A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Công thức lượng giác là một phần toán quan trọng trong chương trình toán
lớp 10. Tuy nó không thật sự khó đối với học sinh nhưng để nắm được toàn bộ
công thức chỉ trong một thời gian ngắn quả không phải học sinh nào cũng làm
được. Vấn đề mấu chốt ở đây là làm thế nào để học sinh ghi nhớ các công thức
lượng giác một cách nhanh nhất, dễ hiểu nhất và ứng dụng được các công thức
đó vào làm bài tập mà không còn sự lúng túng. Sau nhiều năm giảng dạy, tôi rút
ra được kinh nghiệm đó là hướng dẫn học sinh học công thức lượng giác bằng
sơ đồ tư duy.
Với sơ đồ tư duy học sinh có thể tự sáng tạo ra sơ đồ theo ý tưởng miễn làm
sao mạnh kiến thức không trùng, lặp, mất mà vẫn dễ dàng tiếp cận.
Với sơ đồ tư duy học sinh có cảm giác được khám phá, các em sẽ thấy tự tin
hơn, mạnh dạn hơn và chắc chắn rằng sẽ dễ thuộc hơn điều đó là tiền đề tốt để
các em biến đổi công thức một cách nhanh gọn, chính xác giúp ích cho việc giải
phương trình lượng giác sau này.
Với sơ đồ tư duy học sinh sẽ tái hiện lại toàn bộ kiến thức có liên quan, nắm
được mối liên hệ giữa các công thức một cách chắc chắn mà không phải học
thuộc lòng, không phải ‘‘lẩm bẩm’’ một bài thơ nào đó để tìm công thức, hoặc
chí ít cũng không cần phải mang cẩm nang toán học bên người.
Với những lợi ích trên, tôi đã mạnh dạn làm một sáng kiến có tên là: ‘‘ Kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 học công thức lượng giác bằng sơ đồ tư
duy’’ góp phần nâng cao chất lượng bộ môn lượng giác nói riêng và chất lượng
học tập nói chung của học sinh.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề.
1.1. Nghiên cứu lí luận:
1
-Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện tính tích cực, tư duy sáng tạo
của học sinh luôn trở thành nổi trăn trở đối với những giáo viên có tâm với nghề.
Làm sao cho giáo dục đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội trong
việc đào tạo con người. Để thực hiện được những quan điểm chỉ đạo này cần

chưa hiệu quả lắm.
-Học sinh thường mang theo cẩm nang toán học bên cạnh, khi cần lại giở xem,
nhưng trong các cuộc thi thì điều đó là không thể.
2.2. Đối với giáo viên
- Từ thói quen thuyết giảng, không ít người chỉ “chạy” theo khối lượng kiến thức
có trong sách giáo khoa, không quan tâm đến việc tìm ra những biện pháp tác
động đến quá trình nhận thức của học sinh. Đây là thói quen, cũng là rào cản của
giáo viên khi đổi mới PPGD. Bản chất của việc dạy học là làm cho học sinh chủ
động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức. Học sinh tiếp thu kiến thức không phải
chỉ thông qua kênh nghe, kênh nhìn mà còn phải được tham gia thực hành ngay
trên lớp hoặc được vận dụng, trao đổi thể hiện suy nghĩ, chính kiến của mình.
- PPGD của phần lớn giáo viên bộ môn hiện nay là hướng vào người dạy, Học
sinh luôn ở trong trạng thái thụ động, phải ghi nhớ máy móc những công thức
mặc định, có sẵn trong giáo trình, do đó chưa đáp ứng được mục tiêu của
chương trình, SGK mới cũng như yêu cầu của xã hội.
-Chương trình và nội dung bài dạy dài, giáo viên sợ ‘‘cháy’’ giáo án, học sinh lại
tiếp nhận một lượng lớn công thức từ đó dẫn đến việc học xong tiết học học sinh
không biết mình đã có những cái gì trong tay.
2.3. Đối với môi trường xung quanh
-Xu hướng ngại học có chiều hướng gia tăng đối với một số bộ phận học sinh,
các em không có động lực lớn để thúc đẩy việc học, buông xuôi và ít định
hướng cho tương lai. Đó cũng là một vấn đề không nhỏ cho các giáo viên có tâm
với nghề.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
3
3.1. Ôn tập lại định nghĩa GTLG.
Để học công thức lượng giác với sơ đồ trước hết học sinh phải nắm vững khái
niệm giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác một cách tường tận.
GV nhắc lại tường tận định nghĩa như sau:
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có

sin
cos
gọi là côtang của α
kí hiệu cot
α
⇒ cotα =
α
α
sin
cos
.
Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.
Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.
* Chú ý :
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
- Nếu 0
0

≤
α
≤
180
0
thì các giá trị lượng giác của α cũng chính là các tỉ số
lượng giác của góc α trong SGK HH10.
Các hệ quả :
a) sinα và cosα đều được xác định ∀α∈ R. Ta có:
sin(α + k2π) = sinα
cos(α + k2π) = cosα
−1

cây nhánh, với trung tâm là trụ và rẽ nhánh ra các phía, như một mạng noron.
b. Các bước lập một sơ đồ tư duy
-Trước tiên để lập được sơ đồ tư duy thì học sinh cần phải biết kiến thức mình đang học thuộc dạng
nào, công thức hay chữ viết, sau đó là phải nắm được ý chính của nội dung bằng cách đọc thật kĩ bởi chỉ khi hiểu
rõ bản chất của vấn đề thì học sinh mới dễ dàng hệ thống được nó theo cách hiểu của mình.
-Bắt đầu với tựa bài, tựa bài là phần rất quan trọng bởi nó bao quát toàn bộ nội dung bài học, do đó học sinh cần
phải nắm bắt được thì mới khái quát được những nội dung tiếp theo. Sau đó là quá trình xử lý thông tin.
-Sơ đồ tư duy được tạo nên bởi các nhánh chính, từ các nhánh chính sẽ cho ra những nhánh phụ tương ứng với
nội dung nào quan trọng sẽ ở nhánh chính, trong những nhánh chính sẽ là những nội dung nhỏ là các nhánh phụ.
Học sinh phải xác định được đâu là ý chính, đâu là ý phụ rồi điền vào sao cho tương ứng là được. Tránh tình
trạng tham lam mà cho tất cả kiến thức vào sơ đồ khiến nó bị rối tung với hàng loạt nhánh, cành lung tung và rất
khó nhìn, khó học.
-Thêm vào đó học sinh cũng không nhất thiết phải ghi câu cú một cách quá nắn nót, cẩn thận, vì là viết ra cho
mình học nên chỉ cần viết sao cho mình có thể hiểu là được, điều đó cũng không có nghĩa là được phép cẩu thả.
-Học sinh nên dùng bút mầu, tô, vẽ theo ý tưởng, có thể dùng kí hiệu riêng của
bản thân để dễ nhớ hơn.
c.Ví dụ
5
Giáo viên lấy ví dụ đơn giản để hs hiểu rõ về sơ đồ tư duy.
*Vẽ sơ đồ công thức lượng giác cơ bản
Với sơ đồ I. Ta có các khái niệm cụ thể như sau :
Kiến thức đang học : Dạng công thức
Tựa bài : Công thức lượng giác cơ bản
Nhánh chính : 3 nhánh mầu xanh dương ứng với công thức (1), (2),(3).
Nhánh phụ : các nhánh mầu tím, xanh lá cây
* Phương pháp học thuộc công thức bằng sơ đồ I.
Khi đã có một sơ đồ ưng ý, dễ hiểu thì việc học với hs sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Bước 1:
Nhớ dạng công thức mình đang học(Công thức lượng giác cơ bản) Bước 2 : Nhớ các nhánh chính (có bao nhiêu
nhánh), học thuộc với các nhánh chính đó. (Có 3 ý chính, biểu thị cho 3 công thức cơ bản được tô mầu xanh
dương)

+ =
Chia cho sin
2
x (x ≠ k π, k ∈ Z.)
( )
2
2
1
cos 7
1 tan
α
α
=
+
( )
2
2
1
sin 8
1 cot
α
α
=
+
( )
sin
tan 2
cos
α
α

π
α π
≠ + ∈
¢
SƠ ĐỒ I
6
khi học học sinh sẽ phải tự thêm các nối kết ở đó.(công thức này có thể suy ra
công thức kia, các điều kiện kèm theo ).
VD với nhánh phụ xuất phát từ công thức sin
2
x + cos
2
x = 1(1) hs có thể tự cm để suy ra
công thức (4) và (5). Từ công thức (4),(5) hs tiếp tục suy ra các công thức (7),
(8), nhớ rằng phải có điều kiện kèm theo đấy.
Chú ý :
- Dù là sơ đồ dễ nhìn, dễ học thuộc hơn nhưng học sinh nên học phần nào dứt điểm phần đó. Không nên tham
lam quá, sẽ bị rối và hậu quả là“râu ông nọ cắm cằm bà kia”.
-Khi học không nhất thiết phải học theo thứ tự các công thức giống hệt sách giáo khoa, miễn làm sao thấy được
mối liện hệ giữa các công thức đó.
-Khi học xong bài thì cũng cần phải ôn lại thường xuyên. Nếu như học theo sách, vở thì mỗi lần ôn lại học sinh
phải đọc lại từ đầu mới nhớ được thì với sơ đồ tư duy, hs chỉ cần lướt qua là có thể nắm được ý chính, sau đó thì
não sẽ phải vận động để nhớ những nhánh phụ tiếp theo là như thế nào. Tránh tình trạng chủ quan học xong rồi
để đó, không ôn lại. Dù là dễ nhớ đến đâu nhưng nếu không được ôn lại thì nó cũng sẽ nhanh quên.
Với phương pháp lập sơ đồ để học thuộc này, không khó để học sinh học thuộc bài mà còn giúp
các em hiểu rõ bản chất của vấn đề nữa. Với các công thức khác giáo viên cũng sẽ hướng dẫn học sinh cách lập
và học cụ thể.
3.3. Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây với công thức cộng
a. Cách thiết lập sơ đồ.
Công thức cộng là một công thức quan trọng trong các công thức lượng giác, có

CỘNG
Sin(a+b)=sina.cosb + cosa.sinb (3)
cos(a
−
b) = cosa.cosb + sina.sinb(1)
Sin(a-b)= sina.cosb - cosa.sinb(4)
SƠ ĐỒ II
cos(a + b)= cosa.cosb - sina.sinb (2)
( )
tan tan
tan( ) 5
1 tan . tan
a b
a b
a b
−
− =
+
( )
tan tan
tan( ) 6
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
8
3.4. Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây với công thức nhân đôi, hạ bậc

ĐÔI,
HẠ
BẬC
Sin(a+b)=sina.cosb + cosa.sinb (2)
a=b
SƠ ĐỒ III
cos(a + b)= cosa.cosb - sina.sinb (1)
( )
tan tan
tan( ) 3
1 tan . tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
cos2a= 2cos
2
a-1 (7)
cos2a= 1-2sin
2
a (8)
cos2a=(cosa-sina)( cosa+sina)(9)
a=b
a=b
( )
2
2
1 tan

a
a
=
+
( )
2
1 cos 2
sin 12
2
a
a
−
=
( )
2
1 cos 2
cos 11
2
a
a
+
=
10
Học sinh có thể vẽ sơ đồ khác bằng cách xác định tích theo tổng trước, rồi mới suy ra tổng theo tích sau.
Không sao cả, đó là sự sáng tạo của mỗi bản thân học sinh, giáo viên nên ghi nhận và khuyến khích các em. Vậy
với sơ đồ trên chúng ta bắt tay vào việc học như thế nào ?
Trước hết hãy cộng vế với vế của công thức (1) và (2) chúng ta sẽ có ngay (5)
(Lưu ý biến đổi a, b theo x,y đã nhé).
Tương tự lấy vế trừ vế của công thức (1) và (2) chúng ta sẽ có ngay (6).
Với công thức (3),(4) cũng tiến hành tương tự ta sẽ có ngay công thức (7), (8).

+ =
cos(a +b)=cosa.cosb -sina.sinb (2)
+
-
+
-
Đặt x=a+b; y=a-b
( )
cos cos 2sin sin 6
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
( )
sin sin 2sin cos 7
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
( )
sin cos 2cos sin 8
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
Đặt x=a+b; y=a-b
( ) ( ) ( )

Bước 3 : Từ nhánh chính xây dựng các nhánh phụ.
Bước 4 : Tìm mối liên hệ tổng quát giữa các nhánh với nhau.
Bước 5 : Hoàn thiện sơ đồ và trang trí theo thẩm mĩ và kí hiệu riêng của bản
thân. (Các công thức cùng dạng, cùng mức độ thì cùng mầu với nhau )
b. Phương pháp học với sơ đồ tổng quát
Nếu chưa làm quen với dạng này thì khi nhìn vào sơ đồ sau học sinh sẽ thấy rối,
không biết bắt đầu từ đâu. Nhưng học sinh đã được tiếp cận với các sơ đồ nhỏ
rồi thì khi nhìn sơ đồ lớn hơn học sinh sẽ có ý thức chiếm lĩnh và thử sức. Với
sơ đồ lớn này giáo viên hướng học sinh tới một công việc tổng quát hơn, khó
hơn, kiên trì và bền bỉ hơn nhưng đổi lại nó sẽ cho ta thấy được nhiều điều bổ
ích.
-Trước hết phải học nhánh chính thứ nhất đó là công thức lượng giác cơ bản
(phương pháp học đã được nêu ở sơ đồ I)
-Học sinh phải trang bị cho mình kiến thức về mối liên hệ giữa các góc đặc biệt
(đối, phụ, bù ).
-Tiếp tục học nhánh thứ hai, nhánh này rất nhiều nhánh phụ, nếu đã học bằng cách tách ra các sơ đồ nhỏ thì với
sơ đồ lớn không vấn đề gì.
-Học sinh có thể thêm vào các nét vẽ, nối biểu thị mối liện hệ các công thức với
nhau, để hiểu rõ vấn đề hơn. Nếu thấy quá nhiều nét vẽ (sợ rối) thì hãy tạm dừng lại, hãy học từ từ và vững
chắc. Khi thấy đã ổn rồi học sinh mới tiếp tục khai thác tiếp các đường vẽ.
12
-Hãy vẽ nhiều lần, để công thức được nhuần nhuyễn hơn.
Sau đây là một mẫu sơ đồ mà giáo viên giới thiệu cho học sinh.
Trên đây là các sơ đồ hướng dẫn học sinh học và ghi nhớ các công thức lượng
giác một cách tổng quát. Từ sơ đồ đơn giản nhất đến sơ đồ có nhiều nhánh phụ
Sin(a+b)=sina.cosb + cosa.sinb
SƠ ĐỒ V
cos(a + b)= cosa.cosb - sina.sinb
tan tan
tan( )

=cos
2
a-sin
2
a
=2cos
2
a-1
=1-2sin
2
a
sin2a=2sina.cosa
CÁC
CÔNG
THỨC
LƯỢNG
GIÁC
CTLG
CƠ
BẢN
sin
2
x +cos
2
x =1 ()
()111(1)
sin
tan
cos
α

cos
2
a
a
+
=
cos(a -b)=cosa.cosb +sina.sinb
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
Sin(a-b)=sina.cosb - cosa.sinb
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b

x y x y
x y
+ −
+ =
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
Ct tích thành tổng
Công thức
tổng thành
tích
13
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
rồi sau cùng là sơ đồ tổng quát với toàn bộ công thức lượng giác. Với cách học
này học sinh sẽ không còn ái ngại khi thấy công thức lượng giác sao mà nhiều
quá vậy. Thực ra ta chỉ cần nắm vững một vài công thức gốc là ta có thể nắm
toàn bộ công thức lượng giác trong tay rồi.
4. Kiểm nghiệm
Khi mới học xong công thức lượng giác (có ôn tập 2 tiết) tôi tiến hành kiểm tra
15’, chủ yếu là chứng minh, rút gọn các biểu thức lượng giác, kết quả thu được
quả là hơi thất vọng.
Lớp

Tỉ lệ % Số
lượng
Tỉ lệ
%
Số
lượng
Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
10B
3
46 05 10,87 % 11 23,92 12 26,08% 18 39,13%
14
So với kết quả bài kiểm tra đầu tiên thì kết quả bài kiểm tra sau khả quan hơn rất
nhiều, điều đó cho thấy rằng phương pháp tôi đưa ra đã thật sự có hiệu quả,
quan trọng hơn là tôi đã tạo được tâm lý hứng thú học đối với môn lượng giác,
các công thức không còn khó hiểu và cũng không còn thấy nhiều nữa. Việc học
môn lượng giác trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận :
Bản đồ tư duy được xem là một công cụ giúp bộ não tư duy toàn diện và khai
thác được tiềm năng của não phải. Nhờ có sự liên kết giữa các ý tưởng với ý
tưởng trung tâm nên Bản đồ tư duy cho thấy mức độ bao quát, sâu rộng của vấn
đề cần nghiên cứu. Bản đồ tư duy có thể giúp người dùng xây dựng kế hoạch
làm việc, học tập nhanh chóng, chính xác, rõ ràng, sáng tạo hơn, giúp người
dùng giải phóng suy nghĩ theo lối mòn từ đó dễ dàng đưa ra cách giải quyết vấn
đề, làm sáng tỏ những tình huống, tiết kiệm thời gian và nhớ lâu hơn, …Trong
dạy học, Bản đồ tư duy góp phần đổi mới phương pháp dạy học. Giáo viên có
thể sử dụng Bản đồ tư duy trong quá trình soạn giảng, bố cục nội dung bài dạy;
vẽ sơ hoá kiến thức thông qua việc liên kết các mắt xích kiến thức cho từng bài,
từng chương, từng phần kiến thức; hệ thống nội dung ôn tập để học sinh có cái
15

Giải quyết vấn đề 1
Cơ sơ lý luận của vấn đề 1
Thực trạng vấn đề 2
Giải pháp và tổ chức thực hiện 3
Sơ đồ I 5
Sơ đồ II 7
Sơ đồ III 8
Sơ đồ IV 9
Sơ đồ V 11
Kiểm nghiệm 12
Kết luận và đề xuất 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách của Adam khoo
1. Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Adam Khoo
2. Con cái chúng ta đều giỏi - Adam Khoo
17
3. Các tài liệu tham khảo khác,(SGK, SGV, Sách tham khảo) các tài liệu trên
các diễn đàn toán học.
18