PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển
của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán
trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc
dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất
lớn.
Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học
sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm
lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại
số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp
hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để
học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không
bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? là những vấn đề được nhiều người quan
tâm và nghiên cứu.
Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài
nghiên cứu là:
“Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và
cách khắc phục”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm
phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ
đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh
khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong
trường trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm:
- 1 -
3.1. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong
quá trình học Đại số tổ hợp.
3.2. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm.

(Đáp án: 64800 số)
*Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh :
Câu 1:
- Lời giải 1:
- 3 -
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2
học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số
cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
.A
2
5
.A
5
8
= 403200 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
.A
3
5
.A
4

+ A
4
8
= 1743 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
6743 + 1743 = 8486 cách
Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.
- 4 -
- Lời giải 3:
Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như
vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng:
* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có:
C
1
3
.C
2
5
.C
5
8
= 1680 cách
* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng
này có:
C
1
3
.C
3

Theo quy tắc cộng ta có kết quả là:
1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách
Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến
lặp. Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là
các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1.
- Lời giải đúng là:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có
2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là
số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
- 5 -
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
C
1
3
.C
2
5
.C
5
8
= 1680 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
C
1
3
.C
3
5

C
2
5
.C
4
5
.6! – 15120 = 56880 số.
Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là
một số chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử:
A: Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn.
B: Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu.
C: Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nhận thấy rằng: Bø
- 6 -
(Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không
phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A). Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết
quả.
- Lời giải 2:
Gải sử số cần tìm là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

36000 + 36000 = 72000 số
Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên
đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu.
- Lời giải đúng là :
Giả sử số cần tìm là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
1
+ a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+ a
6
là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được :

Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp .
- 7 -
Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc .
Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp.
Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc.
Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học .
* Kết quả :
Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về
chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số
học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân
chia trường hợp riêng.
Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi
đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm
nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu
quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng
dạy học môn toán nói chung.
2.2. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ
Hợp.
2.2.1. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác
tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng
khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học
chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái
niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được
định nghĩa. Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững
cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm
được định nghĩa…
Ví dụ 1 :
- 8 -
Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là C

n
=

!
( )! !
n
n k k−

Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C
k
n
, học
sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k
(k ≤ n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm (n-k) phần từ.
Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng
quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc cộng: ‘’Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương
án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện
phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”.
Quy tắc nhân: ‘Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và
B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì
công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m
cách”.
Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm
lẫn cụm từ ‘một trong hai phương án” và ‘’ hai công đoạn liên liếp”… gây ra
sai lầm trong giải toán.
Ví dụ 3 :
- 9 -
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách
bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?

số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn.
Ví dụ 4 :
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ?
♠. Học sinh giải như sau:
Giả sử a
1
a
2
a
3
là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a
1
≠ 0. Tổng số cách
chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C
3
10
, trong đó số cách sắp xếp a
1
= 0
là C
2
9
. Do đó kết quả của bài toán là:
C
3
10
– C
2
9
= 84

1
≠ 0, ứng với mỗi
cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10
chữ số từ 0 đến 9 là A
3
10
, trong đó số cách sắp xếp a
1
= 0 là A
2
9
. Do đó kết quả
của bài toán là :
A
3
10
– A
2
9
= 648 (số)
Ví dụ 5:
- 11 -
Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc
chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra cặp để tham gia trò chơi?
♠. Học sinh giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp
chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A
3
7

= 84 cách
Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán
là:
3!. 84.35 = 17640 cách
2.2.2. Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học.
- 12 -
Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và
ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai
lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái
niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan
làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới.
Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến
việc tất yếu là học sinh giải toán sai.
Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay
sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”.
Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ
cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có 8 phần tử khác nhau).
Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10
phần tử).
Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc
phải sai lầm khi giải toán tổ hợp.
Ví dụ 6:
Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ
số trong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
♠. Lời giải của học sinh:
Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là: a
1
a
2

8
có 7! Cách viết (là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ
số khác nhau).
Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
có 7.7! cách viết.
Do số 7 xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị như
- 13 -
nhau. Vậy kết quả của hai bài toán là:
7.7!
17640
2
=
(cách viết)
♠. Sai lầm ở đây là:
Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a

3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
có:
8.7!
20160
2
=
(cách viết)
Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm k
chữ số khác nhau”. Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là: Số gồm k
chữ số a
1
a
2
…a
k
thì các a
1
(i = 1,k) phải khác nhau từng đôi một. Tức là: a
i
≠

= 360 cách
- 14 -
Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5
là:
A
4
5
= 120 cách
Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:
A
4
6
- A
4
5
= 360 – 120 = 240 (Số)
♠. Sai lầm ở đây là:
Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số
lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu
bài toán.
Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến
tính sai kết quả.
♠. Lời giải đúng ở đây là:
Giả sử a
1
a
2
a

♠. Lời giải của học sinh:
Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn cặp nam nữ thứ nhất. Có C
1
9
C
1
7
cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn cặp nam nữ thứ hai. Có C
1
8
C
1
6
cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn cặp nam nữ thứ ba. Có C
1
7
C
1
5
cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 cặp nam nữ để tham gia trò
chơi là:
C
1
9
C
1

những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia.
Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập. Chẳng hạn
như ta chia tập hợp A thành các tập con:
- 16 -
A = A
1

∪
A
2
∪
…
∪
A
k
Thì phải thoả mãn: * A
1
∩
A
j
≠ 0; i ≠ j
Và *
1
k
i=
∪
A
1
= A ; i,j = 1,k
Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những khái

9! – 14400 = 348480 cách.
♠. Nguyên nhân sai lầm:
Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ
còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào.
- 17 -
♠. Lời giải đúng là:
Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi
cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách
chọn là: A
4
6
. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn
tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào
đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:
A
4
6
.5! = 43200 cách.
2.3. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề
Đại số tổ hợp.
2.3.1. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho
học sinh.
Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến
ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính
xác cho từng bài toán.
Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung
chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính
xác và thuyết phục.
Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai

hiện ở công đoạn tiếp theo A
i+1
luôn bằng n
i+1
không phụ thuộc vào bất kỳ cách
nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại.
Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học
sinh nắm được:
- Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp
khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp.
- Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử,
hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp
đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công
thức tính số chỉnh hợp.
- Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự
khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp.
- Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp,
số tổ hợp.
- 19 -
Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức
về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực
tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá
trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử
dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp:
Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc
thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới.
Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra,
việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới.
2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp.
Một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần

quá trình chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp
những sai sót và hướng dẫn học sinh giải cẩn thận.
PHẦN 3 : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
3.1. Nội dung .
3.1.1. Cách thức tiến hành.
Thực nghiệm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Đặng Thai
Mai tôi chọn lớp 11B
1
là lớp thực nghiệm và lớp 11B
2
là lớp đối chứng. Trình độ
chung về môn toán của 2 lớp này là tương đương. Giáo viên dạy lớp thực
nghiệm cũng là giáo viên dạy đối chứng.
3.1.2. Nội dung .
Thực nghiệm được tiến hành trong 6 tiết đầu chương: Tổ hợp và xác suất
(Sách giáo khoa Đại số 11 – nâng cao). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra. Nội dung đề kiểm tra như sau:
- 21 -
Đề kiểm tra: 20 phút
1. Cho 8 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu
số có 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 5?
(Đáp án: 390)
2. Một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có nam sinh
Cường và nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự gồm 6 người ưu tú với yêu cầu
có ít nhất 2 nữ, ngoài ra Cường và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong
ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự?
(Đáp án: 260 cách)
3.2. Đánh gái kết quả .
3.2.1. Đánh giá định kỳ:
Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức

Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học
trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo
dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô.
Thanh Hoá, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
không sao chép của người khác.
(ký ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Hà
- 23 -