Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
1
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO XUÂN TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS XUÂN NINH
SÁNG KIẾN DỰ THI CẤP HUYỆN
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
“Rèn kỹ năng nhận dạng tứ giác”
(Cho học sinh lớp 8)
Tác giả : Nguyễn Thị Hồng Nhung
Trình độ chuyên môn : Cử nhân sư phạm ngành Toán
Chức vụ : Giáo viên
Nơi công tác : Trường THCS Xuân Ninh

Xuân Ninh, ngày 02 tháng 02 năm 2012
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
THÔNG TIN VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến : Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác cho học sinh lớp 8
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giáo dục THCS
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 01 tháng 9 năm 2010 đến ngày 15 tháng 11 năm 2011.
4. Tác giả :
Họ và tên: NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG
Năm sinh : 16-11-1977
Nơi thường trú: Xã Xuân Ninh - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn : Đại học Sư phạm ngành Toán.
Chức vụ công tác : Giáo viên.
Nơi làm việc: Trường THCS Xuân Ninh.
Địa chỉ liên hệ : Xã Xuân Ninh - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Điện thoại 03503885452
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Điều này được thể hiện rất rõ qua bài kiểm tra khảo sát về nhận dạng tứ giác của học
sinh hai lớp 8A, 8C năm học 2009-2010 cụ thể kết quả như sau:
Thời gian khảo
sát
Tổng số HS
khảo sát
Số điểm
khá giỏi
Điểm trung bình
trở lên
Học kì I năm

học 2010-2011
Tổng số Tỉ lệ % Tổng số Tỉ lệ %
18 22,5 45 56,2
Như vậy tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên còn thấp chứng tỏ các em chưa
có kĩ năng nhận dạng tứ giác, nên tôi đã nghiên cứu hệ thống lại các phương pháp nhận
dạng dưới dạng sơ đồ và đưa ra các bài tập điển hình cùng với những phương pháp giải
cụ thể nhằm giúp các em định hướng được các tứ giác cần nhận dạng và tự mình vận
dụng một cách thành thạo khắc phục những tình trạng mà tôi vừa nêu ở trên.
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
3
80
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
III. CÁC GIẢI PHÁP.
A) . Cơ sở lý luận :
Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của Khoa học kĩ thuật và công nghệ thông tin
trong đời sống sản xuất và xã hội. Càng ngày khoa học công nghệ càng trở thành
phương tiện và điều kiện đối với sản xuất đời sống, có ảnh hưởng rất lớn đến xã hội.
Muốn có khả năng nhất định về tri thức và khoa học công nghệ thì con người càng phải,

Nghiên cứu qua giải bài tập cụ thể của học sinh, theo dõi bài kiểm tra, quá trình học tập
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
4
Sỏng kin kinh nghim: Rốn k nng nhn dng t giỏc.
ca tng i tng hc sinh
C. Cỏc gii phỏp c th :
1) Nhn dng hỡnh thang cõn:
a) S nhn dng:

b) Phng phỏp gii:
* Da vo s nhn dng trờn GV yờu cu HS nờu cỏc cỏch chng minh t giỏc l hỡnh
thang cõn. c bit cho HS nhn thy l hỡnh thang cõn trc ht nú phi l hỡnh thang
ó ri sau ú thờm mt trong hai iu kin
- Hai gúc k mt ỏy bng nhau
- Hai ng chộo bng nhau
c) Vớ d:
Bi tp 1: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú AC = BD. Qua B k ng thng
song song vi AC ct DC ti E chng minh rng:
i)

ACD =

BCD
ii) Hỡnh thang ABCD l hỡnh thang cõn
Hng dn gii:
(i vi bi tp ny GV yờu cu HS v hỡnh ri tỡm cỏch chng minh. Nhng trc ht
phi nhn dng c tam giỏc DBE trờn c s ú i chng minh bi toỏn)
( GV nờu s CM i lờn)

$

AC = BE mà AC = DB


ABCE là hbh


AB//CE ; AC//CE
A
B
E
C
D
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
Bài tập 2: Cho tam giác đều ABC điểm M nằm trong tam giác đó.Qua M kẻ đường
thẳng song song với AC và cắt BC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC ở
E, Kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở F. Hãy nhận dạng các tứ giác BFMD,
AEMF, CDME.

GV (hướng dẫn)

Chú ý: Ngoài ra thông qua việc nhận dạng tứ giác ta có thể sử dụng các tính chất của
hình thang cân:
- Hai đường chéo bằng nhau.
- Hai cạnh bên bằng nhau.
để tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau.
d) Bài tập vận dụng:
Bài tập 3 : Tính chiều cao của hình thang cân ABCD biết cạnh bên BC = 25 cm; cạnh đáy

E
F
A B
D
H
K
C
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.

Hướng dẫn:
Ta có
·
·
·
ADB BDC DBA= =
(gt + t/c hai đường thẳng song song)
Do đó AB = AD = BC = 4cm
Mà:
µ
·
µ
·
·
0
0
2
30
90
C BDC
BDC

( Lưu ý : Tứ giác hoặc hình thang có một trong các điều kiện trên)
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
7
A B
C
D
Có các cạnh đối song song
Có các cạnh đối bằng nhau
Có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Có các góc đối bằng nhau
Có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
Hình bình
hành
Hai cạnh bên song song
Hai cạnh đáy bằng nhau
Tứ giác
Hình thang
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
• Dựa vào sơ đồ trên GV yêu cầu HS nêu các cách chứng minh tứ giác là
hình bình hành. Như vậy hình bình hành được chứng minh từ tứ giác hoặc từ hình
thang.
Đặc biệt HS phải biết được chứng minh hình bình hành từ tứ giác có:

+) Một dấu hiệu về góc Các góc đối bằng nhau
+) Một dấu hiệu về đường chéo Hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường.
• Các tính chất của hình bình hành:
+) Tính chất về cạnh : các cạnh đối bằng nhau.
+) Tính chất về góc: các góc đối bằng nhau.

.
.
B
E
H
A
C
F
G
D
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
GM = 2GD ( gt)

⇒
GB = GM
Chứng minh tương tự có GC = GN

⇒
Tứ giác BNCM là hbh (dấu hiệu 5)
Cách 2: ED là đường trung bình của tam giác ABC
và tam giác GNM nên
ED // BC; ED =
2
1
BC
ED // MN; ED =
2
1
MN


Bài tập 5: Cho tam giác ABC trực tâm H , các đường thẳng vuông góc với AB tại B, với
AC tại C cắt nhau tại D chứng minh rằng:
a) Tứ giácBDCH là hình bình hành
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
9
D
B
C
M
E
A
N
G
BC // NM; BC = MN
G
B
A
C
D
H
O
A
B
C
D
E
F
O
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
a)

biết hình chữ nhật).
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
10
Tứ giác
Hình bình
hành
hành
Hình
thang cân
Hình chữ
nhật
Có ba góc vuông
Có 1 góc vuông
+ Có một góc vuông
+ Có 2 đường chéo bằng
nhau
E
F
A
H
MB
C
D
O
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
• Nêu được các tính chất của hình chữ nhật và vận dụng được các tính chất
này( HS phải hiểu được rằng: Hình chữ nhật được chứng minh từ hình bình hành,
hình thang cân nên nó có tất cả các tính chất của các hình đó) + tính chất riêng của
hình chữ nhật.
c) Ví dụ:

AC

⇒
MNPQ là hình chữ nhật ( Vì là hình bình hành có 1 góc vuông).
Lưu ý: - Để chứng minh hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật ta có thể chứng minh
góc NPQ bằng 90
0
như sau:

· ·
·
·
·
·
·
·
0
( )
90
( )
QPC ABC slt
ABC ACB BPN CPQ
NPB ACB slt

=

⇒ + = + =

=


E
P
Q
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
Bài tập 2: a) Cho hình vẽ :
Để tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD
phải có thêm điều kiện gì? Tại sao?

Chứng minh:
Tứ giác EFGH là hình bình hành( HS chứng minh phần nhận dang hbh)
⇒
hình bình hành EFGH là hình chữ nhật khi và chỉ khi hbh
có một góc vuông
giả sử
·
0
90EGH =
khi đó ta có:

/ /
/ /
HE BD
GH AC AC BD
HE GH


⇒ ⊥


⊥


⇒ =


= =


hay tam giác ABC cân tại A.
d) Bài tập áp dụng:
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E là
chân các đường vuông góc từ M đến AB và AC.
a) Nhận dạng tứ giác ADME.
b) Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
12
B
E
F
C
G
D
H
A
A
B
C
D
E
F
M

M
N
P
Q
Có 4 cạnh bằng nhau
+Có hai cạnh kề bằng nhau
+Có hai đường chéo vuông góc
+Có một đường chéo là phân
giác của một góc
Tứ giác
Hình bình
hành
Hình thoi
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
* Nêu được các tính chất của hình thoi và vận dụng được các tính chất này với chú ý
rằng : Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành + tính chất riêng của hình thoi.
c) Ví dụ:
Bài tập 1:( Bài 11.2/97/SBT)
Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của hình thang cân là các đỉnh của hình thoi.
Chứng minh:
Theo tính chất đường trung bình của tam giác thì:
EF = GH ( Vì cùng bằng
2
1
AC)
EH = GF ( Vì cùng bằng
2
1
BD)
Mà AC = BD ( tính chất hình thang cân)

GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
14
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
I
M
K
N
D
I
N
G
A
M
B
C
E
K
H

+ Có hai cạnh kề bằng nhau
+ Có hai đường chéo vuông góc
+ Có một đường chéo là phân
giác của một góc
Hình chữ nhật
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
* Từ sơ đồ trên HS sẽ nêu được tính chất của hình vuông ( Bao gồm tính chất của hình
thoi và hình chữ nhật – mà tính chất của hình thoi và hình chữ nhật lại bao gồm tính chất
của hình bình hành và hình thang cân).
Kết hợp các tính chất của các hình trên ta có tính chất đặc biệt về đường chéo hình
vuông là :
“ Hai đường chéo hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi
đường”
Đồng thời sử dụng những tính chất này để chứng minh các bài tâp có quan hệ song song,
thẳng hàng, vuông góc, bằng nhau.
c) Ví dụ:
Bài tập 1 : Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các
điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Hãy nhận dạng tứ giác MNPQ ? Vì sao
em nhận dạng như vậy
Nhận dạng:
MNPQ là hình vuông
Vì bằng cách chứng minh các tam giác vuông bằng nhau
Ta suy ra MQ = QP = PN = NM và góc QMN bằng 90
0
Bài tập 2: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác
của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự tại E, F, G, H.
Tứ giác EFGH là hình gì ? Chứng minh?
Phương pháp giải:
Để nhận dạng được tứ giác EFGH thì HS phải vẽ hình chính xác và dự đoán trên hình vẽ
rồi dựa vào các sơ đồ ; các dấu hiệu nhận biết để nhận dạng .

N
P
Q
B
F
A
C
D
E
G
H
O
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
Nhận xét:
+Bài tập trên có thay đổi về gt chẳn hạn: “ Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F, G, H lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA thì tứ giác EFGH là hình gì?”
Thì cách giải bài tập hoàn toàn giống cách giải bài tập trên
Vậy vấn đề đặt ra là: Nếu ABCD là hình thoi và E, F, G, H là hình chiếu của O trên AB,
BC, CD, DA thì EFGH còn là hình vuông nữa hay không?
Trong bài tập này HS phải chỉ ra được rằng EFGH là tứ giác có hai đường chéo bằng
nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường . Nhưng hai đường chéo này chưa vuông góc
với nhau nên EFGH chưa đủ điều kiện để là hình vuông.
+Ngoài ra dựa vào dấu hiệu nhận biết và các tính chất hình vuông ta còn có thể tìm điều
kiện để một hình trở thành hình vuông chẳng hạn bài tập sau:
Bài tập 3:
Cho hình vẽ:Biết DI // AC ; AB // DK
a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AIDK là hình gì?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AIDK là hình vuông?
Phương pháp giải:
a) Để biết khi tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AIDK là hình gì HS vẽ hình trong

Có 1 góc vuông
Có 2 đ/c bằng
nhau
Có 2 cạnh kề bg nhau
Có 2 đ/c vuông góc
Có 1 đ/c là phân giác
của 1 góc
Có 2 cạnh kề bằng nhau
Có 2 đ/c vuông góc
Có 1 đ/c là phân giác
của 1 góc
Có 1 góc vuông
Có 2 đ/c bằng nhau
Có hai cạnh đối
song song
Có 1 góc vuông
Có 2 góc kề 1 đáy
Có 2 đ/c bằng nhau
2 cạnh bên //
2 c.đáy bằng nhau
Có các cạnh đối song song
Có các cạnh đối bằng nhau
2 cạnh đối // và bằng nhau
Có các góc đối bằng nhau
Có 2 đường chéo cắt nhau
tại trung điểm mỗi đường
Có 4 cạnh
bằng nhau
Tứ giác
H.Thang

cụ thể tứ giác BICD.
cách 2
- So sánh và nhận xét về BC và DI để
nhận dạng tứ giác BICD.
d) Ta có EF = AB =
2
1
AD

·
0
90EAD =
( tính chất đường trung tuyến ứng với một cạnhbằng nửa cạnh đó)
Bài tập 2:Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của
AB, CD . Gọi O là trung điểm của EF . Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt
AD và BC theo thứ tự tại M và N.
a) Tứ giác EMFN là hình gì ? Chứng minh ?
b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình thoi?
c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông?

Hướng dẫn:
a) Cách 1:
có OE = OF (gt)
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
19
A
B
C
D
I

hbh MENF là hình thoi
⇔
ME = NE
⇔
AC = BD

⇔
ABCD là hình thang cân.
c) MENF là hình vuông khi nó là hình thoi có một góc vuông
⇔
……….
Một số bài tập khác:
Bài tập 3 : Cho tam giác ABCD. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CA. gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao?
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật?
c) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Bài tập 4:Cho hình vẽ: Biết AB = AC
a) Nhận dạng tứ giác ADEF.
b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADEF là hình vuông?

• Như vậy bài tập nhận dạng tứ giác rất phong phú và đa dạng nó có mối
liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì nhận dạng được tứ giác này lại là cơ sở để nhận dạng
những tứ giác khác tiếp theo, nếu như HS nắm vững cách nhận dạng và tính chất
của tứ giác này thì các em sẽ nhận dạng và chứng minh được ở các tứ giác khác dễ
dàng thuận lợi hơn. Ngoài ra còn rèn cho các em tư duy logic hình học, tạo tiền đề
cho việc học tập môn hình học ở các chương trình học lớp trên giúp các em thấy
tự tin thoải mái hơn trong học tập.
• Một số lưu ý cho HS trong quá trình nhận dạng tứ giác:
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh

phải tìm hiểu thêm trên tài liệu nên sẽ không mất tiền để mua thêm tài liệu hoặc không
phải tìm kiếm thầy cô học thêm tránh được hiện tượng học thêm tràn lan, nâng cao kỹ
năng vẽ hình và quan sát nhận dạng trên hình vẽ . Giúp các em thấy rằng người học sinh
muốn học giỏi môn toán trước hết phải học giỏi hình học đã . Đồng thời rèn cho các em
tính độc lập chủ động trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng học tâp của bộ môn
toán đối với học sinh đại trà. Cụ thể kết quả kiểm tra về nhận dạng tứ giác đối với học
sinh các lớp: 8A ; 8C (năm học 2010-2011) và các lớp 8A; 8D (năm học 2011-2012) so
với kết quả của hai lớp 8A và 8E năm học 2009-2010 như sau:
Năm học 2009-2010
Thời gian khảo
sát
Tổng số HS
khảo sát
Số điểm
khá giỏi
Điểm trung bình
trở lên
Học kì I năm

Tổng số Tỉ lệ % Tổng số Tỉ lệ %
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
21
80
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
18 22,5 45 56,2

Năm học 2010-2011
Thời gian khảo
sát
Tổng số HS

a, Hiệu quả về mặt giáo dục:
Qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào dạy học đã giúp cho học sinh
thích thú với việc học môn hình học, tạo cho các em niềm hăng say học tập tự mình tìm
tòi, khám phá và tiếp thu kiến thức, vận dụng kiến thức hình học vào các bộ môn khoa
học khác nhằm tạo điều kiện giáo dục một cách toàn diện giúp nâng cao chất lượng và
hiệu quả giáo dục.
b) Hiệu quả về mặt thực tế đời sống:
Môn hình học có mối quan hệ chặt chẽ với đời sống xã hội, điều này đã được chứng
minh trên thực tế có nhiều định lý, tính chất được suy ra từ đời sống của con người rồi nó
lại ảnh hưởng tới tư duy, nhận thức của con người chẳng hạn: các tứ giác hình học khi áp
dụng vào đời sống nó lại là các hoạ tiết hoa văn trang trí, là sản phẩm mĩ thuật, hoặc các
sản phẩm công nghệ… Vì vậy khi học sinh nhận dạng tứ giác thành thạo sẽ giúp các em
có nhiều vận dụng trong thực tế đời sống xã hội và sản xuất.
V. ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ.
- Đối với Phòng GD và ĐT :Khi chấm sáng kiến kinh nghiệm cần chỉ rõ mặt, mạnh
mặt còn hạn chế để giáo viên rút kinh nghiệm.
Nên nhân rộng các sáng kiến kinh nghiệm điển hình về các trường để giáo viên áp dụng
và phát huy hiệu quả của các sáng kiến kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình.
- Đối với giáo viên: Từ kết quả của việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên tôi
thấy: đây là một trong những hình thức tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cũng như tạo
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
22
81
84
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
cơ hội học đông nghiệp rất có giá trị.Vì vậy trong quá trình giảng dạy của mình mỗi giáo
viên cần tích cực thực hiện các chuyên đề, các sáng kiến kinh nghiệm để nâng cao kiến
thức, trình độ chuyên môn và hiệu quả giảng dạy.
Trên đây là một số nghiên cứu mà tôi đã áp dụng trong học kì I năm học 2011-2012
và cùng có những thành công đáng kể. Tuy nhiên cũng còn có nhiều sai sót rất mong

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
GV: Nguyễn Thị Hồng Nhung Trường THCS Xuân Ninh
24
CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
( Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
(Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng nhận dạng tứ giác.
CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Chuẩn kiến thức kỹ năng (Bộ GD và ĐT).
2. SGK, SBT Toán 8 hiện hành.
3. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 - TậpI (Nhà xuất bản GD-Tôn Thân, Vũ
Hữu Bình).
4. Ôn kiến thức luyện kĩ năng – Toán 8 ( Nhà xuất bản GD- Tôn Thân, Vũ Hữu Bình,
Bùi văn Tuyên…).