I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường THPT, công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi luôn là vấn đề được các nhà trường quan tâm. Bản thân tôi qua một số
năm giảng dạy ở các lớp có nhiều học sinh thuộc đối tượng này, tôi luôn trăn trở
làm thế nào để dạy cho học sinh làm tốt loại toán giải phương trình vô tỷ, đây là
loại bài toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi và học sinh thi vào các
trường đại học. Chẳng hạn:
Hầu hết các bạn học toán đều biết phương trình
( )
ax
n
n
b c dx e x
α β
+ = + + +
là
một trong những dạng phương trình khó của "phương trình vô tỷ"; điều kiện giải
được là các hệ số phải thoả mãn
d ac
e bc
α
β
= +


= +

, khi đó để giải, ta sẽ thực hiện phép
đặt
n
ax b dy e+ = +

là vấn đề tôi luôn trăn trở.
Từ những yêu cầu đó, tôi đã hướng dẫn cho học sinh giải đơn giản, dễ hiểu để
giải các phương trình dạng này.
Để minh hoạ cho cách làm này, tôi sẽ đưa ra những bài toán ở mức độ thi đại
học và thi học sinh giỏi. Với mỗi bài toán như vậy, tôi đi sâu vào việc phân tích các
khả năng tiếp cận lời giải, dẫn ra những cách giải tương ứng, đưa ra những nhận
xét phù hợp, để từ đó học sinh có thể nắm bắt được nội dung thấy được "cái
nhanh" của cách làm và có con đường tổng quát cho các bài toán tương tự.
Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp trong phương trình vô tỷ cũng rất hay
sử dụng và có hiệu quả, trong bài viết này tôi cũng trao đổi cùng bạn đọc một số
phương pháp này.
Cuối cùng là một số bài tập để học sinh rèn luyện kỹ năng.
1
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở luận của vấn đề.
Để giải quyết tốt nội dung trên:
- Trước hết yêu cầu học sinh nắm vững các kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
- Khi dạy nội dung
2
ax b cx dx e+ = + +
tôi hướng dẫn và yêu cầu học sinh thực hiện
giải bằng nhiều cách có thể, sau đó cho học sinh tự nhận xét về ưu nhược trong mỗi
cách, để học sinh thấy được sự vượt trội của cách làm mới này.
- Khi dạy nội dung
3 2
3
ax b cx dx ex m+ = + + +
, trên cơ sở học sinh đã hình thành tốt
kỹ năng cho cách làm mới, tôi hướng dẫn học sinh thực hiện giải theo nội dung của
cách đặt đưa về hệ đối xứng để giải.

trăn trở.
Từ thực trạng trên, để công việc dạy và học đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đã mạnh
dạn cải tiến cách dạy học sinh tiếp cận với các bài thuộc dạng này bằng giải pháp
được nêu ở phần sau.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kỹ năng giải hệ phương trình đối
xứng. Sau đó sắp xếp các đơn vị kiến thức theo mức độ tăng dần như sau:
2
- Trường hợp 1:
2
ax b cx dx e+ = + +

Dạng 1:
2
1
ax b x dx e
a
+ = + +

Dạng 2 :
2
( 1)ax b cx dx e ac+ = + + ≠

- Trường hợp 2:
3 2
3
ax b cx dx ex m+ = + + +

Dạng 1 :
3 2

Mục đích phải biến đổi để từ phương trình (I) có bằng được một hệ đối xứng,
tôi hướng dẫn cho học sinh liên tưởng tới yếu tố đối xứng ở vế phải của (I) (trục
đối xứng của Parabol), cùng với việc thực hiện phân tích biến đổi ngược từ hệ đối
xứng để hình thành cách đặt cho phương trình, giúp học sinh thấy có mối liên hệ rất
đặc biệt là: Nếu đặt
ax b y
α β
+ = +
thì
β
α
là hoành độ đỉnh của Parabol
2
( )f x cx dx e= + +
. Do đó tôi xây dựng (I) theo hai dạng như sau:
Dạng 1:
2
1
ax b x cx d
a
+ = + +
.
Xét Parabol
2
1
( )f x x cx d
a
= + +
có hoành độ đỉnh
0

khi đó phương trình vô nghiệm

2
6 3 0 3 6; 3 6x x x x− + ≥ ⇔ ≤ − ≥ +
kết hợp điều kiện
3x ≥
⇒
3 6x ≥ +

2 2 4 3 2
3 2
(1) ( 6 3) 3 12 42 37 6 0
( 6)( 6 6 1) 0
x x x x x x x
x x x x
⇒ − + = + ⇒ − + − + =
⇒ − − + − =
2
5 21
( 6)( 1)( 5 1) 0 1; 6;
2
x x x x x x x
±
⇔ − − − + = ⇔ = = =

Kết hợp với điều kiện
3 6x ≥ +
ta được
6x =
là nghiệm của phương


+ =
− = − +



x y⇒ =
(do
3y ≥
và
3x ≥
nên
5x y+ >
)
Với
x y=
ta có
2
3 3 7 6 0 6; 1 6x x x x x x x+ = − ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ =
(do
3x ≥
)
Vậy
6x
=
là nghiệm của phương trình.
Đọc lời giải trên ta thấy rằng, nếu giải theo cách thứ nhất thì gặp phải yêu
cầu giải phương trình bậc 4 tổng quát, trong trường hợp bài này có các hệ số " đẹp"
nên việc giải không khó khăn lắm, nhưng nếu bài toán với hệ số không đẹp thì việc
giải sẽ không được thuận lợi, trong khi đó giải theo cách thứ hai thì lời giải rất nhẹ

>
). Dùng phân tích Ferrari
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 *
(2 14 ) 4 63 (2 14 ) 2 (2 14 ) 4 2(14 2) 63
(2 14 ) 4 2(14 2) 63 (2 )
t t t t t m t t m mt m t m
t t m mt m t m
+ = + ⇔ + + + + = + + + +
⇔ + + = + + + +
Cần chọn số
m
sao cho vế phải của
*
(2 )
có
' 0∆ =
tức là tìm
m
để
2 2
(14 2) 4 ( 63)m m m+ = +
dễ dàng tìm được
1m =
, khi đó ta được
4

( ) ( ) ( )
( )
2 2 2

+ + = − − + + =
− ±
 
=



Khi đó
6 5 2
14
x
− +
=
là nghiệm của phương trình.
Cách 2:
Xét Parabol
2
( ) 7 7f x x x= +
có hoành độ đỉnh là
1
2
x = −
nên:
Đặt
4 9 1
28 2
x
y
+
= +

 
⇔ ⇒ − + + = ⇒ =
 
+ = +



+ = +



(do
0x >
và
0y >
nên
7 7 8x y+ +
> 0)

2
6 5 2
4 9 6 5 2
14
2 1 14 12 1 0
7 14
6 5 2
0
14
x
x

y cx dx e= + +
có hoành độ đỉnh là
2
d
x
c
= −
khi đó nếu
2
d
c

tối giản thì ta thực hiện cách đặt
ax 2b cy d+ = +
, nếu
2
d
c
chưa tối giản
thì cần đưa về đúng phân số tối giản rồi mới thực hiện cách đặt .

Ví dụ 1. Giải phương trình :
2
2 6 1 4 5x x x
− − = +
(3).
Cách 1: (Thực hiện phép khử căn bằng nâng lên luỹ thừa)
Xét
2
2 6 1x x− −



− + = = ±
⇒ − = − ⇔ ⇔


− − =
= ±



Thử lại ta được
2 3x = +
;
1 2x = −
là nghiệm của phương trình.
Cách 2:
Xét Parabol
2
2 6 1y x x= − −
có hoành độ đỉnh là
3
2
x =
nên:
Đặt
4 5 2 3x y+ = −
khi đó ta được
2 2
2 2


⇔ ⇒ = +


− + =

Với
2x y+ =
ta có
4 5x +
1 2x
= −
2
1
1 2
2
2 1 0
x
x
x x

≤

⇔ ⇒ = −


− − =

Vậy phương trình có nghiệm là
2 3x = +

 
+ + = + + + > + > + > − ∀ >
 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
(Việc đánh giá để có được phương trình bậc bốn vô nghiệm không phải là
đơn giản đối với học sinh).
Cách 2: Xét Parabol
2
( ) 3 2 3f x x x= + +
có hoành độ đỉnh là
1
3
x = −
nên:
Đặt
9 5x −
= 3y + 1 khi đó ta được
6

2 2
2 2
9 5 9 6 1 9 9 6 6
( )(3 3 5) 0
3 1 3 2 3 9 9 6 6
x y y x y y
x y x y
y x x y x x
 
− = + + = + +
 

4
9 5 (3 4)
3
9 15 31 0
x
x x
x x

≤ −

− = − + ⇔


+ + =

(vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Giải phương trình bậc cao là một trong những bài toán mà học sinh
phổ thông thường hay gặp nhiều khó khăn.
Nếu thực hiện giải bài toán theo cách 1 ta thấy xuất hiện phương trình bậc 4
tổng quát; mặc dù đã được trang bị nhiều các phương pháp để giải nhưng "nhìn
thấy" phương trình bậc cao, thường là học sinh sẽ cảm thấy "hơi ngợp".
Nếu thực hiện giải bài toán theo cách 2, ta thấy bài toán trở nên đơn giản hơn
rất nhiều!
3.2. Trường hợp 2:
3 2
3
ax b cx dx ex f+ = + + +
(II)
Cũng với mục đích làm xuất hiện hệ đối xứng, tôi đã hướng dẫn học sinh nhận

ac
ax b y+ = +
.
Phân tích: Nếu thực hiện theo hướng khử căn bằng phép nâng lên luỹ thừa thì
sẽ gặp vấn đề ở đây là xuất hiện phương trình bậc 6 tổng quát, đây là điều mà
"người làm toán" không hề mong đợi. Do vậy, việc thực hiện đặt ẩn phụ đưa về hệ
đối xứng càng thể hiện được sự tối ưu hơn.
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
3
1 2 2 1x x
+ = −

Giải:
3
3
1 2 2 1x x+ = −
3
3
1 1
2 1
2 2
x x⇔ − = +
Thấy
3
1 1
( )
2 2
f x x= +
có hoành độ điểm uốn là

 
= +
− =




x y
⇒ =
( do
2 2
2 0 ,x xy y x y+ + + > ∀
)
Với
x y=
ta được
3 2
3
2 1 2 1 0 ( 1)( 1) 0
1 5
1;
2
x x x x x x x
x x
− = ⇔ − + = ⇔ − + − =
− ±
⇔ = =
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1;
1 5
2

3
2 1 3 2 1x x x x⇔ + = + + −
Thấy
3 2
( ) 3 2 1f x x x x= + + −
có hoành độ điểm uốn là
1x
= −
nên:
Đặt
3
2 1 1x y+ = +
khi đó ta được
3 3
3 3
2 2
2 3 ( 1) 2 3 ( 1)
1 ( 1) 2 3 ( 1)
( ) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1 0
x y x y
y x x x y x
x y x x y y x y
 
+ = + + = +
 
⇒
 
+ = + − − + + = +
 
 

1.
2
2 15
8 8 5
16
x
x x
+
= + −
; 2.
2
4
2 8 6
2
x
x x
+
= + +
3.
2
1 4 5x x x+ = + +
; 4.
2
4 3 5x x x− − = +

5.
2
3
2 4
2

Cách 1: Pt
2
2
4 3 2
3 1 0
2 1 3 1
6 11 8 2 0
x x
x x x
x x x x
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
- + - ³
- = - + -Û Û
- + - + =
1; 2 2x x= = -Þ
Vậy
{ }
1; 2 2S = -
là tập nghiệm của phương trình.
Cách 2: Điều kiện
1
2

2 1
x x
x x
x x
- + -
= - + -Þ
- +

2
1
1
2 1 0
2
2 2
4 2 0
2 1 1
x
x
x x
x
x x
x x
é
é
é
ê
ê
ê
ê
ê

+
+ − − =
(1)
Phân tích:
9
Nhận thấy rằng hai biểu thức dưới căn trong phương trình có một mối liên hệ rất
đặc biệt là
(4 1) (3 2) 3x x x+ - - = +
như vậy khi thực hiện nhân liên hợp thì sẽ có
ngay được nhân tử chung là
3x +
.
Giải: ĐKXĐ:
1 2
4 3
x- ££
;
3 3
(1) 4 1 3 2 5
5
4 1 3 2
x x
x x
x x
+ +
= + + - =Û Þ
+ + -
kết hợp với
(1) ta được:
10 4 1 28 2x x x+ = + =Û

ê ú
ë û
" -Î
đều nghiệm đúng bất phương trình. Khi
4x >
ta có:
2
2
4 (1 1 ) 4 1 3 8
2
(1 1 )
x
x x x x x
x
> - - + > - + < <Û Û Þ
+ +
. Vậy
)
1;8S
é
ê
ë
= -
là tập
nghiệm của bpt.
2. Đưa vào lượng liên hợp là các số cụ thể.
Cơ sở lý thuyết:
* Định lý Bézout :
Phần dư trong phép chia một đa thức
( )f x

a
= -
Ví dụ 3: Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ - - + - - =
(3) .(ĐTTS-
2010B)
Phân tích: Nếu phương trình đã cho nhận
x
a
=
làm nghiệm thì từ
3 1 3 1x
a
+ - +
và
6 6x
a
- - -
sau khi nhân liên hợp chắc chắn sẽ có được cùng
một nhân tử chung là
( )x
a
-
đồng thời cụm ngoài căn còn lại cũng sẽ phân tích ra
( ). ( )x g x
a
-
tức là: khi ta thêm vào các giá trị phù hợp cho mỗi biểu thức chứa căn
(các giá trị đó bằng chính giá trị của biểu thức căn tại nghiệm của phương trình) rồi

3 1
(3 1) VN do VT> 0> VP
3 1 4 6 1
x
x
x x
é
=
ê
ê
Þ
ê
+ = - +
ê
+ + - +
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
5x =
.
Nhận xét:
- Ta có thể tổng quát cho phương trình dạng:
( ) ( ) ( )
m n
F x G x H x+ =
trong trường
hợp phương trình có nghiệm đẹp.
+ Tìm một “nghiệm đẹp” là
x
a

là một nghiệm của phương trình đã cho:
3
2
(4) 4 2 ( 1 1) 2( 2)x x x+ - = - - + -Û
2
3
2 2 2
3
4 2
2( 2)
1 1
( 4) 2 4 4
x x
x
x
x x
- -
= + -Û
- +
+ + + +
3
2 2 2
3
2
2 1
2 (4 )
1 1
( 4) 2 4 4
x
x

Ví dụ 5: Giải phương trình
3
24 12 6x x+ + - =
(5)
Cách 1: ĐKXĐ:
12x £
. Đặt
3
24 ; 12x a x b+ = - =
khi đó ta được
0 24a x= = -Þ
;
4 88; 3 3a x a x= - = - = =Þ Þ
.
Thử lại ta được
{ }
88; 24; 3S = - -
là tập nghiệm của phương trình.
Cách 2: ĐKXĐ:
12x £
. Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm
3x =
. Có:
3
2
3
3
3 3
(5) ( 24 3) ( 12 3) 0 0
12 3

3
3
( 24) 4 ( 24) 0 24; 88x x x x+ + + = = - = -Û
.Thử
lại ta được
{ }
88; 24; 3S = - -
là tập nghiệm
3. Đưa vào lượng liên hợp là một biểu thức chứa biến tương ứng.
Xây dựng cách để tạo ra lượng liên hợp cho khả năng phương trình dạng
( ) ( ) ( )F x G x H x
± =
trong trường hợp nhẩm được hai nghiệm đẹp là
,x x
a b
= =
như sau:
Đưa vào lượng liên hợp cho
( )F x
là
( )ax b+
với mục đích
( ) ( ) 0F x ax b
-
+ =
nhận
x
a
=
và

a
và
b
là đang cần tìm).
Sau khi đã có được các biểu thức liên hợp phù hợp cho từng căn, tiến hành
thực hiện nhân liên hợp sẽ có được một phương trình với nhân tử chung chắc chắn
nhận
x
a
=
và
x
b
=
làm nghiệm.
Nhận xét:
Qua hai cách làm của các ví dụ ở trên, ta thấy rằng các hướng tư duy đều
mang lại kết quả tốt, tuy nhiên cách dùng hàm số chỉ phù hợp với đối tượng là học
sinh lớp 12, còn cách thực hiện nhân liên hợp lại phù hợp cho đối tượng là mọi học
sinh THPT; mặt khác, khi trường hợp phương trình ban đầu không nhẩm được các
nghiệm đẹp thì cách dùng hàm số không mang lại tính tích cực. Trong trường hợp
đó công cụ nhân liên hợp có còn thể hiện được sự chiếm ưu thế nữa hay không? Ta
xét các ví dụ tiếp theo:
Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2
1 ( 2) 2 2x x x x x+ - = + - +
(6)
Phân tích: Bài toán này, tôi định hướng cho học sinh tiếp cận lời giải bằng cách:
Cách 1: (Phương trình có dấu hiệu của phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để)
Đặt

2 2
2 2
1 1
(6) 2 2 2 2 3 3
2 2
x x x x
x x x x
x x
+ - + -
- + = - + - = -Þ Û
+ +
2
2 2
2
2
2 7 0
2 7 2 7
1 2 2
2
( 1) 1 1
2 2 3
x x
x x x x
x
x
x x
x x
é
ê
ê

2
x x
x x ax b ax b
x
+ -
- + - + = - +Þ
+
2 2 2 2
2
(1 ) 2(1 ) 2 (1 ) (1 2 ) 1 2
2
2 2
a x ab x b a x a b x b
x
x x ax b
- - + + - - + - - - -
=Þ
+
- + + +
với mục đích cần tìm
một bộ số
a
và
b
để
2 2
1 2 2 2
0, 3
1 1 2 1 2
a ab b

4 3 0
6 2 3 4 3 4 3
(7) 3 2 2
5 1 5 1
3 2
3
a
x b
x x
x x x x x x x
x x x
x x
x x
x
é
ê
ê
Þ
ê
= -
ê
ë
- + =
+ - + - + - +
+ - = - =Þ Û
- -
+ +
+
2
3 21

2 2
3
2 2
3
( 15)( 3)
2( 3) ( 3) 0 3
(108 108) ( 3) 108 108 ( 3)
x x
x x x
x x x x
- + -
= - - = =Û Þ Þ
- + + - + +

(do khi
1x >
thì
3
2 2
3
( 15)
0
(108 108) ( 3) 108 108 ( 3)
x
x x x x
- +
<
- + + - + +
)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2
2 3
9 111
( 2 ) 2(2 ) 0
4 8
t
t x
t t t
é
=
ê
ê
= =Û Þ Þ
ê
+ + + + =
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
3x =
.
Tóm tắt nội dung của phương pháp liên hợp:
- Khử căn bằng lượng liên hợp đã có sẵn trong phương trình, sau khi thực hiện
nhân liên hợp nên lưu ý việc kết hợp với phương trình của đề bài để thu được một
phương trình đơn giản hơn.
- Khi trong phương trình nhẩm được một nghiệm
a
đẹp thì thực hiện đưa vào
cho mỗi biểu thức chứa căn trong phương trình (chẳng hạn cho
( )
n

. ( )
. ( )
n
n
a b f
a b f
a a
b b
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
+ =
+ =
.
- Khi phương trình có nghiệm không đẹp (không nhẩm được) ở dạng
( )
( )
( )
n
g x
f x
h x
=


và sau khi liên hợp thì các biểu
thức trên tử xuất hiện nhân tử chung.
Bài tập rèn kỹ năng
14
4. Kiểm nghiệm thực tế giảng dạy
Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn,
linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn trong quá trình giải toán. Học
sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, cách làm trên đã đáp ứng
được nhu cầu của học sinh. Sau khi đã được ôn tập những kiến thức cơ bản về lý
thuyết, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, biết tự xây dựng cho mình
hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được học. Hiệu quả trong học tập
của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Khi chưa triển khai đề tài trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra ở lớp
12C1 như sau:
Kết quả
Nhóm
Số học sinh có lời giải Số học sinh có lời giải đúng
Nhóm 1
(15 học sinh)
4 (26,7%) 2 (13,3%)
Nhóm 2
(15 học sinh)
5 (33,3%) 3 (20%)
Sau khi triển khai đề tài này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả như sau:
Kết quả
Nhóm
Số học sinh có lời giải Số học sinh có lời giải đúng
Nhóm 1
(15 học sinh)
14 (93,3%) 13 (86,7%)

2 2 1x x
x x
+ + = + +
2.
2
2
2
21
(3 9 2 )
x
x
x
< +
- +
(ĐH Mỏ - 98)
4.
2 2
(4 1) 1 2 2 1x x x x- + = + +

6.
2
2
4x
< 2x + 9
(1 - 1 + 2x )
8.
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x
− + − − = + + + − +
10.

hút hơn nữa.
Tôi chân thành cảm ơn!
Yên Định, ngày 15 tháng 5 năm 2014.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội
dung của người khác
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Trịnh Thị Minh

16
A. TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán NXBGD, 1995.
[3] Nguyễn Đinh Hùng, Bồi dưỡng tư duy lôgic cho học sinh trường THCS Việt
Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập Đại số 7, Vinh, 1996.
[4] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN,
2001.
[5] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003
[6] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ
Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường, Phương pháp dạy học môn toán, Phần hai:
Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb GD, 1994.
[7] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997.
B. MỤC LỤC Trang
I. ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………… 1
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………2
1. Cơ sở lí luận của vấn đề …………………….2
2. Thực trạng của vấn đề ……………………….2
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện ………………3
4. Kiểm nhiệm ………………………………….15
III. KẾT LUẬN ………………………………… 16