A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN.
2. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978.
3. Giới tính: Nữ.
4. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa.
5. Điện thoại: 0613 951729.
6. Chức vụ: Giáo viên.
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học.
2. Năm nhận bằng: 2000.
3. Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán.
2. Số năm kinh nghiệm: 11 năm.
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
B. Đề tài
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và
quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền
với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, … trong
một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận.
Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học
sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng
trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài
tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học
sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi
hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/
1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài

' 'h b c=
5.
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
6.
sin
b
B
a
=
;
cos
c
B
a
=
;
tan
b
B
c
=
;
cot
c
B
b
=

2 .cosb a c ac B= + −
2 2 2
2 .cosc a b ab C= + −
2. Định lý sin :
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC)
Trang 3
A
c
b
c’ b’
h
H
C
B
a
B
A
C
c
b
a
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác

= −
+
= −
4. Công thức tính diện tích :

1 1 1
. . .
2 2 2
S a h b h c h
a c
b
= = =

1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C ac B bc A= = =

4
abc
S
R
=
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )

S pr=
( với
2
a b c
p

4
AC

⇔
36 = 4AB
2
+
2
AC
(1)
Mặt khác: BC
2
= AB
2
+ AC
2

⇔
16 = AB
2
+ AC
2
(2)
Từ (1)và (2), ta được: AB =
20
3
và AC =
28
3
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,

=
2
5AD
(đpcm)
b)
2 2
MB MC−
=
2 2 2 2
BE EM EC EM− − +
=
2 2
BE EC−
=
2 2
BE AE−
=
2
AB
(đpcm)
Trang 5
C
A
B
N
M
A
C
B
E

2 2
. .4 4CD CH CB a a a
= = =
⇒ CD = 2a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC =
2 2 2 2
3 16 19AB BC a a a+ = + =
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh
rằng:
2 2 2
1 1 1
4BK BC AH
= +
Giải
Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI
Tam giác vuông BKC có:
//HI BK
HB HC


=

⇒ HI =
1
2
BK (1)
Ta lại có:
2 2 2
1 1 1

Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với
nhau. Chứng minh rằng:
a)
' ' 'aa bb cc= +
b)
1 1 1
' ' 'hh bb cc
= +
Giải
a) Do ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, nên:
sinα =
'
'
c c
a a
=
cosα =
'
'
b b
a a
=
⇒
( )
2 2
' ' ' sin cos 'cc bb aa aa
α α
+ = + =
Vậy:
' ' 'aa bb cc= +

h
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc
ˆ
B
(D
∈
AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a) AD = 4, DC = 5
b) AD = 1, BD =
10
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có
2
3
AB
AC
=
, đường cao AH = 6. Tính
HB, AB và AC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số
2
3
.
Tính độ dài các cạnh.
Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp
đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â =
α
a) Tính BC theo a và
α
.
b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp
∆
ABC . CM:
.sin
2(1 sin )
2
a
r
α
α
=
+
Giải
a)
2 2 2
2 . .cosBC AB AC AB AC A= + −
=
2 2 2
2 osa a a c
α
+ +
=
2
2 (1 cos )a

+ +

=
2
1
.sin
2
2 (1 sin )
2
a
a
α
α
+
=
.sin
2(1 sin )
2
a
α
α
+
(đpcm)
Bài 2: Cho góc
·
0
60xOy =
. Từ điểm M trong góc
·
xOy

Trang 9
A
B
C
H
O
y
x
M
A
B
60
0
5
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2
2AC BD AD AB+ = +
Giải
Áp dụng định lý côsin cho ∆ACD, ta có:
2 2 2
2 . .cosAC DA DC DA DC D
= + −
Áp dụng định lý côsin cho ∆BC, ta có:
2 2 2
2 . .cosBD AB AD AB AD A
= + −
=
2 2

2
3
bc
AM
b c
=
+
.
Giải
a) Ta có:
ABC ABD ACD
S S S= +
⇔
0 0
1 1 1
. . .sin 45 . .sin 45
2 2 2
b c AB AD AC AD= +
⇔
1 1
. . . . .
2 2
a a
b c c l b l= +
⇔
( )
1
.
2
a

bc
r
b c b c
=
+ + +
=
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
bc b c b c
b c b c
 
+ − +
 
+ − +
=
( )
( )
2 2
2 2
1
2 2
bc b c b c
b c b c
bc
 
+ − +

b c c AM b AM= +
⇔
( )
2 . 3.b c c b AM
= +
⇔
2
3
bc
AM
b c
=
+
(đpcm)
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2. Gọi M là trung điểm của AB.
Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Giải
Xét tam giác ABC, ta có:
2 2 2
2
2 4
b a c
CM
+
= −
=
9 16 4 23
2 4 2
+
− =

x
B
=
⇒
46
4 46
2
.
2sin 3 15
3 15
2.
16
CM
x
B
= = =
Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là :
2
1x x+ +
; 2x + 1;
2
1x −
a) Tìm x để tồn tại tam giác như trên
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 120
0
.
Trang 11
O
M
B


+ > + +

⇔
1
2
1 1
1
1
1
2
1
x
x hay x
x
x hay x
x

> −


< − >


>



< − >


− + + − + +
+ −
=
− +
=
( )
( )
3 2
2
2 2 1
2 1 . 2 1
x x x
x x
− − + +
− +
=
( )
( )
( )
( )
2
2
2 1 1
1
2
2 2 1 1
x x
x x
+ −
= −

C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Tam giác CDH vuông tại H, có:
cosC =
2.
CH b
CD x
=
⇒
2
2. 3
b
x
=
⇒ b =
4
3
x
(2)
Thay (2) vào (1), ta được c = 9 -
2
3
x
b) Áp dụng định lý côsin cho ∆ABC, ta có:

2 2 2
2 . .cosc a b a b C= + −
⇔
2
2

Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện
2 2 2
a b c+ ≤
,
ta luôn có :
0,4 0,5
r
h
< <
trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài
đường cao hạ xuống cạnh c.
Giải
Diện tích của tam giác: S =
1 1
( ). .
2 2
a b c r c h+ + =
⇒

r c
h a b c
=
+ +
Vì a + b > c, nên
r c
h a b c
=
+ +
<
0,5

2 ( )c a b≥ +
⇒

2c a b≥ +
Do đó:
r c
h a b c
=
+ +
1
2 1 0,4
2 2 1
c
c c
≥ = = − >
+ +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
0,4 0,5
r
h
< <
Trang 13
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
trong đó S là
diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và
2
a b c

2
a b c+ −
=
1
16
( )
b c a+ +
.
( )
b c a+ −
.
( )
a c b+ −
.
( )
a c b− +
=
1
16
( )
2
2
b c a
 
+ −
 
.
( )
2
2

2 1 cosbc A
−
=
1
4

( )
2 2 2
. 1 cosb c A−
=
2
1
. .sin
2
b c A
 
 ÷
 
= S
2

Vậy:
( )( )( )S p p a p b p c= − − −

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết:
a)
2 3a =
; b =
3 2

( ) ( )b b a c a c− = −
b)
3 3 3
2
b c a
a
b c a
+ −
=
+ −
Bài 7: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần
lượt tại M, D, N. Biết AN = 2, CN = 3,
µ
0
60C =
. Tính các cạnh của tam giác.
Bài 8: Gọi B là điểm cố định nằm trong (O,R). Hai dây AB và CD di động luôn
qua P và vuông góc với nhau.
a) CMR: AC
2
+ BD
2
= const
b) CMR: PA
2
+ PB
2
+PC
2
+ PD

1
3
a
h =
,
1
4
b
h =
,
1
5
c
h =
. Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và trung tuyến AM =
c
a
. Chứng
minh rằng:
a)
2 2 2
2b a c= −
b)
2 2 2
sin 2sin sinA B C
= +
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc tạo bởi hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD là S =

b)
sin
2cos
sin
A
C
B
=
c)
3 3 3
2
2 cos
b c a
a
b c a
a b C

+ −
=

+ −


=

Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác. Chứng minh
a)
2
2 sin .sin .sinS R A B C
=

3
. Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1 1
r
p a p b p c
+ + ≥
− − −
Bài 19: Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC thỏa hệ thức:
9
a b c
h h h r+ + =
thì
tam giác ABC là tam giác đều (trong đó
, ,
a b c
h h h
là các đường cao kẻ từ A, B, C
và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Trang 16
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC . CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC
Giải
VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC

.
cos
2
sin
2
C
C
= 4Rsin
2
C
. sin
2
A B−
.
sin
2
sin
2
A B
C
+
= 4R.sin
2
A B−
.
sin
2
A B+
= 2R(cosB – cosA) (1)
CM tương tự: (b - c)cot

' ' '
, ,A B C
. CMR:
a)
'
( )sin
2
A
a b c a= + −
b)
' '
2 sin sin .sin
2 2 2
a b A B C
a b
 
+ = +
 ÷
 
c)
'
2sin .sin .sin
2 2 2
S A B C
S
=
với S, S
’
là diện tích
∆

+ = −
b)
2
2 sin .sin .sinS R A B C
=
c)
( )
2 cos cos cosS R a A b B c C
= + +
d)
4 sin .sin .sin
2 2 2
A B C
r R=

Trang 18
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
LỊCH SỬ CỦA HERON
( Thế kỷ I - II sau công nguyên)

Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày
sinh và ngày mất. Các công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật
lý học thì quá phong phú về nội dung cũng như nhiều về số lượng tới mức
mà người ta thường xem ông là một tác gia bách khoa trong lĩnh vực này.
Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập được huấn luyện
theo kiểu Hy Lạp. Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính hữu
dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự
pha trộn giữa Hy Lạp và phương Đông. Ông quan tâm đến việc xây dựng
một nền móng khoa học cho kỹ thuật và cho trắc địa.
Các công trình của Heron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công