Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
I-KHÁI NIỆM VỀ TÂM TỈ CỰ:
Bài toán 1 : (Bài toán về tâm tỉ cự của hai điểm ).
Cho hai điểm A,B và hai số thực α,β thoả mãn α +
β ≠ 0.
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

. . 0IA IB
α β
+ =
uur uur r
.
2) Chứng minh rằng : với mọi điểm M ta luôn có :

( )
. .MA MB MI
α β α β
+ = +
uuur uuur uuur
.
Bài giải : 1) Ta có :

( )
. . 0 0IA IB IA IA AB
α β α β
+ = ⇔ + + =
uur uur r uur uur uuur r
.

( )
. 0IA AB

uur uuur
(1).
Vế trái của (1) là một vectơ hoàn toàn xác định,nên từ (1) ta suy ra tồn tại
duy nhất điểm I thoả mãn (1) tức là thoã mãn yêu cầu bài toán.

2) Với mọi điểm M ta có :

( ) ( )
. .MA MB MI IA MI IB
α β α β
+ = + + +
uuur uuur uuur uur uuur uur
.

( )
MI IA IB
α β α β
= + + +
uuur uur uur
.

( )
MI
α β
= +
uuur
. (đpcm).
Nhận xét : Điểm I xác định duy nhất từ hệ thức
. . 0IA IB
α β

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
1
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Khái niệm tâm tỉ cự được coi là mở rộng của khái niệm trung điểm,đầu mút
của một đoạn thẳng.Bằng cách chọn bộ α , β thích hợp hệ thức trên còn cho
ta nhiều khái niệm khac nữa.
Trong trường hợp α = β ≠ 0 thì công thức :
( )
. .MA MB MI
α β α β
+ = +
uuur uuur uuur
trở thành
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
đây là một công thức quen
thuộc mà ta đã biết.
Bài toán 2 : (Bài toán về tâm tỉ cự của ba điểm ).
Cho ba điểm A,B,C và ba số thực
, ,
α β γ
thoả mãn
0
α β γ
+ + ≠
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =

, ,
α β γ
.
Trong trường hợp
0
α β γ
= = ≠
thì đẵng thức :
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
trở thành
0IA IB IC I G+ + = ⇔ ≡
uur uur uur r
Hay I là trọng tâm của tam giác

ABC .
Trong trường hợp
0, 0
β γ α
= = ≠
đẵng thức :
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
trở
thành :
. 0IA I A

. . .MA MB MC MI
α β γ α β γ
+ + = + +
uuur uuur uuuur uuur
trở thành :
3MA MB MC MI+ + =
uuur uuur uuuur uuur
với moi điểm M,đây là một đẵng thức quen thuộc mà ta
đã biết.
Bài toán 3 : (Bài toán về tâm tỉ cự của n điểm ).
Cho n điểm
1 2
, , ,
n
A A A
và n số thực
1 2
, , ,
n
k k k
thoả mãn :

1 2
0
n
k k k+ + + ≠
.
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

1 1 2 2


( )
1 2 1 2 1 2 3 1 3 1
. . 0
n n n
k k k IA k A A k A A k A A⇔ + + + + + + + =
uur uuuur uuuur uuuur r

( )
1 2 1 2 1 2 3 1 3 1
. .
n n n
k k k A I k A A k A A k A A⇔ + + + = + + +
uuur uuuur uuuur uuuur

( )
2 1 2 3 1 3 1
1
1 2
. .

n n
n
k A A k A A k A A
A I
k k k
+ + +
⇔ =
+ + +
uuuur uuuur uuuur

k k k IM k MA k M A k MA⇔ + + + + + + + =
uuur uuuur uur uuuur r

( )
1 1 2 2 1 2
. .
n n n
k MA k M A k MA k k k M I⇔ + + + = + + +
uuuur uur uuuur uur
. (đpcm).
Từ ba bài toán nêu trên ta có định nghĩa về tâm tỉ cự như sau :
Định nghĩa : Cho n điểm
1 2
, , ,
n
A A A
và n số thực
1 2
, , ,
n
k k k
thoả mãn điều
kiện :
1 2
0
n
k k k+ + + ≠
.Khi đó nếu tồ tại duy nhất một điểm G sao cho :

1 1 2 2

đường tròn nội tiếp ABC .
Vẻ hình bình hành IB’CA’.
Theo quy tắc hình bình hành ta có :

' 'IC IA IB= +
uur uuur uuur
.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
3
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Trong BB’C : IA
1
// B’C . Theo định lý Talet ta có :

1
1
' ACIB
IB A B
=
(1).
Vì AA
1
là đường phân giác nên ta có :

1
1
AC AC b
A B AB c
= =

(4).
Từ (3) và (4) ta suy ra :
' '
b a
IA IB IB IA
c c
+ = − −
uuur uuur uur uur

' '
b a
IC IA IB IB IA
c c
⇒ = + = − −
uur uuur uuur uur uur

0aIA bIB cIC⇔ + + =
uur uur uur r
Rõ ràng a + b + c ≠ 0 nên từ đẵng thức trên ta suy ra I là tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C ứng với bộ số a,b,c . (đpcm).
Bài toán 2 : Cho ABC không vuông.Chứng
minh rằng trực tâm H của ABC là tâm tỉ cự
của bộ ba điềm A,B,C ứng với bộ số :
(tanA ; tanB ; tanC).

Bài giải :
Các đường cao của ABC cắt nhau tại trực
tâm H .Vẻ hình bình hành HB’CA’
Trong BB’C ta có HA
1

tan
B
HB HB
C
⇒ = −
uuuur uuur
(1).
(vì
HB
uuur
và
'HB
uuuur
đối nhau).
Hoàn toàn tương tự ta có :

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
4
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

tan
' .
tan
A
HA HA
C
= −
uuuur uuur
(2).
Từ (1) và (2) ta có :

Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Điểm I
là điểm thuộc cạnh GC sao cho : IC = 3GC.
Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có hệ thức :

4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
Bài giải :
Theo giả thiết,G là trọng tâm của

ABD nên :
G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,D ứng
với bộ số (1;1;1).Nghĩa là :

3IA IB ID IG+ + =
uur uur uur uur
(1)
Mặt khác :
3 3IC IG IC IG= ⇒ = −
uur uur
(Do
IC
uur
và
IG
uur
là hai vectơ đối nhau).
Thế
3IC IG= −
uur uur
vào biểu thức (1) ta có :

b
= S
MCA
; S
c
= S
MAB
.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
5
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Bài giải : Giả sử AM,BM,CM kéo dài cắt BC,CA,AB lần lượt tại
A
1
,B
1
,C
1
.Dựng hình bình hành MB’CA’.Khi đó ta có :
' 'MC MA MB= +
uuuur uuuur uuuur
(1).Kẻ
AH BM⊥
và
CK BM⊥
.Theo
định lý Talet ta có :
1 1
'AB M CB B∆ ∆:

AH S S
∆
∆
= =
'
' . '
a a a
c c c
S S S
MA
MA MA MA MA
MA S S S
⇒ = ⇒ = ⇒ = −
uuuur uuur
(5).(do
MA
uuur
và
'MA
uuuur
ngược hướng)
Lập luận hoàn toàn tương tự ta có :
'
b
c
S
MB MB
S
= −
uuuur uuur

Nhận xét : Qua các bài toán trên ta thấy rằng khái niệm tâm tỉ cự rất đa
dạng.Có thể kết luận rằng với mị điểm M nằm trong tan giác ABC đều có thể
xem là tâm tỉ cự của ba đỉnh A,B,C ứng với một bộ số nào đó.
 Từ bài toán trên ta có thể suy ra được nhiều kết quả đã biết.Chẳng hạn :
Nếu
M G
≡
(G là trọng tâm của tam giác ABC )thì khi đó : S
a
= S
b
= S
c
=
3
S
Và do đó G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,C ứng với bộ (1;1;1).
Nếu
M I≡
(I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) ,vì :

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
6
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

1 1 1
, ,
2 2 2
a b c
S ar S br S cr= = =

uur uur uur r
( )
2 0IA IB IA IC⇔ − + + =
uur uur uur uur r
2 2 0BA IE⇔ + =
uuur uur r

(Với E là trung điểm của đoạn AC).
IE AB⇔ =
uur uuur
.
Suy ra I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABEI (với E là trung điểm của AC).
2)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :
3 2 (3 2 1)MA MB MC MI− + = − +
uuur uuur uuuur uuur
3 2 2MA MB MC MI⇔ − + =
uuur uuur uuuur uuur
Suy ra :
3 2 2MN MA MB MC MI= − + =
uuuur uuur uuur uuuur uuur
hay
2MN MI=
uuuur uuur
.
Do đó ba điểm M,N,I luôn thẳng hàng ,hay mọi đường thẳng nối hai điểm
M,N đều đi qua một điểm cố điịnh. (đpcm).
3)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta suy ra :
3 2 2MA MB MC MI− + =
uuur uuur uuuur uuur

2MB MC MF+ =
uuur uuuur uuur
.
Do đó :
2 3MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur

2 3 3 2MG MF⇔ =
uuuur uuur
6 6MG MF MG MF
⇔ = ⇔ =
.
Suy ra quỹ tích của M chính là đường
Trung trực của đoạn thẳng GF với G là
trọng tâm của

ABC ,và F là trung điểm của BC.
5) Gọi P là tâm tỉ cự của hai
điểm A,B ứng với bộ số
(2;1),và K là trung điểm của
canh AB.Khi đó P thoả mãn
đẵng thức véctơ sau :
2 0PA PB+ =
uuur uuur r

( )
0PA PA PB⇔ + + =
uuur uuur uuur r
2 0PA PK⇔ + =
uuur uuur r

Từ đẵng thức :
2 4MA MB MB MC+ = −
uuur uuur uuur uuuur
ta suy ra :

3 3MP MQ=
uuur uuuur
Hay MP = MQ .

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
8
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Do đó quỹ tích điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC.
1) Xác định điểm I sao cho nó là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng
với bộ số : (1;3;-2).
Xác định điểm D sao cho nó là tâm tỉ cự của hai điểm B,C ứng với
bộ số : (3;-2).
2) Chứng minh rằng A,I,D thẳng hàng .
3) Gọi E là trung điểm của AB và N là một điểm sao cho :
AN k AC=
uuur uuur

hãy xác định k sao cho AD,EN,BC đồng quy.
4) Tìm quỹ tích điểm M sao cho :

3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − − − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
;
Bài giải : 1) Giả sử I là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số

2IE IA IB⇒ = +
uur uur uur
.Thay
2 2IE BC DB= =
uur uuur uuur

vào đẵng thức trên ta được :
DB IA IB DB IB IA DI IA= + ⇒ − = ⇔ =
uuur uur uur uuur uur uur uuur uur

suy ra A,I,D thẳng hàng. (đpcm).
3)Theo chứng minh trên ta có AD và BC giao nhau tại D .Giả
sử DE cắt AC tại N,N thuộc AC,theo giả thiết
AN k AC=
uuur uuur
,do đó k > 0 .Kẻ
BH song song với AC, H thuộc DN.

HEB NEA BH NA∆ = ∆ ⇒ =
.
Theo định lý Talet ta có :
2 2
3 3
BH DB
BH CN
CN DC
= = ⇒ =
.

2 2

Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :
3 2 2MA MB MC MI+ − =
uuur uuur uuuur uuur
.
Mặt khác :
( ) ( )
2MA MB MC MA MB MA MC− − = − + −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

BA CA= +
uuur uuur
( )
2AB AC AJ= − + = −
uuur uuur uuur
.
Do đó :
3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − − − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
2 2MI AJ MI AJ⇔ = ⇔ =
uuur uuur
.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kinh AJ.

III-BÀI TẬP VẬN DỤNG :
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
đó.Chứng minh các đẵng thức véc tơ sau :
1)
1 1 1
0
a b c

uur uur
uur r
5)
cos cos cos cos cos cos
. . . 0
sin sin sin sin sin sin
C B A C B A
IA IB IC
B C C A A B
     
+ + + + + =
 ÷  ÷  ÷
     
uur uur uur r

6)
( ) ( ) ( )
2 2 2
.sin . .sin . .sin . 0
2 2 2
A B C
p a IA p b IB p c IC− + − + − =
uur uur uur r

Gọi R
1
,R
2
,R
3

Với D,E,F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC,CA,AB với đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng :
10)
. . . 0a ID b IE c IF+ + =
uur uur uur r 11)
. . . 0a AD b BE c CF+ + =
uuur uuur uuur r
.

Cho M là một điểm nằm trong tam giác. D’ ; E’ ; F’ lần lượt
là hình chiếu của M lên các cạnh BC,CA,AB.
Chứng minh rằng :
12)

2 2 2
. ' . ' . ' 0
a b c
a b c
MD ME MF
S S S
+ + =
uuuur uuuur uuuur r
Với S
a
= S
MBC