Lý thuyết đạo hàm
I Định nghĩa đạo hàm
1) Đạo hàm tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 =
f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :
Δx→0
f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Δx→0 Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:
Đạo hàm 1 phía
a) Bên phải
b) Bên trái
2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)
f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại
3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số
Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó
không có dấu chỉ chiều ngược lại
4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :
5/ Các công thức đạo hàm cơ bản
Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :
II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN
1/ Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định
một cách quy nạp như sau :
[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)
[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)
[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)
...........

tuyến song song với đường thẳng AB
* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M
Suy ra :
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')
3/ Biện luận phương trình và bất phương trình
a/ Phương trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và
đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm
của phương trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phương trình f(x) < m
Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm
dưới đường thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng
(d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x 1−
tại x
0

=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
=
( ) ( )
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
• =
( )
x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆ →


Cho x
0
= 0 một số gia
∆
x
∆
y = f(x
0
+
∆
x) –f(x
0
) = f(
∆
x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=
( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +

1
lim
x 1
+
∆ →
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,

− ≥


neáu x 0
x neáu x<0
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại
sao?
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n

− ≥





∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
= 2
⇒
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
≠
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆

hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥


−

a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
4
π
HD:a) Vì
x 0
lim f (x)
+
→
=
x 0
lim cos x
+
→
=1 và
x 0
lim f (x)

2
x
+2x-1); Đs: y’ = 4x
3
-3x
2
– 8x+ 9
2. y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =
( )
2
3x x 1
x
 
+ −
 
 
Giải: y’ =
( )
2
3x ' x 1

 
+
 
 
 
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 
 
+
1 3x
x x 2 x
+
3. y =
( )
1
x 1 1
x
 
+ −
 
 
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học

8. y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9. y =
x 1
x 1
+
−
; Đs:-
3
1
(x 1)(x 1)+ −
10. y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; Đs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )− +
11. y = cos
2
1 x

sin x cos x
−
+
; Đs:
2
2
(sin x cos x)+
15. y =
2
sin 3x
sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x−
; y’ =
( )
2
1 cos x xsin x
1 cos x
− −
−
519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ =
2 2
x sin x cos x
x cos x
−
522) y = f(x) =

; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1
3
tan
3
x –tanx + x; y’ = tan
4
x
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học