Phòng giáo dục - đào tạo huyện quỳnh phụ
Trờng thcs quỳnh hội
************************đề tài
hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ
khi giải một số bài toán hình học 7

H v tờn: Trn Th Thy
Ngy sinh: 20/10/1978
Trỡnh o to: i hc
Thỏng nm vo ngnh: 03/ 2000
Tháng 4 năm 2014.
A. phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tợng nhng mô
hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải
bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải
các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện
kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện nhân cách.
Nói đến toán học, ngời ta không thể không nhắc tới bộ môn hình học. Hình học
không chỉ là nền móng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên mà hình học còn là
một công cụ rèn trí thông minh, sáng tạo thúc đẩy t duy của học sinh. Có lẽ cũng chính
vì thế mà hình học là một phần không thể thiếu trong hành trang toán học của các em
học sinh.
Phát triển năng lực trí tuệ theo từng mức độ cho học sinh ngay từ các lớp dới là
trách nhiệm của nhà trờng, là đòi hỏi của xã hội, là nỗi mong mỏi của các bậc phụ
huynh và cũng là ớc muốn chính đáng của bản thân các em học sinh. Trong các môn

- Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng hơn trớc
- Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc biệt nào đó.
Trong thực tế, việc kẻ thêm đờng phụ là một việc làm thực sự khó. Việc kẻ thêm
đờng phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng hình vì nếu không bài toán càng trở nên phức
tạp, không tìm ra hớng giải. Chính vì vậy, khi đứng trớc một bài toán, các em cần chú ý
các điểm sau:
- Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đờng phụ.
- Khi vẽ không đợc tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc các phép dựng hình
cơ bản.
Các ví dụ cụ thể:
1. Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A,

B= 60
0
. Chứng minh rằng AB =
2
1
BC.
*Hớng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AB, sau đó chứng minh 2AB = BC. Với hớng suy
nghĩ này hình thành cách vẽ sau:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là
trung điểm của BD

AB =
2
1
BD
- Xét




BDC là tam giác đều

BD = BC, mà AB =
2
1
BD . Suy ra: AB =
2
1
BC
*Hớng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng
BC
2
1
, sau đó chứng minh
BC
2
1
= AB . Với hớng
suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:
- Trên tia BC lấy D sao cho BD = AB.
-

ABD có AB = BD



ABD cân tại B, mà


BAD +

DAC = 90
0
,
mà

BAD = 60
0
(

ABD đều)



DAC = 30
0
-

ADC có

DAC =

C (=30
0
)


ADC cân tại D


DMC (đối đỉnh)
AM = MD (cách dựng)


ABM =

DCM (cgc)


ABM =

MCD

AB // DC, mà AB

AC (

ABC vuông tại A)

DC

AC.

ABC và

DCA có:
AB = DC (

ABM =



trung trực của BC

MB = MA


AMB cân tại M


B =

BAM
Lại có

B <

BAC



BAM <

BAC

AM nằm giữa AB và AC



BAM +


Chứng minh rằng DE =
2
1
BC.
*Hớng giải:
Trên tia DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm
của DF.
Do

ADE và

CFE có:
AE = EC;

AED =

CEF; DE = EF


ADE =

CFE (c.g.c)


DAE =

ECF

AB //CF


* Hớng giải :
- Hớng thứ nhất : Ta dựng đoạn thẳng bằng 2CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng
CD. Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ.
Cách 1
Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = MC

CM =
2
1
NC (1)
Xét BMN và AMC có
MB = MA (M là trung điểm AB )


BMN =

AMC (hai góc đối đỉnh )
MN = MC (cách dựng)
Vậy BMN = AMC (c .g.c)


BN = AC
Lạicó

BNM=

MCA (BMN = AMC)


BN // AC


DBC ; BC là cạnh chung


NBC = DBC (c.g.c)

NC =DC (2)
Từ (1) và (2)

MC =
2
1
DC
Cách 2
Sử dụng kết quả bài toán trong ví dụ 3, ta sẽ có một số cách vẽ đờng phụ nh sau:
Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB
= CN
Ta có :

DBC +

CBA = 180
0
(2 góc kề bù)


ACN +

ACB = 180
0

Từ (1) và (2)

CM =
2
1
DC
- Hớng thứ hai: Dựng đoạn thẳng khác bằng
2
1
CD rồi chứng minh cho đoạn thẳng đó
bằng CM. Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ nh sau
Cách 3:
Gọi N là trung điểm của AC


NA = NC =
2
1
AC.
Mà AM =
2
1
AB (vì M là trung điểm của AB);
AB = AC (gt)


NA = AM
Xét ABN và ACM có:
NA = AM (cmt);




DBN =

MAC (cặp góc đồng vị do BN//AC)
Lại có : MA =
2
1
AB ; AB = AC(gt)

MA =
2
1
AC


BN = MA (cùng bằng
2
1
AC)
Xét AMC và BND có
MA = NB (cmt)


MAC =

DBN
AC = BD (cùng bằng AB)



A
2
(gt)
AD là cạnh chung



ADC =

ADE(c.g.c)

ED = DC(1) và

D
1
=

D
2
(2)
- Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE

E nằm giữa A và B
- Ta có

BED là góc ngoài của tam giác AED



BED >

B

BD > DE (quan hệ góc và cạnh đối diện) (5)
Từ (1) và (5)

BD > DC(đpcm)
Cách 2:
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE
Xét

ADB và

ADE có: AB = AE(cách vẽ)


BAD =

EAD(gt)
AD là cạnh chung




ADB =

ADE (c - g - c)


BD = DF (6) và



DF > DC (quan
hệ góc cạnh đối diện) (9)
Từ (6) và (9)

BD > DC(đpcm)
Bài tập tự giải
Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi D, M lần lợt là trung điểm của các cạnh
BC và BD. Chứng minh rằng AC = 2AM
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A,

A= 120
0
. Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với
AB, cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD = 2.DC
Bài 3: Cho tam giác ABC, I là giao điểm các đờng phân giác của góc B và góc C. M là
trung điểm của BC. Biết

BIM= 90
0
; BI = 2.IM.
a) Tính số đo

BAC
b) Vẽ IH vuông góc với AC, H thuộc AC. Chứng minh rằng BA = 3.IH
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho

ADB >

ADC. Chứng minh rằng DC > DB.

Do ND//BC nên

AND =

ABC;


ADN =

C (đồng vị)
Mà

ABC =

ACB = 40
0
(gt)



AND =

ADN



AND cân tại A

AN = AD
Mà AB = AC (gt)

BND cân tại N

BN = ND(2)
- Do BD = BI nên

BDI cân tại B



BDI = (180
0
- 20
0
) : 2 = 80
0
.



IDC = 180
0
(

ADN

NDB -

BDI) = 40
0
Từ (1) và (2)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng AM <
AB + AC
2
* Hớng giải: Ta có AM <
AB + AC
2


2AM < AB + AC
Để chứng minh 2AM < AB + AC ta tìm cách tạo ra một tam giác có ba cạnh
bằng 2AM, AB, AC.
Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo cách sau: Trên tia AM lấy điểm
D sao cho AM = MD. Tam giác ADC là tam giác cần dựng.
Giải
- Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD
- Xét

AMB và

DMC có :
AM = MD(cách vẽ)


AMB =

CMD(đối đỉnh)
BM = MC(gt)




hình sau:
Giải:
- Trên tia DC lấy điểm E sao cho DB = DE(1)
- Ta có

B>

C

AC > AB

DC > BD

E nằm giữa D và E


ABD và

AED có
BD = DC;


ADB =

ADE = 90
0
(gt)
AD chung



EAC (tc gócngoài)


ACB +

EAC = 2.

ACB


EAC =

ACE


AEC cân tại E

AE = EC(2)
Từ bài toán trên ta có bài toán t ơng tự sau: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và

ABC = 2.

ACB. Kẻ AD

BC (D

BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho
BN = BD. Đờng thẳng ND cắt AC tại M. Chứng minh rằng:
a)



ADM (cùng phụ với 2 góc
bằng nhau)


AMD cân tại M

AM = MD
Suy ra M là trung điểm AC
c) Lấy E sao cho DE = BD
Do BD = BN

BN = DE.
Chứng minh tơng tự nh trên ta có EC= AB
Do đó AB + BN = EC + DE hay AN = CD
Từ kết quả của câu b) ta có thể chứng minh câu c) theo hớng khác, đó là tạo ra đoạn
thẳng bằng DC và ta chứng minh đoạn thẳng đó bằng AN
Trên tia đối của tia MD lấy P sao cho MP =
MD

AMP =

CMD (c.g.c)

AP = DC(1)
Ta có

P =

MDC (

2
+ AC
2
*Hớng giải: Để chứng minh AD
2
= AB
2
+ AC
2
ta sẽ tạo ra một tam giác vuông chứa
một trong các cạnh AB, AC làm cạnh(ví dụ AC) sau đó chứng minh 2 cạnh còn lại
bằng AB và AD.
- Vì góc BAC = 30
0
, nên ta sẽ vẽ góc 60
0
kề với góc BAC và xác định một cạnh bằng
AB, do đó hình thành cách vẽ hình sau:
Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ
tam giác đều ABE.

EBC =

EBA +

ABC = 60
0
+

ABC


EBC =

ABD

EC = AD
Có

EAC =

EAB +

BAC = 60
0
+ 30
0
= 90
0


EAC vuông tại A

EC
2
= AE
2
+ AC
2
Mà EC = AD(



; A

; B

. Tính tổng MA

+ MB

+ MC

?
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB > AC. Lấy điểm M trên phân giác AD. Chứng minh
rằng AB AC > MB MC.
C. Kết quả sau khi thực hiện
Qua việc đa ra Loại toán so sánh đoạn thẳng và cách vẽ đờng phụ tơng ứng
thờng gặp trong hình học 7, tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
- Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phơng pháp giải, tạo điều kiện cho học
sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hớng cho học sinh cách vẽ đờng phụ khi gặp các
bài toán tơng tự. Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có đợc cách vẽ đờng phụ với các bài
toán khó hơn nữa. Giúp cho học sinh rèn đợc những phẩm chất của trí tuệ nh : Độc lập,
sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong t duy, làm tiền đề cho sự phát triển t duy
của học sinh học tập môn Toán, tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho bản thân ph-
ơng pháp làm Toán, phơng pháp học tập một cách có hiệu quả.
- Nêu ra đợc giải pháp vẽ đờng phụ để giải loại toán giúp cho học sinh chống đợc
t tởng ngại khó, "sợ" giải một bài toán khó, tạo điều kiện cho học sinh hứng thú học tập,
hăng say nghiên cứu tìm tòi cái mới, cái khó trong quá trình học tập.
- Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phơng pháp giảng dạy (đổi mới cách dạy của
giáo viên và cách học của học sinh) nhằm nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng
phát huy tích cực của học sinh "lấy học sinh làm trung tâm".