy , trớc hết chúng ta cùng nhau chứng minh lại bài toán này xem sao !
ĐVĐ : Khi học xong chơng trình hình học lớp 7 chúng ta đã có những công cụ
nào để chứng minh hai đờng thẳng song song ?

Ta có
AE AD
EC IC
=
(1)
Mặt khác , vì M là trung điểm của BC
suy ra CI = BK
M
K
D
F
E
I
C
B
A
Suy ra
AD AD
IC BK
=
(2) Lại áp dụng định lý Ta lét trong tam giác IBK có AD//BK suy ra ta có

AD AI
BK IK
=
(3) Lại áp dụng định lý trong tam giác ABK có FI // BK suy ra ta có
AI AF
IK FB
=
(4)

Kết quả : Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC , I là một
điểm bất kỳ trên AM khi đó ta luôn có :

ABI
ACI
S BM
S MC
=
Ta có F thuộc AB , và I thuộc CF suy ra ta có :
(1)
(2); 1 (3)
AIC
BIC
AIB AIB
AIB AIC
BIC AIC
S
AF
S BF
S SAE BM
S S
S EC S CM
=
= = = =
Từ (1) , (2) , (3) suy ra đpcm .
Lời bàn :
1/ So với các công cụ chứng minh hai đờng thẳng song song của hình học lớp 7 thì
định lý Ta Lét đảo trong tam giác có tính u việt rất lớn có thể nói nó đã tạo ra một
cuộc cuộc cách mạng trong việc chứng minh hai đờng thẳng song song của hình
học phẳng . Nó đã làm cho học sinh lớp 8 , 9 mở rộng tầm nhìn , tầm tu duy lên

trên đờng kính AD ta lấy một điểm C sao cho AB = CD . Chứng minh rằng :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
22
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Trong tam giác ABC có phân giác kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B và đờng cao kẻ
từ C đồng quy tại một điểm .
1/ Suy xét :

Đây là một bài toán thi HSG năm học 1997-1998 của tỉnh Bắc Ninh , không khó
lắm tuy nhiên với tinh thần chăm lo tốt phần gốc , sẽ tốt tơi phần ngọn , tôi sẽ làm
bài bản một chút theo các bớc tìm kiếm lời giải một bài Toán mà Pô li a đã nêu ra
a/ Bớc 1- Lựa chọn phơng pháp giải
Trớc hết chúng ta phải đọc thật kỹ văn bản đầu bài , vẽ hình , ghi GT + KL , theo
đúng nội dung của đầu bài . Tiếp đến chúng ta sẽ suy nghĩ đến việc lục lọi các ph-
ơng pháp chứng minh các đờng thẳng đồng quy một điểm mà chúng ta đã biết để
lựa chọn xem phơng pháp nào có khả năng giải đợc bài toán này . Tất cả có 5 ph-
ơng pháp cơ bản để chứng minh các đờng thẳng đồng quy mà chúng ta đã rất quen
thuộc đó là :
- Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thứ ba .
- Dựng một đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng cho trớc , rồi
chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng thẳng thứ ba .
- Qua giao điểm của hai đờng thẳng cho trớc dựng hai đờng thẳng khác , rồi
chứng minh hai đờng thẳng này hợp thành đờng thẳng thứ ba .
- Chứng minh các đờng thẳng đều đi qua một điểm cố định .
- Lợi dụng các định lý về các đờng đồng quy trong tam giác .
Chúng ta hãy để ý đến phơng pháp thứ hai đó là : Dựng đờng thẳng đi qua giao
điểm của hai đờng thẳng cho trớc , rồi chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng
thẳng thứ ba .
b/ Bớc 2 - Xây dựng kế hoạch giải bài toán :
Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy thì ta phải gọi tên giao điểm của 2 trong

Vậy ta có :
/ /
AH AC
CH BD
HB CD
=
( 1 )
H
E
I
M
C
D
B
A
Mặt khác ta có
ã
ABD
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn suy ra
ã
0
90ABD BD AB=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra CH tức là CH chính là một đờng cao của tam giác ABC .
Lời bàn :
*/ Nhờ có dấu hiệu thứ hai chúng ta mới có sự kiện rất quan trọng của lời giải đó là
HE//AC để sau đó suy ra đợc những tỷ số mong muốn
*/Muốn có đợc lời giải nh trên đòi hỏi HS phải có một phần gốc rất vững chắc đó
là :
- 5 phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy , sau đó lựa chọn cách ĐVĐ

minh rằng MH // AB & MH đi qua trung điểm của KD .
Trớc khi chuyển sang bài toán khó hơn ( Tầm cỡ thi quốc gia ) chúng ta hãy
quay trở lại chăm lo bài toán gốc một chút nh sau :
B/ Chăm lo bài toán gốc :
- Nhiều khi chúng ta cho rằng bài toán gốc , cũng nh các định lý trong lý thuyết
chẳng có gì phải quan tâm, suy nghĩ cả . Đó là một quan niệm hết sức sai lầm , mà
chúng ta sẽ phải trả giá khi tham dự thi HSG các cấp .
- ở bài toán gốc nói trên chúng ta hãy khảo sát các vị trí khác nhau của điểm I trên
cả đờng thẳng AM xem khi đó kết luận của bài toán còn đúng hay không ?
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
24
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Trờng hợp thứ nhất điểm I nằm trong đoạn AM (điểm I không trùng với A & M)
chúng ta đã làm trong bài toán gốc . Bây giờ chúng ta khảo sát trờng hợp thứ hai :
Điểm M nằm ngoài đoạn AM .
Trờng hợp thứ hai : Điểm I nằm ngoài đoạn AM
Xét hai khả năng sau :
Khả năng 1 : Điểm I nằm trên tia đối của tia AM , thì kết luận của bài toán vẫn
đúng , với chứng minh hết sức đơn giản nh sau :
Trong trờng hợp này ta xét tam giác
IBC có IM là đờng trung tuyến , điểm
A thuộc IM . áp dụng kết quả đã
chứng minh trong trờng hợp thứ nhất
đối với tam giác IBC và đờng trung
tuyến IM ta suy ra FE // BC
M
E
F
I
C

BC FE
PF QE BF CE
BF CE
= = =
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
25