Chuyên đề Toán học

Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Bài 1: Cho hàm số: y =
2x
m4mx)1m(2x
22
+
++++
(1), m là tham số.
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = –1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một
tam giác vuông tại O.
Bài 2: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
–9x
2
+12x –4
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2
3
x
– 9x
2
+12
x
= m.
Bài 3: Cho hàm số: y = –x
3
+ 3mx
2

2
1
−
.
Bài 6: Cho hàm số: y =
1x
x
2
−
(C). Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp
tuyến lập với nhau một góc 45°.
Bài 7: Cho hàm số: y =
1x
1xx
2
−
−−
. Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng y =
x
2
1
cắt đồ thị hàm số đã
cho tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 8: Cho hàm số: y =
3
x
3
1
–x +
3

2
+ m (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.
Bài 12: Cho hàm số: y = x
3
– 3x (1)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy
xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ
thị tại B và tại C vuông góc với nhau.
Bài 13: Cho hàm số: y = x
3
–3(a–1)x
2
+ 3a(a–2)x +1, (a là tham số)
Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1 ≤
x
≤ 2
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x
2
–3x +
x
m
+ 3 có ba điểm cực trị. Khi đó chứng minh
rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1)
2
.
Bài 15: Cho hàm số: y =
1x
2x2x

3. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách
giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
Bài 18: Cho hàm số: y =
1x
1mxx
2
−
−+
. Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ
tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18.
Bài 19: Cho hàm số: y =
2mx
x)m6(x2
2
+
−+
1. Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C)
2. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích
không đổi.
Bài 20: Cho hàm số: y =
1x
x
2
−
(C) và đường thẳng (d): y = ax + b.
Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M. A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C)
Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
Bài 21: Cho hàm số: y =
1x
2x

2
+−
(C)
Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
Bài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y =
1x
mmxx
2
+
++
và tính khoảng cách giữa hai cực trị.
Bài 26: Cho y = 2x
3
– 3x
2
(C)
1. Từ (C) vẽ: y = 2x
3
– 3x
2

2. Tìm GTLN, GTNN của: y = 2sinx
3
– 3sin
2
x
3. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Bài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + my – 2)

y
x1
x
−
+
−
Bài 32: Cho 3 ≤ x ≤ 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y =
x91x −+−
Bài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình


Dạng 1: Phương trình chứa dấu căn:
1. x
2
+ 3x + 1 = (x+3)
1x
2
+

2. x +
2
x4 −
= 2 + 3x
2
x4 −
3.
)x4)(1x(x41x −++−++
= 5

(2x
2
– 4x +1)
9.
29x12x925x12x42x2x
222
++=++++−
10.
2x −
–
2x +
= 2
4x
2
−
– 2x + 2
Dạng 2: Phương trình lượng giác:
11. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
12. sin2x + 2tgx = 3
13. 3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx
14. sin3x = cosx.cos2x.(tg
2
x + tg2x)
15. cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +

10
3
−
π
=
2
1
sin
(
)
2
x3
10
+
π
19. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
20. 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
21. tg
2
x.cotg
2
x.cotg3x = tg
2
x – cotg

4
x2
π
+
+ cos
(
)
4
x2
π
−
+ 4sinx = 2 +
2
(1–sinx)
27. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
28. 3cotg
2
x + 2
2
sin
2
x = (2 + 3
2
)cosx
29. 2cos2x + sin
2
x.cosx + cos
2
x.sinx = 2(sinx + cosx)
30. sin2x + cos2x + tgx = 2

3x – 3cos
2
2x = 0
38. cos3x +
x3cos2
2
−
= 2(1 + sin
2
2x)
39. 1+ cos
4
x – sin
4
x = 2cos2x với
x3x
2
−
< 2
40.
2
xcosxsin
x2sin1x2cos
33
+
=++
Dạng 3: Phương trình logarit:
41. log
2
x + 2log

2
+ 23x +21) = 4
45. log
2
(
x
4
+4) = x –
)32(log
1x
2
1
−
+
46. log
2
(3x–1) +
2log
1
3x+
= 2 + log
2
(x+1)
47. log
x
[log
3
(
x
9

= x
2
+ 3x + 2
51. ln(2x–3) + ln(4–x
2
) = ln(2x–3) + ln(4–x
2
)
52. log
27
(x
2
– 5x + 6)
3
=
( )
2
1x
log
2
1
3
−
+ log
9
(x–3)
2

53.
xx

1xx
93.61
+
+−
= 0
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất
phương trình theo tham số:
57. x
2
– (1+m)
x
– m – 1 = 0
58. (x+1)
2
– m
2x +
= 0
59. 2m(cosx + sinx) = 2m
2
+ cosx – sinx +
2
3
60. log
2
1
(x
2
+ ax +1) < 1
61. log
a

+ 2mx + m
Dạng 5: Hệ phương trình:
64.



=++
=++
6yx4x
9)yx2)(2x(x
2
65.



=−−
=−
06xcosysin5
0ycos7xsin

Created by kienyk - 3 -
66.



+=+
=+
4499
55
yxyx

−
06)yx(8
13).yx(
yx4
xy4
4
4
70.



=−
=−
19yx
2y)yx(
33
2
71.



−=+
=+
22
333
x6xyy
x19yx1
Dạng 6: Bất phương trình:
72.
4x

−−
> 10x + 15
78.
3x −
+
4x −
>
4x2 +
+
3x3 −
Dạng 7: Tìm các giá trị của tham số để (hệ) phương
trình, bất phương trình:
79.





−
≤++
≥−+
1m
m
yxy2x2
3yxy2x5
22
22
có nghiệm
80.



=++
=+−
24bx
55
aby)1a(e
1yx)1a(
có nghiệm đúng với mọi
giá trị của tham số b
84.





−++=++
=++
a35xx5y
ay3x
22
2
có đúng 1 nghiệm
85.



+=+
=−+−−+
1xyyx
1)1yx(k1yx

90.
)3x(logm3xlogxlog
2
4
2
2
1
2
2
−=−+
có nghiệm
thuộc khoảng [32 ; +∞)
91.



=−
=−++
ayx
1)yx(log)yx(log
22
a2
(a≠1) có nghiệm duy
nhất và giải phương trình khi đó
92.



=−+−
>−−+

c
c
b
b
a
3
3
3
3
3
3
++≥++
2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì






++≥++
cbacba
3
c
3
b
3
a
3
3
1

≤ ab
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
(a + b + c)
(
)
c
1
b
1
a
1
++
≥ 9
8. Cho



>>
>
0yx
0b,a
Chứng minh rằng:
[ ] [ ]
xxyy
baln
x
1
baln
y
1

11. Cho 3 số dương a, b, c và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
33
ba
c
ac
b
cb
a
222222
≥
+
+
+
+
+
12. Cho x, y
( )
4
;
4
ππ
−∈
. Chứng minh rằng:

4
b
3
4
≤≤−
;
3
4
c
3
4
≤≤−
15. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
222232323
z
1
y
1
x
1
xz
z2
zy
y2
yx
x2
++≤
++
+
+

m
Bsin
m
Asin
cba
=++
21. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn:
cos
2
A
cos
2
B
cos
2
C
– sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
=
2
1
22. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi
sin

2
C
=
CsinBsinAsin
CcosBcosAcos3
++
+++
25. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
(
)
c
1
b
1
a
1
2
cp
1
bp
1
ap
1
++≥
−
+
−
+
−
26. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgA + btgB = (a + b)tg

−
 Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác:
sinA + sinB +sinC = 4cos
2
A
cos
2
B
cos
2
C
cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC
sinA + sinB + sinC ≤
2
33
cosA + cosB + cosC ≤
2
3
cosA.cosB.cosC ≤
8
1

)1x3x)(1x5x(
1x
22
2
dx
)
3
x(tg
∫
π
+
cotg(x +
6
π
)dx
∫
+ xsin1
gxcot
9
dx
∫
xcos
4
dx
∫
+ x2sin1
xdxsin
∫
∫
π

2
4
4
6
xsin
xcos
dx
∫
π
+
2
0
20082008
2008
xsinxcos
xcos
dx
∫
10
1
2
xlgx
dx
∫
+
+−
+
2
51
1

dx
∫
π
π
−
3
3
2
xcos
xsinx
dx
∫
π
+
6
0
2
xcos3xsin
xdxsin
∫
−
++
1
1
2x
)1x)(1e(
dx
∫
π
π

π
+
4
0
2
)xcos2x(sin
dx
∫
π
−
20
0
x2cos1
dx
∫
π
+
2
0
3
xcos1
xsin4
dx
∫
π
+
+
+
2
0

3
2
9x
dx