Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010

A . Đặt vấn đề
Trong hệ thống Giáo dục có một bậc Tiểu học đợc coi là
nền móng đó là bậc tiểu học . Tiểu học là cấp học nền tảng
đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân
cách của con ngời , đặt nền móng vững chắc cho giáo dục
phổ thông và cho toàn hệ thống giáo dục quốc dân . Trong các
môn học ở tiểu học thì môn toán là một trong những môn giữ
vị trí vô cùng quan trọng .
Để dạy và học tốt Bộ GD và ĐT đã nêu ra 3 phơng hớng
cơ bản trong công cuộc đổi mới giáo dục đào tạo đó là : Đổi
mới chơng trình SGK , đổi mới phơng pháp học và đổi mới
đánh giá kết quả học tập của học sinh . Trong đó việc đổi mới
phơng pháp dạy học đợc coi là nội dung trọng yếu . Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực phải kích thích đợc nhu
cầu và hứng thú học tập của học sinh, chú trọng rèn luyện tự
học , chủ động sáng tạo trong việc phát hiện và giải quyết vấn
đề . Tuy nhiên trong môn Toán ở Tiểu học về mảng kiến thức
liên quan đến dãy số cách đều thờng khó và tạo cho học
sinh tâm lí những bài toán này quá sức với khả năng của
mình
Với trăn chở làm sao để kích thích đợc nhu cầu và
hứng thú học tập cho học sinh , giúp các em chủ động lĩnh hội
kiến thức , tự tin khi làm các dạng bài về dãy số cách đều , tôi
đã nghiên cứu và xin đa ra phơng pháp giải một số dạng bài
toán liên quan đến dãy số cách đều nhằm nâng cao chất lợng
dạy học nội dung liên quan đến dãy số cách đều nói riêng và
môn Toán nói chung .

B . Nội dung và phơng pháp giải
quyết

dới đây rồi viết thêm 5 số nữa
a, 3 ; 6; 9; 12; .....
b, 1; 5; 9; 13; ....
Bài 2 Cho dãy số tự nhiên chẵn từ 2 đến 102
a, Tìm trung bình cộng các số của dãy số trên
b, Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số
Bài 3 Cho dãy số lẻ liên tiếp : 1; 3; 5; 7; 9; ....; x
Tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng
Thang điểm của mỗi bài nh sau :
Bài 1 : 3 điểm
Bài 2 : ý a 3 điểm , ý b, 2 điểm
Bài 3 ; 2 điểm
2


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Sau khi học sinh làm bài khảo sát , tôi chấm tổng hợp thì
thu đợc kết quả nh sau :
Điểm

25 học sinh

Giỏi

1 HS = 4 %

Khá

6 HS = 24 %


Một số học sinh còn lời suy nghĩ , cha có ý thức vơn lên
trong học tập
Một số giáo viên còn xem nhẹ mảng kiến thức này , từ đó
giáo viên chỉ đa ra lời giải bài toán liên quan đến dãy số cách
3


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
đều mà cha đa ra cho các em hớng t duy cụ thể để có đợc lời
giải đó
3 .Vấn đề cần giải quyết :
Để khắc phục thực trạng và nguyên nhân trên ,tôi xin giới
thiệu với quý thầy cô và các em học sinh : Phơng pháp giải
một số dạng bài toán liên quan đến dãy số cách đều
4 . Phơng pháp tiến hành :
Trong quá trình dạy học , không có một phơng
pháp ,hình thức dạy học nào là vạn năng . Do đó để dạy học có
hiệu quả cần sử dụng phối hợp hài hoà giữa các phơng pháp ,
hình thức sau:
+ Phơng pháp trực quan
+ Phơng pháp vấn đáp
+ Phơng pháp phân tích tổng hợp
+ Phơng pháp thực hành , luyện tập
+ Thực nghiệm s phạm
+ Phơng pháp thống kê toán học để sử lí dữ kiện sau thử
nghiệm
Các dạng bài và phơng pháp giải các bài toán liên
quan đến dãy số cách đều

Dạng 1 : Tìm quy luật viết dãy số cách đều

Nhận xét :
1+2=3
3 +2 = 5
5+2=7
7+2=9
......................
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém )
nhau 2 đơn vị ,
Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :
1; 3; 5; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19
c, Nhận xét :
6 + 6 = 12
12 + 6 = 18
18 + 6 = 24
..................
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém )
nhau 6 đơn vị ,
5


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :
6 ; 12; 18 ; 24 ;30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54
Tơng tự , em hãy tìm quy luật khác để viết dãy số tự
nhiên ở câu a ? GV có thể gợi ý cho học sinh ( tìm mối quan hệ
giữa số hạng và số chỉ vị trí , khoảng cách )
ở đây tôi cho học sinh thảo luận nhóm để tìm ra các quy
luật khác cũng để viết dãy số trên . Khi hỏi các em đều trình
bày đợc ( ở đây tôi chỉ trình bày quy luật còn viết thêm 5 số
hạng vẫn giống nh trình bày cách 1 )Nội dung các cách nh sau :

Từ bài tập trên tôi đã giúp học sinh đa ra đợc những nhận
xét về cách tìm quy luật viết các số trong dãy số cách đều nh
sau :
Trớc tiên cần dựa vào những số mà bài đã đa ra để tìm ra
quy luật.
ở đây tôi xin trình bày 3 quy luật điển hình nhất để tập
trung và phục vụ cho các em khi làm dạng bài sau của dãy số
cách đều :
Cách 1 : Quy luật : Mỗi số hạng bất kì = số hạng liền trớc nó + a
( trong đó a chính là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp trong
dãy )
Cách 2 : Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x khoảng
cách .....
Cách 3: Quy luật : Mỗi số hạng bất kì của dãy : a = ( số chỉ vị
trí .... ) ( d ....)
( trong đó a chính là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp trong
dãy )
Để phát huy tính tích cực chủ động lĩnh hội kiến thức của
học sinh , tôi đã cho các em thi tự đặt đề toán về dạng bài
tìm quy luật của dãy số cách đều và tự giải các bài toán đó .
Các em tham gia rất tích cực và thu đợc nhiều kết quả khả
quan. Sau đây tôi xin trình bày 1 số đề toán các em đã xây
dựng :
Bài 1 Tìm quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số sau :
a, 1 ; 2; 3; 4; ....; 97 ; 98; 99
b,3 ; 6 ; 9 ; 12; 15 ; .....
c.10 ; 20 ; 30 ; 40 ; .....
Bài 2 Nêu quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số sau rồi viết
thêm 5 số nữa vào dãy số .
a, 4; 8 ; 12; 16; 20 ; ....

d, 1 ; 3; 5;7 ;9 ....111;113
HS đếm và dễ dàng trả lời đợc:a,có 12 số hạng ;b,có 5 số hạng
;c, có 4 số hạng
Còn câu d sẽ tạo ra vấn đề cần giải quyết đối với học sinh
Từ đó , tôi kẻ bảng và hớng dẫn học sinh thiết lập công thức
nh sau :
Dãy số
1;2 ;3; 4; 5; .... ,

Khoảng

Số các số

cách

hạng

1

9
8

Nhận xét
9=(9-


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
9
1;2 ; 3;


Từ các ví dụ mang tính cụ thể , trực quan HS sẽ tự mình
chiếm lĩnh tri thức và đa ra đợc công thức tính đúng . Do đó
HS có thể làm đợc các bài tập mang tính khái quát , t duy hơn
nh câu d < kết quả là 57 số hạng > và bài tập minh hoạ trong
phần thực hành luyện tập sau :
Bớc 2 ; HS thực hành làm 1 số bài tập
Bài 1 Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, ....95; 98 ; 101
Tính xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng
GV hớng dẫn HS theo các câu hỏi nh sau :
+, Bài toán cho biết gì ? ( Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, ....95 ;
98 ; 101 )
+ , 2 số hạng liên tiếp của dãy hơn ( kém ) nhau bao nhiêu
đơn vị ? Vì sao ? ( vì 2 + 3 = 5 , 5 + 3 = 8 , 8 + 3 =
11, ....,98 + 3 = 101
Nên : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3 đơn vị )
Vậy đó là dãy số cách đều có :
- Khoảng cách là bao nhiêu ? ( là 3 )
- Số lớn nhất của dãy số là bao nhiêu ? ( 101 )
- Số bé nhất của dãy số là bao nhiêu ? ( 2 )
Từ đó các em muốn tính xem dãy số trên có bao nhiêu số
hạng ta làm thế nào ? ( Dựa vào công thức :
9


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Số các số hạng = ( số hạng lớn nhất số hạng bé nhất ) : khoảng
cách + 1

Em sẽ tìm đợc số các số hạng của dãy số )
Bài giải ( Cách 1)

10


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Muốn tìm xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng thì trớc tiên ta
phải tìm gì ?
( tìm số chỉ vị trí của số 101 )
Tìm số chỉ vị trí của số 101 bằng cách nào ?
(Gọi số chỉ vị trí của số 101 là n , ta có :
n x3 -1 = 101
n x3

= 101 +1

n x3

= 102

n

= 102 : 3

n

= 34

Từ đó ta có cách giải thứ 2 nh sau :
Bài giải ( Cách 2)
Nhận xét :
2=1x3-1

11


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Lu ý HS : Cách này có thể vận dụng linh hoạt cho 1 số bài
tập nh sau :
VD 1 : Dãy số : 1, 2, 3, ....100 có bao nhiêu số hạng ?
Nhận xét :
1=1x1
2=2x1
3=3x1
..............
100 = 100 x 1
Quy luật : số hạng = số chỉ vị trí x 1 ( 1 là khoảng cách )
100 = 100 x 1
Vậy dãy số trên có 100 số hạng
VD 2 dãy số : 3, 7 ,11, .... 403 có bao nhiêu số hạng ?
Nhận xét :
3=1x4-1
7=2x4-1
11 = 3 x 4 - 1
....................
403 = số chỉ vị trí x 4 - 1
Quy luật : số hạng = số chỉ vị trí x 4 - 1 ( 4 là khoảng
cách )
Số chỉ vị trí của số 403 là n . Ta có :
n x4 - 1 = 403
n x4

= 403 +1

n x4

= 401 +3

n x4

= 404

n

= 404 : 4

n

= 101

Vậy số hạng cuối cùng của dãy đứng ở vị trí thứ 101 hay dãy
số trên có 101 số hạng
Ngoài 2 cách trên bài toán còn có cách 3 . Tôi hớng dẫn nh
sau :
+, Ngoài 2 quy luật viết dãy số trên , bạn nào tìm đợc quy
luật khác để viết dãy số ? GV gợi ý : lấy mỗi số hạng chia cho
khoảng cách
(Các số hạng của dãy chia cho 3 đều d 2 và thơng kém số chỉ
vị trí 1 đơn vị )
+, Muốn tìm số các số hạng của dãy ta phải làm thế nào ?
( Tìm vị trí của số 101 )
+, Số vị trí của số 101 là bao nhiêu ? ( là 34 vì Số 101 chia
cho 3 đợc 33 d 2 nên số chỉ vị trí của 101 là : 33 + 1 = 34)
Vậy dãy số đó có bao nhiêu số hạng ? ( 34 số hạng )

hơn ( kém ) nhau 3 đơn vị>
- Vậy khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là bao nhiêu ?
< là 3 >
- Số hạng bé nhất của dãy số trên là số nào ? < số 50 >
- Số hạng lớn nhất của dãy số trên là số nào ? < số 260 >
Từ đó các em sử dụng công thức vừa xây dựng để tìm
kết quả
Bài giải ( Cách 1)
Nhận xét
50 + 3 = 53
53 + 3 = 58
58 + 3 = 61
.................
254 + 3 = 257
257 + 3 = 260
14


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3 đơn
vị
Số các số hạng của dãy là :
(260 - 50 ) : 3 + 1 = 71 ( số )
Vậy dãy số trên có 71 số hạng
HS có thể vận dụng linh hoạt để tìm ra một số cách giải
khác tơng tự cách 2 , cách 3 ở VD minh hoạ, tôi hỏi :
Em hãy tìm quy luật khác để viết dãy số trên ?
(mỗi số hạng = số chỉ vị trí x 3 + 47)
Từ đó các em phải tìm gì nữa ? ( tìm số chỉ vị trí của
số 260 )

= 213

n

= 213 : 3

n

= 71

Vậy số hạng cuối cùng của dãy đứng ở vị trí thứ 71 hay dãy
số trên có 71 số hạng
Tuy nhiên ở đây , 50 : 3 = 16 ( d 2 ) , 50 : 3 = 17 ( d 2 )
.... nhng không sử dụng tơng tự nh cách 3 phần ví dụ minh hoạ
đợc vì 16 là số tơng đối xa so vơí số chỉ vị trí là 1 .
15


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Vậy bài toán này có 2 quy luật của dãy số tơng ứng với 2
cách giải đó là :
- Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3
đơn vị
- Quy luật : mỗi số hạng = số chỉ vị trí x 3 + 47
Bài 3
a, Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số
b, , Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số
Phân tích
- Bài toán này cha cho cụ thể các số hạng của dãy số . Ta cần
tìm cụ thể dãy số đó

Cách 3 : NX : số hạng : 2 = số chỉ vị trí + 4
Số chỉ vị trí của số 98 là :
98 : 2 - 4 = 45
Vậy dãy số có 45 số hạng
b, Tơng tự
Dãy số : 101; 103; ....997; 999 có :
( 999 - 101 ) : 2 + 1 = 450 ( số )
Đáp số : 450 số
Qua quá trình dạy học tôi nhận thấy HS thờng mắc một số
sai lầm sau :
Sai lầm : Bài toán yêu cầu tìm số các số hạng thì học sinh
lại trả lời số hạng là < chẳng hạn số hạng là 45 số >
Khắc phục : Giúp học sinh nhận biết , phân

biệt rõ số

hạng và số các số hạng
Tóm lại : Để giúp học sinh làm tốt dạng toán này , GV cần hớng dẫn học sinh có các kĩ năng nh sau :
+ Nhận ra đợc dãy số bài ra là dãy số cách đều và tìm ra
đợc ( khoảng cách , số hạng bé nhất , số hạng lớn nhất của dãy
số )
+ Tìm quy luật viết dãy số
+ Tìm số các số hạng của dãy số phù hợp với từng quy luật
của dãy
Trên đây tôi xin đa ra 3 quy luật viết dãy số điển hình
nhất . Từ đó sẽ có tơng ứng 3 cách tìm số số hạng của dãy . Tuy
nhiên tôi hớng dẫn các em nên sử dụng cách 1 ( cách sử dụng
công thức ) thì thờng sẽ sử dụng đợc đối vơí tất cả các bài tập
ở dạng này . Còn cách 2 và cách 3 liên quan đến số chỉ vị
trí , khoảng cách, số d , khi áp dụng với 1 số bài toán sẽ không

Hớng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài :
+, Bài toán cho biết gì ? (dãy số tự nhiên gồm 30 số lẻ liên
tiếp kể từ 1)
+ Bài toán hỏi gì ? (số hạng thứ 30 là số nào ?)
Để giúp học sinh hiểu sâu hơn tôi nhắc : số hạng thứ 30
nghĩa là số hạng ở vị trí thứ 30
Hớng dẫn học sinh suy nghĩ tìm cách giải
+ Em nhận xét gì về dãy số bài ra ? ( Dãy số cách đều vì
đây là dãy số lẻ liên tiếp , dãy số có : số hạng bé nhất là 1 ,
khoảng cách là 2 )
Từ đó muốn tìm số hạng thứ 30 của dãy ra làm nh thế
nào ? (Gọi số hạng thứ 30 là x . Ta có :
( x - 1 ) : 2 + 1 = 30
18


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
(x-1):2

= 30 - 1

(x-1):2

= 29

x-1

= 29 x 2

x-1


= 59

Vậy số hạng thứ 30 của dãy là số 59
Từ đó tôi giúp học sinh đa ra phơng pháp giải dạng
bài tìm số hạng thứ x của dãy số cách đều theo các bớc
nh sau :
Bớc 1 : Tìm quy luật của dãy số cách đều < khoảng
cách >
Bớc 2: Gọi số hạng thứ ..... là x
Bớc 3 : áp dụng công thức đã xây dựng
x =( số hạng thứ x số hạng bé nhất ) : khoảng cách +
1
Từ đây ta sẽ tìm đợc số hạng thứ x
Để phát huy tính tích cực của học sinh , tôi cho học sinh
thảo luận nhóm để tìm ra 1 số cách làm khác .Gv có thể gợi ý
cho học sinh : liệt kê các số hạng của dãy , tìm quy luật của dãy
số rồi từ đó tìm ra kết quả . Khi hỏi các em đã nêu thêm đợc
rất nhiều cách . Sau đây là nội dung từng cách :
Cách 2:< liệt kê>
19


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Liệt kê tất cả 30 số lẻ liên tiếp kể từ 1 ta có dãy số sau :
1 ; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33;
35; 37; 39; 41; 43; 45; 47; 49; 51; 53; 55; 57; 59;
Số lẻ thứ 30 là số 59
Cách 3 :
Nếu viết thêm 30 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 theo cách

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
29 x 2 + 1 = 59
Cách 6
Nhận xét:
1=1x2-1
3=2x2-1
5=3x2-1
7=4x2-1
........................
Mỗi số hạng bằng số chỉ vị trí nhân với 2 rồi trừ đi 1
Số hạng thứ 30 của dãy là :
30 x 2 - 1 = 59
Cách 7
Nhận xét :
1=(1-1)x2+1
3=(2-1)x2+1
5=(3-1)x2+1
7=(4-1)x2+1
..............................
Mỗi số hạng của dãy = ( số chỉ vị trí - 1 ) x2 + 1
Số hạng thứ 30 của dãy là :
( 30 - 1 ) x 2 - 1 = 59
Để giúp học sinh chọn cách làm phù hợp , tôi đã hớng dẫn học
sinh bằng các câu hỏi nh sau :
+ Nh vậy để giải bài toán trên , các em có thể sử dụng
những cách nào ? ( HS trả lời : - áp dụng công thức đã xây
dựng
- Liệt kê các số hạng của dãy số ( viết thêm số hạng
vào dãy số để tạo thành dãy số mới phù hợp )
-Từ quy luật của dãy số để tìm số hạng cần tìm

ở đây câu a và câu b tôi chỉ đa ra 1 cách giải thông
dụng nhất còn các cách khác tôi khuyến khích các em làm ở
nhà . Chủ yếu ở đây tôi hớng dẫn các em đến ý c thuộc dạng
xét xem số có thuộc dãy số không và nếu thuộc thì là số hạng
thứ bao nhiêu ? Tôi hớng dẫn các em nh sau :
Câu hoỉ ý c gồm mấy yêu cầu ? ( 2 yêu cầu : xét xem số
đã cho có thuộc dãy số không , nếu thuộc thì nó là số hạng thứ
bao nhiêu )
Để biết số đã cho có thuộc dãy số đã cho không tôi hớng dẫn
nh sau :
Dựa vào công thức :
22


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
x =( số hạng thứ x - số hạng bé nhất ) : khoảng cách + 1
Do đó muốn biết 56 có thuộc dãy số không ta làm nh thế
nào ? ( nếu 56 thuộc dãy số thì ( 56 - số bé nhất ) chia hết cho
khoảng cách và ngợc lại
( 56 - 2 = 54 chia hết cho 3 nên 56 thuộc dãy số )
56 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy ? vì sao ?( 56 là số hạng
thứ 19 của dãy vì ( 56 - 2 ) : 3 + 1 =18 + 1 = 19 )
Tơng tự 75 có thuộc dãy số không ?
( 75 - 2 = 73 không chia hết cho 3 nên 75 không thuộc dãy
số )
113 có thuộc dãy số không ? vì sao ? ( không thuộc dãy số
vì 113 lớn hơn số lớn nhất của dãy là số 110 )
Hớng dẫn giải
a, Kết quả : số các số hạng = ( 110 - 2 ) : 3 + 1 = 37 ( số )
b, Kết quả : Gọi số hạng thứ 25 của dãy là x , ta có :

8:3=2(d2)
.........................
107 : 3 = 35 ( d 2 )
110 : 3 = 36 ( d 2 )
Quy luật : mỗi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều d 2 và thơng kém số chỉ vị trí của nó 1 đơn vị
Xét số 56 ta có :
56 : 3 = 18 ( d 2 )
Vậy 56 là số hạng của dãy
Vì thơng luôn kém số chỉ vị trí 1 đơn vị nên 56 là số
hạng thứ 18+ 1= 19 của dãy số trên
- Xét số 75 ta có :
- 75 : 3 = 25 ( d 0 )
- Vậy 75 không phải là số hạng của dãy số trên
Lu ý : Phơng pháp kiểm tra xem số x có thuộc dãy số không
ta làm nh sau:
Bớc 1 : So sánh số x với số bé nhất và số lớn nhất của dãy số
+ Nếu số lớn nhất < x hoặc x < số bé nhất của dãy số thì
kết luận luôn x không thuộc dãy số bài ra
+ Nếu số bé nhất của dãy < x < số lớn nhất của dãy thì
chuyển sang bớc 2
Bớc 2 :
- Nếu số x thuộc dãy số thì : ( x - số bé nhất ) chia hết cho
khoảng cách
- Nếu số x không thuộc dãy số thì : ( x - số bé nhất ) không
chia hết cho khoảng cách
24


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2009 - 2010
Bài 2 : Cho dãy số : 1; 3; 5; 7; ....là một dãy số lẻ liên tiếp


nhiêu của dãy

Tìm số hạng thứ 18 của

Số 18 là số hạng thứ

dãy số

bao nhiêu của dãy số

Tìm số hạng của dãy

Tìm vị trí của số

cần

hạng trong dãy

tìm
Công

số hạng thứ x = ( x - 1) x

( x - số bé nhất ) :

thức

khoảng cách + số hạng