Trường em

1

TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015







NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC:
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC

Bài 1 Giải hệ phương trình:
2
3
12 (12 ) 12 (1)
8 1 2 2 (2)
x y y x
x x y



2 3 2 3
y
x


≤ ≤




− ≤ ≤




Cách 1:
Đặt
2
12 , 0 12
y a y a
a
− ≥ ⇒ = −
=

PT (1)
2 2
(12 )(12 ) 12
xa a x
⇔ + − − =




≤




− + =




⇔
2
12
( ) 0
xa
x a


≤




− =





− − + + =
− + + −

⇔
3
1 2
12 0(voâ nghieäm)
12 3 1 2
y
y
y y

=



− + + =

− + + −



Vậy
3
3
x
y


=

y
−
⇔ =
−

2
(12 )(12 )
x y y x
⇔ = − −
(3)
Khi đó (1) tương đương với (3)
(3)
2 2 2 2 2
0 0 0
144 12 12 12 144 12 12 (4)
x x x
x y x y x y y x y x
  
  
≥ ≥ ≥
  
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
= − − + = − = −
  
  
  


2
2
2
9
3 3 1 2. 0
1 10
x
x x x
x
−
⇔ − + + + =
+ −

( )
2
2
2( 3)
3 3 1 0
1 10
x
x x x
x
 
+
 
⇔ − + + + =
 
 
+ −
 

3
x
y


=



=

Cách 3:
Đặt
(
)
(
)
 
2
; 12 ; 12 ;
a x x b y y
= − = −
 
12
a b= =
(1)
   

x x
x x x
x
− +
⇔ − + + =
− +3
x y
⇔ = =

(
)
(
)
(
)
2 2
3 1 10 1 2 3 0
x x x x
+ + − + − + =

Trường em

3

Đặt
(
)


− + + = − − − −




(ĐH khối B – 2014)
Giải
Điều kiện:
0
2
4 5 3
y
x y
x y


≥



≥



− ≥





thay xuống (2) ta có 9 3 2 2 4 8 3( )
x x x x TM
− = − − − ⇔ =

TH2 :
1
x y
= +
thay xuống (2) ta có

2
2
2
2
2 3 2 2 1 1
2 3 2 1 0
2( 1) ( 1 ) 0
1
( 1) 2 0
1
5 1 5 1
( )
2 2
y y y y
y y y
y y y y
y y

2 2
2 2
( 2 2) ( 6)
( 1)( 2 7) ( 1)( 1)
y x x x y
y x x x y


+ + = +




− + + = + +




Giải
ĐK:
,
x y R
∈

Đặt
1
a x
b y



4

( )( 2 7) 0
2 7 0
a b
a b a b ab
a b ab

=

− + − + = ⇔

+ − + =



 Trường hợp 1:
a b
=
thay vào phương trình (*) ta có:
2 2 2
2
( 1)( 6) ( 1) 5 6 0
3
a
a a a a a a
a

=


 
 
 
− + − =
 
 
 
 
 
   

Vậy ta có hệ phương trình:
2 2
2 7 0
5 5 1
2 2 2
a b ab
a b


+ − + =



   

 
 

 


Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là:
(1;2),(2;3),(1;3),(2;2).Bài 4 Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x x y y


− − + − =




+ − − − + =




Giải
ĐK:
2;2 , 0;4
x y
   
∈ − ∈

 
. Mà phương trình (1) có dạng:
( 2) ( ) 2
f x f y y x
+ = ⇔ = +
thay vào phương trình (2) ta
có:
2 2
4 6 3 4 0
x x x
+ = − ⇔ =
từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
Bài 5 Giải hệ phương trình:
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy


− + =




− + − − = − −




2
3 2 1
( 2 1) 13 8 52 0
3 2 1
2 13 0
3 2 1
1 5
x y
x x y x y
x y
x y
x y
y y


= + +


⇔


− + − − + =





= + +



x y
y
y y
x y
x
y
y
y
y


= + +




⇔ ≤




− + =









Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:
7
3
x
y


=



=


.

Bài 6 Giải hệ phương trình:
2 2
2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y


− + −


+ =

)
2
, ta được:
2
1 0 1 1
x x y
− = ⇔ = ⇒ =

KL: hệ pt có tập nghiệm:
(
)
{
}
1;1
S =
Bài 7 Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
( )
3 3 2 2
2 3
5 8
5
5 1 2
2
x y x y
x y xy
xy

Đặt
, 0; , 0
u x y u v xy v
= + > = >
khi đó
( )
2
3 2 2 3
1 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2
u u u u
u u v uv v u v
v v v v
 
   


  
 

  
⇔ − − − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ =
 

  
 

 
 

   



− + − = ⇔ + = − ⇔ − − − =





 
− + − + − + − +

1 1
5 1 1
3 0 ì 2
5
5 1 2 2 1
x y
VN v x
x x

= ⇒ =


⇔

− − = ≤ ≤

− + − +





  
−
+ +





+ + − = − −







−
 


− −


+ − =







− + − + =

− + − + − + =

 


 
⇔ ⇔
 
 
− − + − =
 
− − + − =





1 1
1 2
y x x
x y
 
 
= + =
 
⇔ ⇔


+ + =




ĐK:
2 2
2 2
3 2 0
4 3 7 0
x xy y
x xy y


− − ≥




+ − ≥




Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình
(
)
1
, ta được:

= −



+ − + − −
 


Với
x y
=
thay vào
(
)
2
, ta được:
2
1 1
1
1 1
x y
x
x y

= ⇒ =

= ⇔

= − ⇒ = −


= − ⇒ =



Trường em

7

KL:
( ) ( )
47 47 47 47
1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6
82 82 82 82
S
 
   
 
 
 
 
 
 
 
= − − − −
 
 
 
 
 
 


Hệ
(
)
2
2
2 2 2
3 3 3
3 3 5 0
x y x xy
x y x y x


+ = −


⇔


+ + − =




Thay
(
)
1
vào
(

KL:
( )
1
0; 0 ; 1;
3
S
 
 
 

 


=

 



  
 
 
 Bài 11 Giải hệ phương trình:
(
)
(
)

0
0
2 0
x y
x y
x y


+ >



− >



− ≥




Hệ
(
)
(
)
2 2
4 4 4 8 5 0
2 2
x xy y x y

− = −



Với
2 1
x y
= +
thay vào
(
)
2
, ta được:
(
)
3 2
3 1 1 1 3 9 6 13 0 0 1
y y y y y y y x
+ + = − ⇒ + + = ⇔ = ⇒ =
thỏa mãn
KL:
(
)
{
}
1;0
S =Bài 12 Giải hệ phương trình:

Ta có
(
)
2
2 6 3
x y
⇔ = −
thay vào
(
)
1
ta được:
(
)
1 5 6 5 5 9 1 3
y y y y x− − = − ⇒ = ⇒ = ±
thỏa
mãn
KL:
(
)
(
)
{
}
3;1 ; 3;1
S = −Bài 13 Giải hệ phương trình:





 



ĐK:
2
1 1
1
1 1 0
x x
y
x y



≤ − ∨ ≥



≥




− + − ≠



− =




+ − =




Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm:
(
)
(
)
{
}
10;2 ; 10;2
S = −Bài 14 Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
20 3 3 0
3 1
y y xy x y
x y y


+ = +



.
Thế
(
)
2
vào
(
)
1
, ta được phương trình thuần nhất bậc 3
KL:
3 1 3 1
; ; ;
2 2 5 5
S
 
   
 
− −
 
 
 
 
 
 
 

y
≥

Ta có PT
( )
( )
2 2
2
3
3
0
1 3 3
6 6 0
y x
y x
y l
x y y x
y xy
x y


≥




≥


 

, ta được:
( )
2 4 3 2
1 1
2 1 3 1 6 11 8 2 0 2 2
2 2 2 2
y x
y y y y y y y y l
y x

= ⇒ =


− = − + − ⇒ − + − + = ⇔ = +



= − ⇒ = −



KL:
(
)
(
)
{
}
1;1 ; 2 2;2 2
S = − −


+ + =




ĐK:
. 0
x y
≠

Ta có PT
( )
( )
(
)
4 2 2 4
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 0
x y
x x y y
x y x y
x y
x y x y
 



)
2
, ta được:
1 1
x y
= ⇒ =

• Với
x y
= −
thay vào
(
)
2
, ta được:
1 1
y x
= − ⇒ =

KL:
(
)
(
)
{
}
1;1 ; 1; 1
S = −



+ − ≥




Ta có PT
(
)
(
)
2 2
1 10 2 19 5 6 41 0
x x y y y
⇔ − + + − + =
.
Tính
(
)
∆
2
' 49 1 0 1
x
y y
= − − ≥ ⇔ =
thay vào
(
)




ĐK:
x y
≥

Ta có PT
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1
1 1 0
0
y x
x y x y x y
x y x y

= −

⇔ − − + + − = ⇔

+ + − =



Trường em

10

+ + − = ⇔ = =

(
)
ì 0
v x y
− ≥
thay vào hệ không thỏa
KL:
(
)
(
)
{
}
1;0 ; 0; 1
S −

Bài 19 Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
2 2 2 2
3 3
2
2 2 2 2 2
3
3
8 3 1 3 1 1

b x b


= −




= − ≥



, ta có:
3 2 2
2
3 2 2
3 2 3 0
3 2 0
a a a b b
a b b
a a a b


+ + − − =


⇒ = +


+ + − =

x
y
y





− =

= ±

 
⇔
 
 
− =
 
= ±
 




KL:
1 1 1 1
;1 ; ; 1 ; ;1 ; ; 1
2 2 2 2
S
 


− + − + − =




+ + = + + −




ĐK:
0
y
≥

Ta có PT
(
)
(
)
(
)
2 4 2 2 2
1 2 3 6 9 12 18 1 0
x y x x y x y y
⇔ − + − + − + =

Với
2







+
− + − + + +
 
1
1
2
x y
⇔ = ⇒ =

KL:
1
1;
2
S
 
 
 

 


=

 


+




− + + =






Trường em

11

ĐK:
0; 0
x y
> >

Ta có PT
(
)
(
)
2
2 2
1 0 2



=


+ =



⇔
 
 
=
 


=




KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm:
3 5 3 5
;
2 2
S
 
 
 
+ − 

y y
y
y
y x x y


−


+ + − + − =

 − −
−


−


− − − + − − =




ĐK:
1; 1
x y
≥ >

Đặt:
1, 0


=

⇔


=



1 0 1
5
1 2
x x
y
y




− = =



⇒ ⇔
 
 
=
− =
 


+ +



−

− =



− − −



ĐK:
1
2 0
3 4 8
y
x y
x y


>



+ ≥


)
2
, ta được:
( )
( )
2 2 2
3 6
1 1 1 1 1 1
1 2 1 0 1
2 2 2
2 1 1 1
a a a a a a a
y y y
 




− = − ⇒ − = − ⇔ − + + = ⇔ = =






− − −
 
6
1
1 2 8



− − − + =


∈


+ − + − =




Giải
Điều kiện:
1.
x
≥

Đặt
1, 0.
t x t
= − ≥
Khi đó
2
1
x t
= +
và hệ trở thành
2 2 2 2

 
− + − = ⇔ ⇔
 
− = − = +
 
 

 Với
,
y t
=
ta có
2
2 2 0 1.
t t
− + = ⇔ =
Suy ra
2, 1.
x y
= =

 Với
3
,
2
y t= +
ta có
2
3 3 3 13
2 2 0 4 6 1 0 .


x x x y y x y
x y x y


+ + + + + + + + =




+ + = − +




Giải
Điều kiện:
2
1 0
x y
+ + ≥

Phương trình (1)
2 2
( 2) ( 2) 3 2 ( ) 3
x x x y y y
⇔ + + + + + = − − + −

Xét hàm số
2

2 2
1 4 12 9 1 4 12 9
3
3
2
1
1 1 (tmdk)
2
3 13 10 0
10
3
x x
x x x
x x x x x x x x
x
x
x
x y
x x
x
 
 
 
≥ − ≥ −
 
 
− − = + ⇔ ⇔
 
 
 



= −







Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).
Trường em

13
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
(
)
(
)
( )
»
2
53 5 10 5 48 9 0
,
2 6 2 11 2 66
x x y y
x y

 
 
− ≥ ≤
 
 
 
− ≥ ≤
 
 
⇔
 
 
− + ≥ − + ≥
 
 
 
− + + ≥ − + + ≥
 
 
 

Từ PT(1) ta có
(
)
(
)
(
)
5 10 3 10 5 9 3 9 , 3
x x y y

biến .Từ (3) ta có
(
)
(
)
(
)
10 9 10 9 1, 4
f x f y x y y x− = − ⇔ − = − ⇔ = −
Thay (4) vào (2) ta
được
2
7 10 2 66 0
x x x x
+ − − + − − =
(5) ĐK:
7;10
x
 
∈ −
 
 

Giải (5) ta được
(
)
(
)
( )( )
( ) ( )

1 1 1
1 4 2 2
y
x
x y
x y
x y


−


− + + =



+ − +



− + + =




Giải
ĐK:
0 ; 1
x y
≤ ≤

f t t
t
+ − +
−
= + > ∀ ∈ +∞
+ −vì (*)
( ) (1 ) 1
f x f y x y
⇔ = − ⇔ = −
, thế vào pt(2) ta được :
2
1 5 2 2 6 2 2 5 6 8
x x x x x
− + − = ⇔ − + − + =
2 2 2
1 1
5 6 1 5 6 ( 1)
2 2
x x x x x x x y
⇔ − + = + ⇔ − + = + ⇔ = ⇒ =
(tmđk)
Trường em

14

vậy hệ pt có nghiệm là
1

+ =




+ =




Giải
Nhận xét
0,
y
≠
nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
3 2
(3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0
xy xy xy
− + − =

Từ đó tìm được hoặc 3
1
xy
=
hoặc 3
2
xy
=
hoặc 3

3 3
2 2
4 2
3 4
x y x y
x y


− = +




+ =




Giải
Phương trình
3 3
(1) 2(x y ) 4(2 x y)
⇔ − = +

Từ phương trình (2) thay
2 2
4 3
x y
= +
vào phương trình trên và rút gọn ta được:

x


=


⇔ = ±


=




⇒
nghiệm
(x; y) ( 2;0)
= ±

TH2 :
x y y x
= − ⇔ = −
thay vào hệ ta được :
3
2
2 2
1
4 4
x x
x

Bài 30 Giải hệ phương trình sau:
(
)
(
)
( )
(
)
2
2 . 2 . 0
(x; y R).
1. 1 3 . 1 3
y x x y
x y y x y x


− + − =


∈


+ + = − + + −




Giải
ĐK:
2

2
2
8 2 4
y
x x x∆ = + + = +

( )
2 4
2 2
2
0
4 2
x
y
x
y loai
x

+

=

+

⇔

−

= < ⇒



⇔ + + + = − − + 





 
(*)
Xét hàm số
(
)
2 2
( ) 1 1 1
f t t t t t t
= + + = + +
, có
2
' 2
2
( ) 1 1 0 ( )
1
t
f t t f t
t
= + + + > ⇒
+
đồng
biến.
Vì PT (*)

(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).
Bài 31 Giải hệ phương trình sau:
(
)
2 2
1 2 2
2 1 2
x y x y
x y y y


+ + = +




− = +




Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 1 1 2 4 2 2 2 2 2 0
2 0
x
x xy x y x x y x y x x y






+ + + =





Giải
Điều kiện
0
y
≠

( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2
1 1
1 4 1 4
( )
1 1
2 1 5 1 5
x y y y x x


16

( ) ( )
2 2
5 5
5 3
10 2
2 5 2 15 0
1 1
1 5 1 3

1 10 1 2
u v v u
u u
v v
u v u u
y x y x
hay
y y
x x
 
 
 
 
+ = = −
= − =
 
 
 

2
x y
y y y y
x x
x y

= ∧ =
 
 

+ + = − + =
 
 

⇔ ∨ ⇔
 

 
= =
= ∧ =
 
 
 



Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
Bài 33 Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2

≠
0, y
≠
0. và x
2
+ y
2
- 1
≠
0.
Đặt u = x
2
+ y
2
- 1 và v =
x
y
Hệ phương trình (I) trở thành
3 2
1
21 4
u v
u v



+ =





=



=


hoặc
7
7
2
u
v


=





=




+ Với
9
3

y


= −



= −


Với
7
7
2
u
v


=





=






2
4
53
x
y




= −






= −




Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1),
2 2
14 ;4
53 53
 





4
1 1
1
x y x
x y


− − = −




− =



(I) .
Điều kiện:
1 0 1
0 0
x x
y y




− ≥ ≥







Từ phương trình :
(
)
2
3
1 1 1
x x x
− − − = −
3 2
1 2 2
x x x x
⇔ − = − + − +
(1)
Ta thấy hàm số
( ) 1
f x x
= −
là hàm đồng biến trên
)
1;

+∞



Trường em


.
Bài 35 Giải hệ phương trình :
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x


+ + = +




+ + = +



(II). Điều kiện:
0
0
x
y


≥




Xét hàm số
2
( ) 3 3 3
f t t t
= + + +
. Miền xác định:
)
1;D

= +∞



Đạo hàm:
/
2
3
( ) 1 0
2
3
t
f t x D
t
t
= + + > ∀ ∈
+
. Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) ta có
( ) ( )
f x f y x y

y x x x y
y x xy x



+ − = − −





+ = + +




ĐK :
1 1
x
≥ ≥ −

Từ (1) ta có :
3
2. 2( 1) 1 2 1 3 1
y x x x x y
+ − − + − = − −
(thêm vào vế trái
2 1
x
−


Bài 37 Giải hệ phương trình:
2 2
2
1
(1)
5
57
4 3 (3 1) (2)
25
x y
x x y x



+ =






+ − = − +





Giải
ĐK:


2 2
225 25 25 150 150 50 144
x y xy x y
+ + + + + =

( )
2
15 5 5 12 15 5 7
15 5 5 144
15 5 5 12 15 5 17
x y x y
x y
x y x y
 
+ + = + =
 
⇔ + + = ⇔ ⇔
 
+ + = − + = −
 
 

 Với
15 5 7
x y
+ =
kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:
2 2
15 5 7

25
25 25 5
2
25 7 15 5
2
5
5
1
5
x
y x
y
y x
y x
x
x y
x x
x
x
y





=






⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  



  

+ =
+ − =

  




=








=






+ = −





+ =





(
)
2
2 2
2
5 17 15
5 17 15
5 7 15
25 25 5
25 17 15 5
y x
y x
y x
x
x y
x x
φ

1 2
5 25
x x
y y
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
.
Bài 38 Giải hệ phương trình:
3 2 1 (1)
0 (2)
x y x y
x y x y


+ − + = −



x y y x x y y x
 
 
+ + = + + + + + = +
 
 
⇔
 
 
+ = − + = −
 
 
 

(
)
2 2
2 2
y x x y
x y x y
x y y x
x y y x




− = −
+ = −



4 1
1
3
5 1 9 6 1
y x
x
x x x


= −





⇔ ≥




− = − +




2
4 1
1
3
9 11 2 0

x
x







= −





⇔ ≥





=









=



=



Bài 39 Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
3 3
2 2 2 3 (1)
2 2 (2)
x y y x
x y y x


− = − +




− = −




Giải
ĐK:
2 2



⇔ = ⇔ − =
⇔ − =

Trường em

20

Khi đó hệ phương trình tương đương
2 2
3 3
2 1
2 2
x y
x y y x


− =




− = −


(

− =


⇔


− − − =




Th 1:
0
y
=

Hệ phương trình tương đương
2
3
2 1
5 0
x
x


=





  
− − − =
  

  
  

  
  
     



2 2
2 1
1
x y
x
y


− =



⇔


=


2 2
2
1 9
6 0
8
1 5
2 0
4
x y xy
x y
y
x y



+ + − + =



−





− + =


−



−





+ − − − + =


−



Đặt
1
a x y
b x y
x y


= +





= − +



Trường em

21

2 2
25
2
8
5
4
a b
a b



− = −



⇔


−

− =







= −




5
4
5
2
a
b



=



⇔


−

=






2 8 9
x y x y y
x xy y x y


+ + + = +




+ + + − =




Giải
Hệ phương trình tương đương
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2

(
)
( )
2 2
2 2
1
25
1
1 10
1
x y x y
y
x y
x y
y


+ + +


=



+


+




Khi đó ta có
. 25
10
a b
a b


=



+ =


(
)
2 2
5
5 1
5
1 10
a
x y y
b
x y






 Bài 42 Giải hệ phương trình:
(
)
2 2 2
3 3 2 2 3
4 1 0
4 1 0
x x y y y
x y x y y xy


+ − + + =




+ − + + =




Giải
Nhận xét
0
y
=







+ + + − =





Trường em

22

Đặt
1
a x
y
x
b
y



= +




)
2
2 4
2
1
4 4
a b a
a
b
a a




− = −
=



⇔ ⇔
 
 
=
− =
 




1

5 5
x y
x y x y
x y
x y
xy



+ =


− +



−

+ + =





Giải
Hệ phương trinh tương đương:
2 2
5
4
5 5 5

x y



+ =


− +

⇔


− +

+ =





2 2
2 2
5
4
1
5
x y
x y x y
x y y x
x y



=


−




=


+


khi đó ta có
4
1 1
1
a b
a b


+ =







=





 Bài 44 Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
3 2 3 1
5
3 2 2 2
2
x y x y
x
y xy y


+ = − +




+

2 5 2 12 12 9 0
x y x y y
⇔ + + − − + =

6 9
2 1
x y
x y

= − −

⇔

= −



Với
6 9
x y
= − −

3
x
≥ −

6 9 3 1
y y
⇒− − ≥ − ⇔ ≤ −
Suy ra phương trình vô nghiệm

3 2 2
y
y vn
y y

=


⇔

= −

− + +


Vì
2 2 7
;2 1
3
3 2 2 2
y
y y
≤ + ≥
− + +

Vậy hệ có nghiệm ( 3 ;2 )

Bài 45 Giải hệ phương trình:
(
)

− + − + ≥ + ≥ + >

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 7 10 3 1 1
1 1 3 2 1
y y x y x y
x y x y x


− + − + = + − +




+ + + = + +




(
)

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2 7 10 3 1 2 1 2 7
1 1 1 2 3
y y x y x x x y
x y x x y



− + − + = + − + + +

⇔


+ + = + + −




Bài 46 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2 2 2 1 ( 1 )
2 2 2 0 ( 2 )
x x x y y y
x y x y


+ + + = + + +




+ − + − =




Giải
Lấy ( 1 ) – ( 2 )
Ta có
2 2
3 2 2 4 2 2 1
x x x y y y
+ + + + = + + +

2 2
( 1) ( 1) 2 4 2 2 1

+ +

Suy ra
(
)
' 0
f t
>

Vậy
(
)
f t
là hàm đồng biến
Suy ra
1 2
x y
+ =

Thay
2 1
x y
= −
vào phương trình ( 2 ) ta có
(
)
(
)
2
2

 
 
 
−

 


=

 



  
 
 
 Bài 47 Giải hệ phương trình:
(
)
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 5
x x y y
x y



(
)
2 2 1 .
f x f y⇔ − = −

Xét hàm số
(
)
3
f t t t
= +
ta có
(
)
2
' 3 1 0
f t t
= + >
sauy ra hàm số
(
)
f t
đơn điệu tăng .
Từ đó suy ra
(
)
(
)
2 2 1 2 2 1
f x f y x y



(*)
3 2
2 5
2 9
u v
u v


+ =


⇔


+ =



1; 2
3 65 23 65
;
4 8
65 3 23 65
;
4 4
u v
u v
u v

y
y


=


+

⇔ =



−

=



Vậy hệ có nghiệm

( )
23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65
1;2 , ; , ;
16 32 16 32
S
 
   
 
− −  − − + 

2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x


+ = +




+ + = +




Giải
Với
0
x
=
thay vào hệ phương trình ta có
0
3
4
y
y






 
( )
y
f f x
x
 



⇔ =





 

Xét hàm số
(
)
3
2
f t t t
= +
có
(
)

2
1 0
u x
v x v


=




= + ≥




(*)
(
)
2
2 2
u v v u
⇔ + = +
(
)
(
)
2
2 2 0 2 0
v uv v u v u v





+ + − =




Giải
Điều kiện :
3
4
5
2
x
y



≤






≤



= + >
suy ra hàm số
(
)
f t
đơn điệu tăng .
Từ đó suy ra
(
)
(
)
2 5 2
f x f y
⇔ = −
⇔

2 5 2
x y
= −

( )
2
5 4
0
2
x
y x
−
⇔ = ≥


 
. Nhận xét
3
0 ;
4
x x= =
đều không là nghiệm
( )
2
2
2
5 4
4 2 3 4 7
2
x
g x x x
 
−



= + + − −





 
Khi đó
( )