ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định ( có nghĩa)
• Kiến thức ghi nhớ:
A
xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nên nhấn mạnh chổ
này vì một số HS hay nhầm khi viết
A
≥ 0)
Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a,
52 −x
b,
63 +− x
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau xác định:
a,
5
4
−
+x
b,
x24
7
−
( GV nhấn mạnh HS: Phân thức trong căn có tử và mẫu cùng dấu nhưng mẫu phải
khác 0)
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
xx −+− 31
( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện )
Ví dụ 4 : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các căn thức sau xác định
a,

2
4
12
1
2
x
xx
x
+−
−
với x > 0, x ≠ 1
Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia căn bậc hai:
Ví dụ: a,
6
3
2
2
3








−
b,
( )
5805320 +−

TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu:
Ví dụ: Rút gọn: a,
53
10
b,
21
82
21
63
+
+
−
−
−
c,








−
−
−





ba
C
−
=
±
−
=
±

;
2
. Sau khi nhân với biểu thức liên
hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thì mất căn, nếu không chứa căn thì phải
bình phương và mẫu luôn là hiệu)
Ví dụ: a,
15
5
−
b,
73
1
73
1
+
−
−
c,
25
2
25





+
−
−








−
−
−
1
1
2
1
1
a
aa
a
a
với a ≥ 0, a ≠ 1;
VD2: Rút gọn:
2

với a ≥ 0, a ≠ 1;
Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng có một mẫu là mẫu chung
VD1: Cho M =








+
−








−
−
− 1
:
1
1 x
x
x
x

x
−
+
+
+
+
−
+
4
52
2
2
2
1
với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P = 2
Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu
VD1: Cho Q =








−
+
−









+
−
+ xx
x
xxx
với x > 0
a, Rút gọn
b, Tìm x để P >
2
1
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số
VD1: Giải các hệ PT
a,



−=−
=+
13
42
yx

yx
yx
VD3: Giải các hệ PT
a,
( )



−=−
=+−
83
312
yx
yx
b,



−=+
−=−
xyx
yyx
33
212
II. Biện luận hệ PT
VD1: Cho hệ PT :



=−

Dng 2: Tỡm iu kin hm s ng bin nghch bin:
VD: Vi giỏ tr no ca m thỡ hm s y = ( m +2)x 3 ng bin trờn tp xỏc nh.
Dng 3: Tỡm s hng cha bit ca hm s:
Lu ý HS: Cho hai hm s y = ax + b v y = mx + n ( a, m 0). th ca hai hm s
- Ct nhau khi a m ( Ct nhau ti im trờn trc tung khi a m v b = n)
- Song song vi nhau khi a = m, b n
- Trựng nhau khi a = m, b= n
th ca hm s y = ax + b song song vi trc honh khi a = 0, b 0.
VD1: Cho hm s y = 3x + b. Tỡm b bit th hm s i qua im M ( 1; -2)
VD2: Tỡm m ng thng y = 2x -1 v ng thng y = 3x + m ct nhau ti mt
im trờn trc honh?
VD3: Bit ng thng y = ax + b i qua im M ( 2; ẵ) v song song vi ng
thng 2x + y = 3 . Tỡm a v b ?
VD4: Bit ng thng y = ax + b iqua im P ( -1;2) v ct ng thng y = 2x 3
ti mt im trờn trc tung. Tỡm a v b?
VD5: Bit ng thng y = ax + b i qua im A(2; 3) v im B(-2; 1). Tỡm a v b?
VD6: Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d cú PT: y = (m -1 )x + n
a, Vi giỏ tr no ca m v n thỡ d song song vi trc Ox
b, Xỏc nh phng trỡnh ca d, bit d i qua im A (1; -1) v cú h s gúc
bng -3
CHUYấN 4: GII PHNG TRèNH ax
2
+ bx + c = 0
Chuyên đề 5
: Phơng trình bậc hai
Phần II. kiến thức cần nắm vững
1. Công thức nghiệm:
Phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có = b

2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có

=b

2
- ac ( b =2b


)
+Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
+Nếu

> 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=

2
=
a
c
b) ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+Hệ quả 2:
Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2

a) Phơng trình mx
2
+nx+p = 0 (m 0) có =
Nếu thì phơng trình vô nghiệm
Nếu thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
b) Phơng trình px
2
+qx+k = 0 (p 0) có

= (với q = 2q


)
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
5
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Nếu

thì phơng trình vô nghiệm
Nếu

1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm:

x
1
= -1; x
2
=
a
c
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x
2
- S
x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x
2
- P
x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 1;
x
2
=
a
c
B.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x
1

0)
II. Toán tự luận
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
6
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Bài 1: Giải phơng trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Giải:
a) Giải phơng trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;

= 51

+ Lời giải 3: = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=
=




===
+==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phơng trình có nghiệm: x
1

2
- 4(2-
3
)( 2
3
) = 16;

= 4
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=

+
=x
;
)347(
)32(2
432
2
+=


=x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3

+
=x
;
)347(
32
23
2
+=


=x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phơng trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+=


2
= 0
6.
3
x
2
(1-
3
)x 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x 2 +
3
= 0
8. x
2

x
6 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phơng trình
x
2
42x + 441 = 0 (*)
Ta có:

+
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
d) 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0
Giải
a) Giải phơng trình x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0 (1)
(1) (x
2
- 2)(x + 3) = 0 (x

+
2
)(x

2
x + 8 x
2
7x 8 = 0 (*)
Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không
thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phơng trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
(3)
Ta có: (3) 5x
4
3x
2
26 = 0
Đặt x
2
= t (t 0) thì (3) 5t
2
3t 26 = 0
Xét = (-3)
2

=
5
13
x =
5
13

Vậy phơng trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13

; x
2
=
5
13
d) Giải phơng trình 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) 3t
2
2t 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1

3
1

x
2
+x =
3
1

3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)

2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51
; x
2
=
2
51+
* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1. x
3

6.
3
1
.10
1
=
+

+ x
x
x
x
7. (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+





x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3

21
22
=


=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(

)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +=+
* Bài tập tơng tự:
Cho phơng trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x

6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phơng trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0

Giải


= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nếu

< 0 1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm
Nếu

= 0 1- k = 0 k = 1 phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1
Nếu

> 0 1- k > 0 k < 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 1-
k1
; x
2
= 1+
k1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1

Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
10
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
3
2
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất

= 3m-2 = 0 m =
3
2
(thoả mãn m 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1
1
1
=


2
=
612
4
1
3
1
3
2
==


=


x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở
nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay sai sót)
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1

= (m-1)
2
( 3 m ) =
4
15
2
1
2
+






m
Do
0
2
1
2







m
với mọi m;




<
<




>+
<
m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
































m
m
m
m
Vậy m
2
3
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



=
=+




+=
=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21

+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x

1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của
phơng trình ở trên
Giải
a) Ta có

= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=



+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:



=
=




=+
=




=+
=+

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
12
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m 1 (2)
Khi đó:
m
m
mxx
xx
xx
xx
xxyy

=


+=
+
++=+++=+

121

=+

+=++=++=
m
m
m
m
xx
xx
x
x
x
xyy
(m1)
y
1
; y
2
là nghiệm của phơng trình: y
2
-
m
m
1
2
.y +
1
2

2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phơng trình: x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x
2
2mx + 2m 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x

3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phơng trình : x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2

2
1
=

+
y
y
y
y
7) Cho phơng trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1









độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
xx
Bài 174
Cho phơng trình có ẩn số x : x
2
-2(m-1)x 3 m = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m
2) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình
thoả mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2


10.
Bài 175
Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x
2
2mx + 2m 1 = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1

2
3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 < x
1
< x
2
<6
Bài 178
Cho hai phơng trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax
2
+ 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a) Tơng đơng với nhau.
b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
a) Chứng minh rằng đẳng thức:
(m
2

+qx+1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c)(b c)(a + d)(b + d) = q
2
+ p
2
Bài 182
Cho phơng trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0
1) Chứng minh rằng, phơng trình có nghiệm với mọi m.
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
14
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
Cho phơng trình : x
2
4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2

, x
2
với mọi m.
b) Với m

0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn:

1
22
2
11
1
,
1
x
xy
x
xy +=+=
Bài 187
Cho phơng trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả
mãn: x
1
2
x
2
2
= 5/9
Bài 188

đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 189
Cho phơng trình : x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1

2
thoả
mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x
x
x
x

Cho phơng trình : ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
Bài 193
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bc + c = 0 (a

0).
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
15
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này
bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac
Bài 194
Chứng minh rằng phơng trình :
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với
mọi a, b, c.
Bài 195
Co hai phơng trình : x
2

2
-
4x + p 2 = 0
x
2
2px + 5 = 0
Bài 199
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a

0, có một
nghiệm là 1 +
2
.
Hãy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình:
kx
2
( 1-2k) + k 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 201
Cho phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 4(a 1)x + a
2
4a + 1 = 0
xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x

Cho các phơng trình : 2x
2
+ mx 1 = 0 (1)
mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung
Bài 205
Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
3x
2
- cx +2c - 1 = 0.
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
16
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Tính theo c giá trị của biểu thức: S =
3
2
3
1
x
1
x
1
+
Bài 206

x
1
2
2
1
+
Bài 209
Cho biết x
1
và x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx +
c = 0 (a

0, a,b,c

R). Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là :
2
2
2
1
x
1
,
x
1
Bài 210
Biết rằng x

2
thoả mãn:

50xx
3
2
3
1
=
Bài 213
CMR: phơng trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 214
Cho phơng trình bậc hai: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình
có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
2
+ x
2
2
= 72
Bài 215
Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai phơng trình: x

+ m - 2 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 218
Cho hai phơng trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1)
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Cho biết a
1
a
2



1
x
1
21
=+
b) Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m
Bài 221
Cho phơng trình: (m + 2)x
2
2(m 1)x + 3 m = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức : x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+
x
2
b) Lập một hệ thức giữa x

2
với mọi m
b) Xác định m để biểu thức: E = x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị bé nhất.
Bài 223
Cho phơng trình; (a 3)x
2
2(a 1)x a 5 = 0
a) giải phơng trình khi a =13
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 224
Cho phơng trình bậc hai: 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó
c) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân x
1
, x
2
thoả mãn: -1 < x
1
< x
2
<1

3
+ x
2
3
= 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
Giả sử phơng trình x
2
+ ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó
đúng một nghiệm dơng x
1
thì phơng trình bậc hai: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm
phân biệt trong đó có t
1
> 0 thoả mãn: x
1
+ t
1


2
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
18
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Bài 228
Cho 2 phơng trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1)

2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1)
Bài 230
a) Không giải phơng trình, hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và
nghiệm nhỏ của phơng trình
X
2
-
0
16
5
1
4

2
lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức:

)1()5(3)( yxyyxx +=+
Hãy tính giá trị của biểu thức: E =
yxyx
yxyx
+
++ 32
Bài 235
Cho phơng trình : x
2
2(m 1)x 3 m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
thoả mãn : x
1
2
+ x
2
2

19
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
cx d = 0 (2)
Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(ac)+c(ca)+8(db) > 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Bài 238
Giả sử phơng trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dơng. Chứng
minh rằng: ax
2
+ bx
2
là một hợp số.
Bài 239
Giả sử phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác định m để biểu thức
E = x
1

+ px 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
; Chứng
minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x
1
n
+ x
2
n
và x
1
n+1
+ x
2
n +1
đều là các số nguyên và
chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 242
Cho phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phơng
trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại.
Bài 243
Cho phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Có hai nghiệm x

+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
1)(x
2
1) =
1
1
+a
(2)
Bài 245
Cho a 0. Giả sử x
1
và x
2
là nghiệm của phơng trình : X
2
ax -
0
2
1
2
=
a
Chứng minh rằng: x
1

+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a)Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1
Bài 248
Cho phơng trình: x
2
ax+a1 = 0 có hai nghiệm là x
1
,x
2
.
a) Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
20
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
M =
2
212
2
1
2
2
2
1
333
xxxx
xx
+
+
b) Tìm giá trị của a để: P = x

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2
5
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài 252
Cho phơng trình : (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0 (1)

đạt giá trị lớn nhất.
Bài 254
Cho phơng trình : x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
= x
2
2
.
Bài 255
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phơng trình : t

Lưu ý HS: Quảng đường đi bằng quảng đường về, khác nhau về vận tốc nên thời gian
khác nhau
VD: Một người đi xe máy từ A đến B cách A 60 km. Khi từ B trở về A do trời mưa,
người đó giảm vận tốc chậm hơn khi đí là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời
gian đi là 30 phút. Tính vận tốc khi đi?
Dạng 2: Chuyển động cùng chiều( đuổi nhau)
Lưu ý HS: Quảng đường đi thường bằng nhau, xe có vận tốc nhanh hơn đến trước
VD: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quảng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi
giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thư hai là
0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô?
Dạng 3: Chuyển động ngược chiều:
Lưu ý HS: Khi hai xe gặp nhau thì tổng quảng đường hai xe đi được bằng chiều dài
quảng đường.
VD: Một xe lửa từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội
vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe lửa gặp
nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giải thiết rằng quảng
đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km.
Dạng 4: Chuyển động trên sông:
Lưu ý HS: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước
VD: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A
đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi lãn về là 5 giờ ( Không tính thời gian
nghỉ). Tính vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4
km/h
Dạng 5: Chuyển động vòng tròn ( Dành cho HS khá giỏi)
Lưu ý HS: - Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau thì tổng quảng đường hai
vật đi được bằng độ dài đường tròn
- Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp nhau thì vật đi nhanh đi hơn vật đi chậm 1
vòng tròn
II. Toán tìm số:

công việc
VD: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi
người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian
người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao lâu để hoàn
thành công việc.
CHUYÊN ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG QUAN GIỮA PARABOL VÀ
ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Xác định tọa độ giao điểm:
Lưu ý HS: Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + n và Parabol y =ax
2
là
nghiệm của PT : ax
2
= mx + n
VD: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và Parabol y = x
2
Dạng 2: Tìm hệ số a của hàm số y = ax
2
VD: Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm M(-2;1/4). Tìm a?
Dạng 3: Biện luận số giao điểm:
Số giao điểm của đường thẳng y = mx + n và parabol y = ax
2
là số nghiệm của PT:
ax
2
= mx + n (1)
- Nếu (1) vô nghiệm thì đường thẳng không cắt Parabol( Không có điểm chung)
- Nếu (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc Parabol( Có 1 điểm chung)

- Chuyên đề 1: 4 tiết
- Chuyên đề 2 : 5 tiết
- Chuyên đề 3: 3 tiết
- Chuyên đề 4: 3 tiết
- Chuyên đề 5: 4 tiết
- Chuyên đề 6: 5 tiết
- Chuyên đề 7: 3 tiết
- Chuyên đề 8: 6 tiết
- Chuyên đề 9: 3 tiết
Tổng: 36 tiết = 12 buổi
II. Đối với học sinh khá giỏi:
- Chuyên đề 1: 1 buổi
- Chuyên đề 2: 2 buổi
- Chuyên đề 4: 1 buổi
- Chuyên đề 6: 1 buổi
- Chuyên đề 7: 1 buổi
- Chuyên đề 8: 2 buổi
- Chuyên đề 9: 2 tiết
- Chuyên đề 10: 6 tiết
- Chuyên đề 11: 4 tiết
Tổng: 36 tiết = 12 buổi
( Đối với những trường có số buổi dạy ôn môn Toán trên 20 buổi thì căn cứ vào
trình độ học sinh, các đ/c tự điều chỉnh cho phù hợp. Lưu ý thời lượng dạy hình
tối đa chỉ chiếm 40% tổng thời gian ôn tập)
BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
24
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
VO LP 10 THPT V THPT CHUYấN
Mụn: TON

- Mụn Ng vn c vit theo hỡnh thc ti liu ụn tp.
V cu trỳc: H thng kin thc c bn ca nhng bi hc trong chng trỡnh Ng
vn lp 9 (riờng phõn mụn Ting Vit, kin thc, k nng ch yu c hc t lp 6,7,8).
Cỏc vn bn vn hc, vn bn nht dng, vn bn ngh lun c trỡnh by theo trỡnh t:
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
25