Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------- LÊ THỊ MAI QUỲNH

ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY
QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ sù ❣✐ó♣ ➤ì ♥❤✐Öt t❤➭♥❤ ✈➭ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝ñ❛ ◆❈❙
❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥✱ ❜➵♥ ❍♦➭♥❣ ▲➟ ❚r➢ê♥❣ ♣❤ß♥❣ ➤➵✐ sè tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝
❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳

ờ ó
R ị tr ớ tố m M R
ữ s ớ dim M = d x = x
1
, . . . , x
d
ệ t số
ủ M q = (x
1
, . . . , x
d
) t số ủ M s ở x ớ ỗ
số n ý ệ

d,n
= {(
1
, . . . ,
d
) Z
d
|
i
1, 1 i d,
d

ó tí t tí t số ó t ỉ r
r ề ợ ũ ú ỗ tử ủ ớ ủ
tr R ữ ọ ò r ột tr ủ R ớ
dim R 2, tr ó ọ ệ t số ủ R ó tí t tí t
số ó M ỉ tồ
t ột ệ t số x ó s x ó tí t tí t số
ờ t ế sự q t ủ ỏ tr ệ t số tốt ủ
M ó ột ó tể ợ tr ở
tí t tí t số ủ ột ệ t số tốt tế ộ
ó ợ trì tr Prtr st rs
rtr s sqt s ủ t
ễ ự ờ rờ sẽ r ở t í Pr
r t
ụ í ủ trì ột ệ tố
tết ết q ủ tr ợ 2
1 ế tứ ị ớ tệ ột số ế tứ
ề số ệ t số í q


2 P tí t số trì
ột số ổ ề từ ó ế ị ý í ủ ó ề tr
ủ q tí t số ệ q ủ ó
ị ý t ể r
ị ý (R, m) ị tr M R
ữ s ó ệ ề s t
M
ọ ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
ồ t ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
r ò trì ố q ệ ữ
M ể tứ ủ rt t q ị

i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
ồ t t số tốt q ủ M s tứ
l(M/q
n+1
M) =
t

i=0

n + d
i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
P ố ù ủ sẽ ự í ụ s tỏ


ệ ề ệ ề x
1
, x
2
, . . . , x
t
m ó
dim(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) dim M t.
tứ s r ỉ x
1
, x
2
, . . . , x
t
ột ủ ệ t số
ủ M
ệ ề ú ý ế x
1
, . . . , x
d
ệ t số ủ M tì
ớ ọ số
1
, . . . ,
d

ế t t sẽ r ị ĩ ề rt ị ý
tứ rt ột ị ý ổ tế ó ứ ụ ề tr
số r t ỉ ị ĩ ị ý
ù s ứ
ị ĩ M ữ s tr ị
tr (R, m) ớ dim M = d q ị ĩ ủ M tứ
l(M/qM) < ó t ị ĩ ột số ọ r

F
q,M
(n) = l(M/q
n+1
M).

ệ ề ị ý R =

t0
R
t

tr R
0
rt ữ s
sử r R = R
0
[x
1
, . . . , x
r
] x

d

+e
1
(q, M)

n + d 1
d 1

+ã ã ã+e
d
(q, M).
ố e
0
(q, M) ợ ọ số ộ s q s ở ột ệ t
số x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} t ý ệ e
0
(q, M) = e
(
x, M)
í q
r t sẽ trì ột số ệ ề í q ó
ệ ể ị ĩ ộ s ủ ột từ ó ế ị
ĩ ủ

✭✐✐✮ ❉➲② x
1
, . . . , x
i
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ x
i+1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲②
M/(x
1
, . . . , x
i
)M− ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ♠ä✐ 1 ≤ i ≤ n − 1.
✶✳✷✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✻✳✶❪ ◆Õ✉ x
1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉②
t❤× ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ α
1
, . . . , α
n
t❛ ❝ã {x
α
1
1
, . . . , x
α
n

◆Õ✉ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❦Ý ❤✐Ö✉ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ R−
♠➠➤✉♥ M ❧➭ depth
R
M ❤♦➷❝ ❝ã t❤Ó ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥ ❧➭ depth M✳
✶✳✷✳✼ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶✸❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✳
depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M✳
❱➭ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✳

ị ĩ M ợ ọ ế
M = 0 M = 0 depth M = dim M. R ọ
ế ó R
ệ ề s tr ủ
ệ ề ị ý ế M
tì ớ p Ass M t ó dim R/p = dim M
ế x
1
, . . . , x
d
m M í q tì M
ỉ M/(x
1
, . . . , x
d
)M
ệ ề ú ý ế M tì
ọ ệ t số ủ M M í q
ổ ề ổ ề N ủ M t
dim N < dim M M/N x
1

1
M y = x
1
m ớ m M s r y = x
1
m N
x
1
m + N = 0 + N tr M/N tứ x
1
(m + N) = 0 s r m + N = 0
m N ó y = x
1
m x
1
N
sử i > 1 ó (x
1
, . . . , x
i
)N (x
1
, . . . , x
i
)M N (1).
a (x
1
, . . . , x
i
)M N ó a = x

x
i
= N + (x
1
, . . . , x
i1
)M
✶✵
♥➟♥ t❛ ❝ã a
i
∈ N + (x
1
, . . . , x
i−1
)M✱ a
i
= x
1
b
1
+ · · · + x
i−1
b
i−1
+ c tr♦♥❣
➤ã b
j
∈ M✱ j = 1, · · · , i − 1 ✈➭ c ∈ N✳ ❙✉② r❛ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã
a − x
i

)N
✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ➤➢❛ r❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✱ tr➢í❝ t✐➟♥ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥✳
✶✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭✶✮ ▼ét ❧ä❝ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❧➭ ♠ét ❤ä
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
tr♦♥❣ ➤ã M
i
❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M✳ ▲ä❝ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ F ❝ñ❛ M
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ dim M
i−1
< dim M
i
✈í✐ ♠ä✐
i = 1, 2, . . . , t✳
✭✷✮ ▼ét ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M

= d
i
tì t ó
D
i
=

dim(R/p
j
)d
i+1
N
j
ớ ọ i = 1, 2, . . . , t 1 tr ó
0 =
n

j=1
N
j
tí s t ọ ủ 0 ủ M N
j
p
j

s ớ ọ j = 1, 2, . . . , n
ét N ủ M dim N < dim M ừ ị
ĩ ọ ề tồ t D
i
s N D

1
. . . M
t
= M ọ t
ề ệ ề dim M
i
= d
i
ột ệ t số x
= {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ủ
M ợ ọ ệ t số tốt t ứ ớ ọ F ế
M
i
(x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M = 0

0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ✈í✐
dim D
i
= d
i
✳ ❚❤❡♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò 1.3.2 t❛ ❝ã D
i
=

dim(R/p
j
)≥d
i+1
N
j
tr♦♥❣ ➤ã
0 =
n

j=1
N
j
❧➭ sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥❣✉②➟♥ s➡ t❤✉ ❣ä♥ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ 0 ❝ñ❛ M✳ ➜➷t
N
i

i
+2
, . . . , x
d
∈ Ann M/N
i
✳ ❙✉② r❛ D
i
∩ (x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M ⊆
D
i
∩ N
i
= 0.
✶✳✸✳✺ ❇æ ➤Ò✳ ❬✸✱ ❇æ ➤Ò ✷✳✶❪ ❈❤♦ x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d

j
✈í✐ ♠ä✐ j ≥ d
i
✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② x ∈ D
i
✈× D
i
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ♥➟♥ x ∈ M✳ ❙✉② r❛ x
j
x ∈ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M✱
∀j = d
i
+1, . . . , d ❤➡♥ ♥÷❛ x
j
x ∈ D
i
✳ ◆➟♥ s✉② r❛ x
j
x = 0 ❤❛② x ∈ 0 :
M
x
j
.
❚❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ 0 :

x
j
ì d
s
d
i+1
j x
j
tử
t số ủ D
s
dim 0 :
M
x
j
< d
s
ó 0 :
M
x
j
D
s1
ề
ý ớ ệ ọ s 0 :
M
x
j
= D
i

x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
) ệ t số
tốt ủ M ó ệ ề s t
(1) M
(2) (x
1
, . . . , x
d
i
) í q tr M/D
i1
ớ i = 1, . . . , t
(3) depth M/D
i1
= d
i
ớ i = 1, . . . , t
ổ ề ệ q x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ệ t số
tốt ủ M ó (x

d
i
, x
d
i+1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x
d
i
)M ∩ D
i
+ (x
d
i+1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x
d
i
)M ∩ D
i

✷✳✶ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② q✉❛ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ t❤❛♠ sè
❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷❛ ❤➵♥ s✐♥❤
✈í✐ dim M = d✳ ❈❤♦ x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M
✈➭ q ❧➭ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ x
1
, x
2
, . . . , x
d
✳ ❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n, s t❛ ❝ã t❐♣
Λ
d,n
= {(α
1
, . . . , α
d
) ∈ Z
d
| α
i
≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d,
d
