CHƯƠNG M TỘ
TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
1-1. Một thanh có chiều dài

đặt theo trục Ox như hình vẽ, có
mật độ λ thay đổi theo x với
2
2
o
x

λ=λ
, trong đó λ
o
là một
hằng số dương. Tính điện trường
E

tại điểm M có tọa độ x = a.
Đáp số:
( )











, mật độ điện
dài trên thanh AB là
m/C10
9−
=λ
và trên CD là
λ−
. Tính điện trường
tại O.
Đáp số:

E
nằm trên phân giác của
góc phần tư thứ hai và

( )
E
a a L
V m
o
= −
+






=
λ

o
e
a8
E


ε
λ
−=
1-4. a. Một dây dẫn được đặt trong
không khí và được uốn thành một cung
tròn bán kính R, góc ở tâm là α, mang
điện tích phân bố đều với mật độ λ.
Tính vectơ cường độ điện trường

E
tại điểm O.
b. Một vòng dây tròn (O, a) được
đặt trong không khí, mang điện tích
phân bố đều với mật độ điện dài λ. Chọn trục Ox vuông góc
với mặt phẳng của vòng tròn qua tâm O. Xác đònh vectơ cường
độ điện trường tại một điểm trên trục Ox có tọa độ x.
Đáp số: a.
y
e
2
sin
R
k2
E

O
x
y
x’
O
Đáp số :

E
ở trên trục đối xứng của bán cầu,
o
4
E
ε
σ
=
1-6. Một đóa tròn bán kính R được tích điện đều với mật độ
điện mặt σ > 0 và được đặt trong chân không. xác đònh vectơ
cường độ điện trường tại một điểm nằm trên trục của đóa và
cách tâm đóa một khoảng x.
Xét các trường hợp x >> R và x << R .
Đáp số :

E
nằm trên trục của đóa
( )
E
x
x R
V m
o

/
1-7. Cho một dây dài vô hạn, mang điện tích phân bố đều với
mật độ λ. Tính thông lượng điện trường qua mặt trụ kín bán
kính R, chiều cao h, có trục trùng với dây.
Đáp số :
o
h
ε
λ
=Φ
1-8. Một khối trụ rỗng rất dài, bán kính trong
cm5,2r
1
=
và
bán kính ngoài
cm5,3r
2
=
, mang điện tích phân bố đều với
mật độ điện tích khối ρ, được đặt trong không khí. Một sợi dây
mãnh rất dài, mang điện tích phân bố đều với mật độ điện dài
m/C8,6 µ−=λ
, được đặt trùng với trục khối trụ. Tính mật độ
điện tích khối ρ của khối trụ để điện trường tại các điểm bên
ngoài khối trụ bằng không.
30
Đáp số :
( )
33

1-10. Cho nửa đường tròn (O, a)
mang điện tích phân bố với mật độ
điện dài
θλ=λ cos
o
(λ
o
là hằng
số) được đặt trong không khí như
hình vẽ. Tính điện thế tại tâm O.
Đáp số:
o
o
2πε
λ
=ϕ
1-11. Một vòng dây tròn bán kính R được đặt trong không khí,
mang điện tích 3Q phân bố đều trên ba phần tư vòng dây và
-Q trên một phần tư vòng dây còn lại. Tính điện thế tại:
a. Tâm vòng dây.
b. Một điểm trên trục của vòng dây cách tâm một khoảng
h.
Đáp số:
22
hR
2kQ
b.,
R
2kQ
a.

=
R
o
2
1-14. Một mặt cầu (O, R) được đặt trong không khí, mang điện
tích q phân bố đều. Tính điện thế tại một điểm cách tâm O
một khoảng r trong hai trường hợp r > R và r < R, chọn gốc
điện thế ở vô cực.
Đáp số:
)Rr(
R
kq
),Rr(
r
kq
<=ϕ>=ϕ

1-15. Một dây dài vô hạn được đặt trong không khí, mang điện
tích phân bố đều với mật độ điện dài λ. Tính điện thế tại một
điểm cách dây một khoảng r. Chọn gốc điện thế tại điểm cách
dây một khoảng d.
Đáp số:
ϕ
λ
πε
=
2
0
ln
d

(R
1
< R
2
)
Đáp số:








−
πε
=ϕ−ϕ
210
21
R
1
R
1
4
q
1-18. a. Điện thế của một quả cầu cách điện bán kính R, tích
điện đều với điện tích tổng cộng Q, được cho bởi:




Tìm các thành phần E
x
, E
y
, và E
z
của vectơ

E
gây bởi phân
bố điện tích đó.
Đáp số: a.
3
R
rQk
E=
(r < R) ;
2
r
Qk
E=
( r > R)
b.
( )
( )
[ ]
E
x
kQ x a
x a y z

z
= − =
− + +
∂ϕ
∂
2
2 2
3 2/
1-19. Điện thế của một phân bố điện tích trong một miền
không gian được cho bởi ϕ (x) = 3x - 2x
2
- x
3
với ϕ tính bằng V
và các tọa độ x, y, z tính bằng m.
a. Tìm các điểm có điện thế bằng không trên trục Ox.
b. Tìm biểu thức của vectơ cường độ điện trường.
c. Tìm các điểm có điện trường bằng không trên trục Ox.
Đáp số: a. ϕ (x) = 0 tại x = 0, 1m, -3m
b.
( )
x
2
e3x4x3E


−+=
c.
0E =


k
λ
=ϕ
;
2
r
a2
kE
λ
=
;
E

hướng dọc theo thanh
34
1-21. Một vành tròn tâm O, bán kính R, được đặt trong không
khí, mang điện tích q phân bố đều.
a. Tính điện thế ϕ rồi suy ra điện trường
E

tại một điểm
trên trục vành tròn cách tâm O một khoảng x.
b. Xét trường hợp x >> R
Đáp số: a.
22
Rx
q
k
+
=ϕ

dài λ. Tính thế năng của điện tích điểm q đặt tại một điểm trên
đường thẳng qua tâm O, vuông góc với diện tích của nửa đường
tròn và cách tâm O một khoảng a.
Đáp số:
22
0
aR4
qR
W
+ε
λ
=
1-23. Một quả cầu đặc tâm O, bán kính R, được đặt trong không
khí, mang điện tích Q. Tính thế năng của điện tích điểm q đặt
cách tâm O của quả cầu một khoảng r > R.
Đáp số:
r
Qq
kW =
35
CHƯƠNG HAI
VẬT DẪN
2-1. Một quả cầu kim loại, bán kính R
1
, mang điện tích Q
1
. Đặt
quả cầu này vào trong một vỏ cầu kim loại đồng tâm, bán kính
R
2

E
,RrRkhi
r
kQ
E,Rrkhi0E
>
+
=
<<=<=
b.
2
21
vcqc
2
21
vc
2
2
1
1
qc
R
)QQ(k
R
)QQ(k
,
R
Q
R
Q

< r < R
2
, và
r > R
2
.
b. Tính điện thế của quả cầu và vỏ cầu khi:
36
* Quả cầu không được nối với vỏ cầu
* Quả cầu được nối với vỏ cầu
Đáp số: a.
221
2
o1
1
Rrkhiva,RrRkhi
r
R
E
,Rrkhi0E
><<
ϕ
=
<=
b.
o
2
1
vcqc
o

RRkQ
vcqc
−
==
ϕϕ
2-4. Một quả cầu kim loại, bán kính R
1
, mang điện tích Q
1
. Đặt
một quả cầu này vào trong một vỏ cầu kim loại, trung hoà,
đồng tâm, bán kính R
2
> R
1
. Nối vỏ cầu với đất. Tính điện thế
của quả cầu và vỏ cầu.
Đáp số:
21
121
)(
,0
RR
RRkQ
qcvc
−
==
ϕϕ
2-5. Hai vật dẫn điện hình cầu, bán kính
m3,0R

21
2
2
=
+
=

V120
RR
kQ
21
=
+
=ϕ
2-6. Hai vật dẫn điện hình cầu tâm O, bán kính a và b, được đặt
rất xa nhau để không có hiện tượng điện hưởng và được nối với
nhau bằng dây dẫn. Sau khi tích điện cho hai quả cầu, điện tích
của quả cầu (O, a) nhỏ hơn điện tích của quả cầu (O, b) n lần.
a. Tính tỷ số bán kính hai quả cầu.
b. Điện trường tại một điểm trên quả cầu (O, a) lớn hơn
hay nhỏ hơn bao nhiêu lần so với điện trường tại một
điểm trên quả cầu (O, b).
Đáp số: a.
n
a
b
=
b.
n
E

ϕϕ

,
)(
.
21
21
RR
QQk
b
+
+
=
ϕ
38
,
)(
21
211
1
RR
QQR
Q
+
+
=
′
,
)(
21

điện hưởng.
a. Tính điện tích mỗi quả cầu.
b. Nối hai quả cầu bằng một dây dẫn. Tính điện thế mới
của hai quả cầu và lượng điện tích dòch chuyển.
Đáp số: a. Q
A
= 0,5µC, Q
B
= - 1µC
b. ϕ = - 15.000 V, ∆Q = 0,68µC
2-9. Tính năng lượng điện trường của một quả cầu bán kính R,
mang điện tích Q phân bố đều trong thể tích quả cầu.
Đáp số:
R5
Q3
kW
2
e
=
2-10. Một quả cầu kim loại cô lập, bán kính r = 20cm, có điện
thế 3.000V. Tính điện tích trên quả cầu và tổng năng lượng điện
trường gây bởi quả cầu.
Đáp số: Q = 6,67.10
– 8
C, W
e
= 10
– 4
J
2-11. Cường độ điện trường trong một miền không gian phụ

x6
aE
W
2
o
5
2
oo
e
µ=
ε
=
2-12. Một tụ điện phẳng có khoảng cách giữa hai bản tụ điện là
mm1d =
. Điện trường giữa hai bản tụ điện có cường độ
m/kV3E
o
=
. Năng lượng điện trường dự trữ trong tụ điện là
J10.4W
11
e
−
=
. Tính điện dung của tụ điện và điện tích trên
mỗi bản tụ điện.
Đáp số:
pF9,8
dE
W2

0B
o
=

,
z
4
M
e)T10
3
2
(B


−
−=
,

z
4
N
e)T10
3
2
(B


−
=
,

Q
P
N
M
z
Xác đònh vectơ cảm ứng từ
B

gây bởi hai dòng điện tại
các điểm O, M, N, P, Q có tọa độ lần lượt là:
0y
o
=
,
cm3y
1
−=
,
cm3y
2
=
,
cm9y
3
=
y
3
= 9cm,
cm8z
=

−
=
,
z
5
Q
e)T10.6,3(B


−
−=
3-3. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện cường
độ
A10I =
, được uốn cong như hình vẽ và được đặt trong
không khí. Đoạn AB là một phần tư cung tròn tâm O, bán
kính R = 5cm. Đoạn BC = CD = R. Các đoạn Ax và Dy là
hai nửa dòng điện thẳng rất dài có đường kéo dài qua
tâm O. Tính cảm ứng từ
B

tại điểm O.
I
- 6cm
6cm
8cm
I
y
x
O




+
π
π
µ
=
3-4. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện cường
độ
A30I
=
, được uốn cong như hình vẽ và được đặt trong
không khí. Đoạn BC là một phần tư cung tròn tâm O, bán
kính R = 15cm. Cho biết OA = OB = R. Các đoạn Ax và
Cy là hai nửa dòng điện thẳng rất dài có đường kéo dài
qua O. Tính cảm ứng từ
B

tại điểm O.
Đáp số:

B
vuông góc mặt phẳng dòng điện, hướng ra và
T10.14,71
4R2
I
B
5
o

y
x
O
A
43
Đáp số:

B
vuông góc mặt phẳng dòng điện, hướng ra và
T10.65,1333
3
2
R4
I
B
5
o
−
=






++
π
π
µ
=


++
π
π
µ
=
C
α
D
I
y
O
R
x
D
C
β
I
y
O
R
x
44
3-7. Hai điểm AB của một vòng dây dẫn kín hình tròn
được nối với hai cực của nguồn điện không đổi. Phương
dây nối qua tâm O vòng dây. Chiều dài các dây nối vô
cùng lớn và tất cả được đặt trong không khí. Chứng minh
rằng nếu các vòng dây dẫn AMB và ANB đồng chất và
có tiết diện đều thì cảm ứng từ B tại tâm vòng dây bằng
không.


tại điểm O.
Đáp số:

B
vuông góc mặt phẳng dòng điện, hướng vào
và
T10.27,623
3
4
R4
I
B
5
o
−
=






−+
π
π
µ
=
3-9. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện cường
độ

+
π
π
µ
=
3-10. Một dây dẫn có dòng điện, cường độ I, được uốn
thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong vòng tròn
bán kính R và được đặt trong không khí. Xác đònh vectơ
cảm ứng từ

B
tại tâm hình đa giác. Tính

B
khi n → ∞.
46
C
D
I
y
x
R
α
O
I
Đáp số:

B
vuông góc với đa giác, có chiều thuận chiều
dòng điện theo qui tắc tay phải và

o
=
µ
π
3
3-12. Một dòng điện, cường độ I chạy trong một dây dẫn
được uốn cong như hình vẽ: (C) là đường tròn tâm O, bán
kính R. Tính r để cảm ứng từ
B

tại điểm O bằng không.
3-13. Hai dây dẫn dài vô hạn có các dòng điện cùng chiều
với cường độ
1
I
và
2
I
chạy qua. Mỗi dây đều có một đoạn
uốn theo một cung tròn 90
o
trên cùng đường tròn tâm O,
47
I
I
I
R
r
O
(C)

30=α
và có độ lớn
t314
o
eBB
−
=
với B
o
=
0,25(T). Tính từ thông qua diện tích S.
Đáp số:
( )
Wbe10.7,15sineBR
t3143t314
o
2 −−−
=απ=Φ
3-15. Cho một từ trường

B
có đường cảm ứng từ
nằm ngang, có độ lớn:
( )
Tt100sinBB
o
π=
với
T10.5B
3

Đáp số:
Wb)t100(sin10.53cos.ab)t100(sinB
6
o
π=απ=Φ
−

3-16. Cho một từ trường có vectơ cảm ứng từ được xác
đònh bởi
z
2
2
o
o
ex
x
B
B


=
với
o
B
và
o
x
là các hằng số
dương,
z

bằng giây và y bằng mét,
z
e

là
vectơ đơn vò trên trục z.
a. Đơn vò của A là gì?
b. Tính từ thông qua diện
tích hình vuông cạnh

nằm trong mặt phẳng xOy
có một đỉnh trùng với gốc tọa độ O và hai cạnh
trùng với hai trục Ox và Oy như hình vẽ.
Đáp số:
32
At
2
1
−=Φ
49
x
y
O
x
y
O
3-18. Cho một dòng điện thẳng dài vô hạn có dòng điện
cường độ I = 18A chạy qua.
a. Tính từ thông Φ qua diện tích đáy S
1

µ
=Φ 
3-19. Cho khung dây hình chữ nhật ABCD có các cạnh
a = 3cm, b = 4cm được đặt cạnh một dòng điện thẳng dài
vô hạn có cường độ I = 30A. Khung dây và dòng điện
cùng nằm trong một mặt phẳng. Cạnh AB song song với
I
I
a
h
R
S
2
S
1
S
3
50
dòng điện và cách dòng điện một đoạn c = 1,5cm. Tính từ
thông qua diện tích phẳng giới hạn bởi khung dây.
Đáp số:
( )
Wb10.64,2
c
ac
n
2
bI
7
o

): đường chấm
chấm như hình vẽ.
c
I
C
D
a
b
A
B
×
×
×
I
1
I
5
I
4
I
6
I
2
I
3
51
Đáp số:
( )
564o
C

0
πµ
=Φ
3-22. Cho một ống dây (solenoid) dài a, đường kính
mm32D =
, có
100n
o
=
vòng/cm được quấn sát nhau, có
dòng điện
A5,2I =
chạy qua. Tính từ thông gởi qua điện
tích phẳng hình tròn đường kính
mm16d
=
đặt vuông góc
với trục, có tâm trùng với tâm ống dây.
Đáp số:
4
dIn
2
o0
πµ
=Φ
3-22. Cho khung dây hình chữ
nhật có cạnh a và b được đặt gần
một dòng điện thẳng dài vô hạn
có cường độ I
1