CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 1

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC
52 DẠNG
THƯỜNG GẶP
LIÊN QUAN KSHS

 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số bậc 3:


=



+



+

+

.

c
–

THPT Chu Văn An

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 2

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN
Trong các bài toán khảo sát hàm số
( Dành cho học sinh)
Lời mở đầu: các em thân mến. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất “đa dạng” rất “phong
phú” rất rất (

he he ) Nhưng ở một mức độ khó nhất định bao gồm một số dạng được “ tạm”
chia ra như sau:
Các em hãy lưu ý rằng: Đây không phải là tất cả các dạng toán mà chỉ là các dạng toán thông dụng
xuất hiện thường xuyên trong các kỳ kiểm tra, thi HK, thi TNPT & thi ĐH-CĐ

Các dạng đặc trưng riêng cho từng loại hàm số

 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC 3:

=

(

)
=

2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0
Hàm số đồng biến trên 
ℝ

⇔



>
0
Δ
≤
0Phương pháp:

Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham
số m): Hàm số trở thành
y = Cx + D ( C < 0) (thỏa đề)
 Trường hợp A  0:
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax

≤

(

)
,
∀

∈


(
ℎ



≥

(

)
,
∀

∈

) 


(

)
,
∀

∈
 
max ( ) ( min ( ) )
x K x K
m g x hay m g x
 
 

Dạng 5: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Đ
ị
nh m đ
ể

hàm s
ố

có c
ự
c tr



Trư
ờ
ng h
ợ
p A


0:

Phương pháp:
Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m):
Nếu hàm số trở thành
y = Bx
2
+ Cx + D (B0) (không thỏa đề - vì hàm
số bậc 2 luôn chỉ có 1 cực trị)
Nếu hàm số trở thành
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 3

Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)

Định m để hàm số không có cực đại và cực tiểu?
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu  pt (1) có 2 ng
phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy
⇔

≠0
Δ> 0

Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số
nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị

không
thể vừa có cực đại vừa có cực tiểu
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Hàm số không có cực đại và cực tiểu  pt (1) vô

2
và
x
1
< 0 < x
2
 a.c < 0
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
và
x
1
< x
0
< x
2


(


và x
2
và
x
1
< x
2
< 0
⇔

≠0
Δ> 0

<
0

>
0Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1

+ bx + c y’ = 0


ax
2

+ bx + c = 0 (1)

Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c y’ = 0


ax
2

+ bx + c = 0 (1)

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 4


)
= ax

+ bx + c)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
và
 < x
1
< x
2

⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
≠0
Δ> 0

2
−> 0

(

)
>

0
không
(nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài)
Dùng dấu hiệu 2:
 Tính y’’
 Thay giá trị m vừa tìm được và x = x
0
vào y’’ ta
được y’’(x
0
)
(Nếu y’’(x
0
) < 0 thì giá trị m thỏa đề bài) Phương pháp:

 Tìm TXĐ
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
 y’(x
0
) = 0 
giá trị của tham số m.
Thử lại: ( có 2 cách )
Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu

( )(ax ) 0
x x bx c
    0
2
0
ax 0 (1)
x x
bx c
 



  


(C) (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
 pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác x
0
.

2
0 0
0
0
ax 0
a
bx c


= 

−


⇒2

= 

+ 

(1)
Mặt khác: 

+ 

+ 

= −


(2)
Từ (1) và (2)  x
2
= thay vào (*) tìm được tham
số m
 thay tham số m giải phương trình nếu tìm được 3
nghiệm lập thành 1 CSC thì giá trị m thỏa đề bài.
( Have fun

=



+



+


(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C )
Dạng 19: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có 3 cực trị.
Dạng 20: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có 1 cực trị.
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B

y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B
x
A




 


 Hàm số có 1 cực trị 
0
2
B
A
 ( gi
ả
i tìm m và k
ế

 


 Hàm số có cực đại và không có cực tiểu

0
0
0
0
2
A
A
B
B
A






 

 




( giải tìm m và kết luận)
Phương pháp:

A
B
B
A






 

 




( giải tìm m và kết luận)

Dạng 23*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo
thành tam giác vuông cân

Dạng 24*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo
thành tam giác đ
ề
u

Phương pháp:

M(x
M
;y
M
), N(0;C) và P(x
P
;y
P
)
 MNP vuông cân (tại N) 
. 0
NM NP

 

 tìm được tham số m
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)


0
60
MNP 


1
os
2
c MNP

. 1
2
.
NM NP
NM NP

 
 
 tìm được tham số m
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 6

Cách khác:

MNP đều

+

+ =  (1)
 đặt t = x
2
( t  0), pt trở thành:
At
2
+ Bt + C = 0 (2)
 YCBT  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

0
0
0
0
A
S
P



 








 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
0 < t
1
< t
2
và t
2
= 9t
1

 Sử dụng:
t
2
= 9t
1
và Viet: t
1
+ t
2
= -B/A, t
1
t
2
= C/A
(ta suy ra giá trị tham số m)
 Thử lại: thay vào (1) để giải tìm x (nếu có 4
nghiệm phân biệt tạo thành 1 CSC thì giá trị m vừa
tìm thỏa đề.

Dạng 28: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
thuộc tập xác định?
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 Tìm
2
'
( )
AD BC
y
Cx D




 Hàm số đồng biến trên từng khoảng thuộc tập xác
định  y’ > 0  AD – BC > 0
( gi
ả
i tìm m và k
ế
t lu
ậ
n)

Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 Tìm

 , x
3,4

=
2
t
 đối xứng từng cặp qua gốc tọa độ O
MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ
cần vuông tại N thì MNP là tam giác vuông
cân  thỏa đề bài (ten ten ten tèn )
MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ
cần góc N bằng 60
0
hoặc cạnh bên NM (hay
NP) bằng cạnh đáy MP là MNP là  đều
Lưu ý:nghiệm của (1) x = , (2) t =
















, có đồ thị (C).
Tìm trên (C) các
điểm có tọa độ nguyên?
Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D



(≠−


)  Thu gọn được 1 pt: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác


=–



x nguyên  y nguyên  điểm có tọa độ nguyên

Kết luận:
Dạng 31: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt
(d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d)
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của
đồ thị (C)?

Dạng 32: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt
(d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d)
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 1 nhánh của
đồ thị (C)?

Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D




(≠−


)


(



+ 

+ 
)
< 0
(Giải tìm m – have fun

)

Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D




(≠−


)
 Thu gọn được 1 pt: ax

∆> 0
.
(


)
> 0
với g(x) = ax
2
+ bx + c

⟺

≠0
∆
>
0

.
(




+



+


)(x – x
0
) (1)
 Ta có: x
0
= ; y
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT
Phương pháp:
 PTTT có dạng: y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
) (1)
 Ta có: x
0
=  y
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu g
ọ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 8

 Ta có: y
0
= thay vào (*)  x
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

 Tìm y’ = f’(x)
 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm
được x = x
0
.)  y = y
0
.
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT.
Dạng 37: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuy
ế
n song song v
ớ
i đư
ờ
ng th
ẳ

Phương pháp:
Do tt song song với (d): y = ax + b
 hệ số góc của tiếp tuyến k = −


.
 PTTT có dạng: y – y
0
= k(x – x
0
) (1)
 Tìm y’ = f’(x)
 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm
được x = x
0
.)  y = y
0
.

Thay vào (1) và thu g
ọ
n ta đư
ợ
c PTTT.

Dạng 39: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(x
A
;y


(1)


(

)
=  (2)

 giải hệ pt này bằng cách thay (2) vào (1)
Tìm được x =  k = (có thể có nhiều x, nhiều k)
Thay k vào (*) đ
ể

k
ế
t lu
ậ
n

Phương pháp:
 tìm f’(x) , f’’(x), thay vào pt (*)
giải tìm x = x
0
 y = y
0
và f’(x
0
) =
 Thay x

ngang
 Lập bảng biện luận ( gồm 3 cột)
Chú ý: dùng các giá trị y
CĐ
và y
CT
để biện luận

Phương pháp:
 Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng:
g(x,m) = 0 (*)
 f(x) = h(m) (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C)

 Đặt y = f(x) có đồ thị là (C)
Đặt y = h(m) có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm
ngang
 Lập bảng biện luận ( gồm 4 cột)
Chú ý: biện luận theo cột h(m) trước. xong rồi từ


CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 9  BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT & GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 43: Cho hàm số bậc nhất: y = f(x) = ax + b.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b].

Dạng 44: Cho hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b].
Phương pháp:
(So sánh f(a) và f(b) để chọn Max, Min)
 Nếu a > 0  hàm số luôn tăng trên ℝ  hàm số
tăng trên [a;b] 
[ ; ] [ ; ]
ax ( ), ( )
x a b x a b
M y f b Miny f a
 

∈
[

;

]
⟺

≤
(

)

≤

(

)Phương pháp:
(So sánh f(a), f(b)và

(
−


)
để chọn Max, Min)
 Nếu


 
 

Chú ý: x = -b/2a là hoành độ đỉnh của parabol.
Dạng 45: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN –
GTNN của hàm số trên [a;b].
(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)

Dạng 46: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN – GTNN
của hàm số trên (a;b).
(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)
Phương pháp:
 Xét hàm số trên [a;b]
 Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm x
1
, x
2

thuộc [a;b]
(các nghiệm không thuộc [a;b] bị loại )
 Tính các giá trị f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
) , và so
sánh và kết luận
- GTLN của hàm số là: M = tại x =
(
[ ; ]

tại x = )
- GTNN của hàm số là: m = tại x =
(
( ; )x a b
Miny


tại x = )  BÀI TOÁN: CHỨNG MINH SỰ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ ( TRỤC ĐX – TÂM ĐX)

Dạng 47: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua trục tung Oy
Dạng 48: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua đường thẳng x = a
(song song trục tung)

Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số chẵn)
 Tìm TXĐ D
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

x

D

-x

ủ
a hàm s
ố

Trường hợp này GTLN, GTNN của hàm số có
th
ể

không t
ồ
n t
ạ
i

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.

Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn)
 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

X

D

-X


 Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo
vec tơ : (*)
 Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành
Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ)
 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

X

D

-X

D)
 Tính g(-X) = = - g(X)
 Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua
đường thẳng điểm I(a;b).

 BÀI TOÁN: VỀ ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ - ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA 1 HỌ ĐƯỜNG (Cm)

Dạng 51: Cho hàm số y = f(x,m) (*) có đồ thị (Cm).
Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị (Cm)
đi qua M
0
(x
0
;y
0
).

các dạng phương trình sau:

 Cho tất cả các hệ số a,b,c bằng không ta được 1
hệ phương trình theo x
0
; y
0
.
 Giải tìm x
0
, y
0
và kết luận theo từng cặp (x
0
;y
0
)
x

y

O