Trường THCSDL Đoàn Thị Điểm
Họ tên học sinh:…………………………….
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1( 4điểm)
a) Tính:
A =






−++






++− 2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0

Câu2( 2 điểm)
Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
≤++
cabcab
.
Câu 3( 4điểm)
a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng
lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12.
b) Vận tốc của máy bay,ô tô, tàu hoả lần lượt tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời
gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4( 2 điểm)
Biết
cabcbaRcba .;0,,;,,
2
=≠∈
.Chứng minh rằng :
2
2
)2011(
)2011(
cb
ba
c
a
+
+
=
Câu 5 (3,5điểm)

20
3
(
2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0
++++=






−++






++−
0,5

9
15
7
5
(:)
3
5,0.22
7
1,1.10
(
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
++=
++=








+

Nếu x = - 3 vế trái bằng 2; vế phải bằng – 9( không thoả mãn) 0,25
Nếu – 3< x < - 1 ta có
x + 3 – x- 1 = 3x; do đó x = 2/3( không thoả mãn)
0,5
Nếu x < -3 thì – x – 3 – x- 1 = 3x, do đó x = -4/5( không thoả
mãn)
0,5
Nếu x > -1ta có x + 3 +x + 1 = 3x, do đó x = 4 ( thoả mãn)
Vây. x= 4
0,5
Câu 2
a + b + c = 0 suy ra a = - ( b + c)
vậy ab + bc + ca = -( b + c).b + bc – cb – c
2
= -[ b
2
+ cb + c
2
] 0,5
=-[b
2
+ ½ cb + ½ cb + ¼ c
2
+ ¾ c
2
] 0,5
=-[ b(1/2 c + b) + ½ c(b + ½ c) + ¾ c
2
] 0,5
=- [(1/2 c + b) + ¾ c

4937
=+
=⇒=
0,5
42
215
;
222
1505
== yx
0,5
b Gọi vận tốc của máy bay, ô tô, tàu hoả lần lượt là v1,v2,v3
thời gian tương ứng đi từ A đến B của 3 động cơ là t1,t2,t3.
0,5
Theo baì ta có
2
2
3
;5
1
2
2
3
2
;5
2
10
2
1
==⇒===

.Chứngminh rằng :
2
2
)2011(
)2011(
cb
ba
c
a
+
+
=
cb
ba
c
b
c
b
b
a
cab
2011
2011
2011
2011
.
2
+
+
===⇒=

+
+
=⇒
1
Câu 5 Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc
với BC( H thuộc BC)
a,Chứng minh rằng:
222
111
ACABAH
+=
b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
ACABBCAHSABC 2
==
0,5
2
2
2
2
AC
BC
AH
AB
AC
BC
AH
AB
=⇒=⇒
1
2222

4321431 AAAAAAAABCAEC
∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠
Vì góc B và góc HAC cùng phụ với góc BAH
Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AC = CE
1,5
Tương tự cm được AB = BD 1,5
AB + AC = BD + EC = ED + BC 1