Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
PhầnI :Một số vấn đề chung
1)l ý do chọn đề tài :
a/ Cơ sở lý luận:
Việc giải toán, việc giải quyết vấn đề trong cuộc sống có những vấn đề giống
nhau nếu cả hai việc đó đều đuợc tiến hành một cách khoa học.
Thật vậy toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát
triển và rèn luyện kỹ năng, t duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận,
kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng t duy lôgíc cho học sinh .
Trong chơng trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán cực trị giữ vai
trò vô cùng quan trọng, nó rèn cho học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp, t duy sáng
tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực t duy và sự
linh hoạt trong giải toán.
b/ Cơ sở thực tiễn:
Là một giáo viên giảng dậy môn toán lớp 9 , trong quá trình giảng dạy và ôn tập cho
học sinh lớp 9 chuẩn bị thi hết bậc học THCS , thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và bồi
dỡng học sinh giỏi trong nhiều năm qua tôi nhận thấy: Các bài toán tìm cực trị th-
ờng gặp nhiều, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nó
lại là một phần kến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua hoặc chỉ có
một số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết quả không cao . Các em
rất lúng túng khi gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải . trong khi đó vấn đề
này ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu. Các tài liệu tham khảo không
nhiều mà chỉ chung chung không có phơng pháp cụ thể .
Để giúp các em vợt qua trở ngại này trong nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rút
kinh nghiệm và đi sâu nghiên cứu đề tài : Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị.
Để phân dạng và tìm ra phơng pháp giải cho từng dạng bài toán tìm cực trị . Nhằm
trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ năng cơ bản khi giải các bài
toán tìm cực trị .
1
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
2)Mục đích nghiên cứu :

- Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm về đổi mới nội dung và phơng pháp
giảng dạy dạng toán "Cực trị ".
3
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Phần II: Nội dung
A/ cơ sở lý thuyết
I/ Nguyên tắc chung về cực trị:
a) Cho biểu thức A. Ta chứng minh đợc A


(

là hằng số)và phơng trình A=

cho ta
ít nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết
luận MinA=

Ngợc lại ta chứng minh đợc A


(

là hằng số) và phơng trình A=

cho ta ít
nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết
luận MaxA=

b) Bài toán cực trị hình học là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
a > b ; c > d
dbca
+>+
* Chú ý: Không đợc trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều
4
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
1.5) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngợc chiều:
a > b ; c < d
dbca
>
1.6) Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) a > b ; c > 0
bcac
>

b) a > b ; c < 0
bcac
<
1.7) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm :
a > b
0

, c > d
0

,
bdac
>
1.8) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức :

a = 1
nm
aa =
0 < a < 1
nm
aa <
1.10) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:
a > b , ab > 0
ba
11
<
2) Một số bất đẳng thức th ờng dùng:
a) a
2


0 ; -a
2


0. Dấu = xảy ra khi a = 0
b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả:
Cho n số không âm a
1
,a
2
, ,a
n
.Ta có: a
1

2,
, ,b
n

Ta luôn có :
( )
22
2
2
1

n
aaa +++
.
( )
22
2
2
1

n
bbb +++

( )
nn
baba ++
11
2
5
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị


3/Bất đẳng thức trong hình học :
a) Nếu tam giác ABC có góc A = 90
o
thì AC

BC ( Dấu = xảy ra khi tam giác
ABC suy biến thành đoạn thẳng hay A

B ).
b) Với tam giác ABC tuỳ ý ta luôn có:
AB + BC

AC . Dấu = khi tam giác ABC suy biến( B nằm giữa A và C ).
c)Quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác .
Cho tam giác ABC , nếu góc A

góc B

BC

AC .
d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất .
Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm hơn là dây cung lớn hơn và ngợc lại
Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngợc lại
III/ Một số ph ơng pháp th ờng áp dụng:
1/ Đ a về tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: P(x) =ax
2
+bx+c

x
2
2
-
a4

;
( )
acb ã4
2
=
Vì






+
a
b
x
2
2


0 với mọi x nên :
+Nếu a > 0 thì P(x)đạt GTNN bằng -
a4


Mô hình tổng quát:
6
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Xét A=P(x) (1) Tìm Min A ; Max A.
Hàm P(x) có tập xác định khác

ta biến đổi (1) về dạng:
( )
A

x
2
+
( )
A

x+
( )
A

=0 (2)
ở đây A tham gia với t cách nh một tham số. Vì tập xác định của P(x) khác rỗng nên
pt(2) cần có nghiệm.
Từ đó

(A) =
2

(A) - 4


+x
) +
3
1

A = -3 (x +
3
2
)
2
+
3
1

3
1

(vì -3 (x +
3
2
)
2

0

)
Dấu = xảy ra khi x +
3
2
= 0

= 2(x - 3)
2
+ 2
2
( vì 2(x - 3)
2

0

)
7
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Dấu = xảy ra khi x-3 = 0

x=3 . Vậy Min B = 2 khi x=3.
Một số bài tập cùng dạng
a)Tìm GTNN của biểu thức sau :
C = (x + 1)
2
+ (x + 3)
2
D = 2x
2
- 8x - 1
b)Tìm GTLN của biểu thức sau :
A = -x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
+ Chú ý : Học sinh có thể mắc sai lầm khi tính GTNN của B ở Ví dụ 2
B = (x - 2)
2
+(x- 4)


(x-2)(x-3)
0



2
3

x
Vậy Min A = 1 khi 2
3

x
*Cách 2 : Dùng phơng pháp đánh giá :
Nếu x < 2 suy ra A = -x + 2 - x + 3 =- 2x + 5 > 5 - 2.2 = 1.
Nếu 2

x
3

suy ra A = x - 2 - x + 3 = 1
Nếu x >3 suy ra A = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 > 2.3 - 5 = 1
Từ đó Min A = 1 khi 2
3

x
Có thể dùng phơng pháp đồ thị hàm số : y =
32 + xx
ta tìm đợc Min y .

x

2
1
.

0
2
1
+x
Dấu = xảy ra khi x =-
2
1
, vậy Min y =
2
3
khi x =-
2
1
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A =
3212 +++++ xxxx
Giải :
áp dụng bất đẳng thức
BABA ++
ta có :
5323232 =++=++ xxxxxx
(1) Dấu = xảy ra khi -2

x


2
- 4t + 5 = (t - 2)
2
+ 1
1
Dấu = xảy ra khi t = 2 hay
213 =x
hay x = 1 hoặc x = -
3
1
Vậy Min A = 1 khi x = 1 hoặc x = -
3
1
Một số bài tập cùng dạng
Tìm GTNN của biểu thức sau:
A =
2
)2003( x+
+
2
)2002( x+
B =
21
22
++ xxxx
3)Các bài toán cực trị dùng ph ơng pháp đánh giá :
A
2
+


Giải :
Ta có B = (x
2
-2x+1)+(x
2
-2xy+y
2
)+2 = (x-1)
2
+(x-y)
2
+2
2

Dấu = xảy ra khi x = y= 1.
Vậy Min B = 2 khi x = y= 1.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau: C= x(x-3)(x-4)(x-7)
Giải :
Ta có C = (x
2
-7x)(x
2
-7x+12) = [(x
2
-7x +6)-6] [(x
2
-7x +6) +6]
= (x
2
-7x +6)


Dấu = xảy ra khi x = y =1. Vậy Min A = -3 khi x=y=1
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức sau: B = m
2
- 4mn + 5n
2
+ 10 m - 22 n + 28
Giải :
Ta có B = [m
2
- 2m (2n-5) + (2n - 5)
2
] +(n
2
- 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5)
2
+(n-1)
2
+2
2

10
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Dấu = xảy ra khi m =-3 ; n = 1. Vậy Min B = 2 khi m=-3 ; n = 1
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức sau: D = 4x
2
+ 2y
2
- 4xy - 20x - 4y + 174
Giải :

-2xy+2y
2
+2x-10y+17
4) Các bài toán dựa vào điều kiện có nghiệm của ph ơng trùnh bậc hai :
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A=
2
32
2
2
+
++
x
xx
Giải :
Viết biểu thức đã cho về dạng: (A-1)x
2
-2x+(2A-3)=0 (1)
Với A
1
thì pt (1) trở thành pt bậc hai của x; pt(1) có nghiệm khi
0
/

hay
1-(2A-3)(A-1)
0


01)1)(32( AA


1
1
2
++
+
xx
x
Giải:
Viết hệ thức về dạng : yx
2
+(y-1)x+(y-1) = 0 (1)
Khi y
0

phơng trình (1) là phơng trình bậc hai của x.
11
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Pt(1) có nghiệm khi
0


hay (y- 1)
2
- 4y(y- 1)
0

)1()1(4 yyy
2

0

Khi A
1
thì pt(1) là phơng trình bậc hai của x, pt (1) có nghiệm khi :
0)1(4)1(
2222
+= AyAy

0])1()22[(
222
+ AAy
3
1
0)3)(13(
2
AAy
3

A
Ta có A=3 khi x=-y và A=
3
1
khi x=y. Vậy MaxA = 3 và MinA =
3
1
Ví dụ 4: Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình:
x
2
y + 2xy- 4x + y= 0 (1)
sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Giải :

Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
b) Xác định tất cả các giá trị của a sao cho nghiệm của phơng trình sau là lớn
nhất, nhỏ nhất : x
4
+ 2x
2
+2ax + a
2
+ 2a +1 = 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
2
)1992( +x
x
5) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi .
Ví dụ 1: Cho x; y thay đổi sao cho 0
40;3 yx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=(3 - x)(4 - y)(2x + 3y)
Giải :
Do 0
3

x
; 0
4 y
03

x
; 4- y
0

4
22
cb
cb
acb
cb
a
+
+

+
+
+
= a (1) Dấu = xảy ra khi 2a = b + c
Tơng tự :

b
ca
ca
b

+
+
+
4
2
(2) Dấu = xảy ra khi 2b = a + cc

khi a = b = c =
3
1
13
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dơng, tìm giá trị nho nhất của : P =(a + b + c)(
cba
111
++
)
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c ta có a +b + c
3
3 abc
(1)
cba
111
++
3

3
1
abc
(2) Nhân theo vế (1), (2) ta có P
9

dấu = xảy ra khi a = b = c
Vậy Min P = 9 khi a = b = c
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho 3 số dơng thoả mãn: a + b + c = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2
= 1
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M =xz +yt
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki . Cho: a
1
= x ; b
1
= z ; a
2
= y ; b
2
= t
Ta có : ( xz + yt )
2


( x
2
+ y
2
) ( z
2
+ t
2
) = 1
1
2
M
11

; a
2
=
3
y ; b
2
=
3
Ta có : ( a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2


( a
1
2
+ a
2
2
)( b
1
2
+b

Tìm giá trị nhỏ nhất của : M =
14 +a
+
14 +b
+
14 +c
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho : a
1
= a
2
= a
3
= 1
b
1
=
14 +a
; b
2
=
14 +b
; b
3
=
14 +c
Ta có (a
1
b
1

)
Hay M
2
3

(4a + 4b + 4c +3 ) = 21
Suy ra M
21
. Vậy max M =
21
khi a = b = c =
3
1
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho a
2
+ b
2
= 1 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của : a+ b
b) Cho x
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
= 1
Đặt M = u( x - y ) + v( x + y ).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của M.

=
y
15
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Ta có ( a
2
1
+ a
2
2
)( b
1
2
+ b
2
2
)

( a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2
Hay (
x

y
b
=
yx
ba
+
+
=
ba +
1
Hay x = a +
ab
; y = b +
ab
Vậy Min P = x + y = (
a
+
b
)
2
Khi x = a +
ab
; y = b +
ab
Ví dụ 2: Cho x , y , z > 0 thoả mãn x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P =
z
z
y
y


64
Dấu = xảy ra khi x = y = z =
3
1
Vậy Min P = 64
Ví dụ 3 : Cho x , y , z là 3 số dơng ; x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của : M =
xyz
yx +
Giải :
Ta có 1 = (x + y ) + z
2
.
zyx )( +

1


zyx )(4 +

x + y

4.(x + y )
2
. z = 4(x
2
+ y
2
).z + 8xyz

+ d
2
+ab + ac + ad + bc + bd + cd
.10

Giải:
16
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ab + ac + ad + bc + bd + cd
.10


10
5
)(abcd
= 10
Từ đó nếu đặt M = a
2
+b
2
+c

S
S
=
ABC
AEF
S
S2
=2
AC
AE
AB
AF
.
. (1)
Vì
BC
MC
AB
AF
=
;
1=+=
AC
AE
AB
AF
BC
MB
AC
AE

S
ABC
Dấu = xảy ra khi M là trung điểm của BC
Vậy Max S
AEMF
=
2
1
S
ABC
khi M là trung điểm của BC
Ví dụ 2:
17
F
E
A
B
C
M
E
F
A
B
C
M
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Cho tam giác ABC ( góc A = 90
o
).
M là một điểm di động trên cạnh huyền BC.

Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC , AH cắt MN ở K
Theo bài toán 2 ta có : S
MQHK

ABH
S
2
1

(1)
Dấu = khi MA = MB
S
NPHK

S
2
1

AHC
(2). Dấu = khi NA = NC
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có : S
MNPQ

2
1

S
ABC
Dấu = khi M là trung điểmcủa AB ( Khi đó N là trung điểm của AC )
Vậy Max S

B
M
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
S
AOB


2S
MEOF
. Dấu = khi MA = MB
Vậy S
AOB
đạt giá trị nhỏ nhất khi cát tuyến AB
nhận M làm trung điểm.
Ta có cách dựng AB nh sau:
- Qua M kẻ ME // Oy ( E

Ox ). Lấy EA = EO ( A

Ox ).
- Dựng đờng thẳng AM cắt Oy ở B .Ta có cát tuyến cần tìm.
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo AC .Gọi E và F lần lợt là
hình chiếu của M lên AD và DC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BEF là lớn
nhất ; nhỏ nhất.
b) Cho tứ giác ABCD, trên AB, BC, CD, DA lần lợt lấy các điểm K, L, M, N sao cho:
x
DA
DN
CD

/
+BC
/
= BC
/
+A
/
C
/
> AC + BC = A
/
B (đpcm).
Ví dụ 2 :Cho điểm A bên trong góc nhọn xOy cho trớc. Dựng tam giác ABC có chu vi
nhỏ nhất sao cho 2 đỉnh B và C nằm trên hai cạnh của góc xOy
Giải:
Gọi A
1
, A
2
lần lợt là các điểm đối xứng của A
19
C
A'
A
B
C'
d
C
B
A

A
2
= AB + BC + AC
Hay chu vi ABC lớn hơn chu vi ABC. Vậy chu vi ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 3:
Cho ABC , hãy xác định điểm M sao cho tổng các bán kính của các đờng tròn ngoại
tiếp các tam giác ABM và tam giác BCM là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp ABM và ACM là R
1
Và R
2
Ta có R
1
+ R
2



22
ACAB
+
.
Dấu = khi AB và AC là đờng kính của các đờng tròn đã cho.
Khi đó M là hình chiếu của A trên BC.
Vậy R
1
+ R
2
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

AB. Gọi
R
1
, R
2
, R
3
là bán kính của các đờng tròn nội tiếp các tam giác APB ,APH ,BPH
Xác định P trên đờng tròn để R
1
+ R
2
+ R
3
lớn nhất
Giải :
Vì R
1
là bán kính của đờng tròn nội tiếp APB vuông ở P nên
R
1
= (PA + PB - AB ) : 2 (Bán kính của đờng tròn
nội tiếp của tam giác vuông bằng tổng hai cạnh
góc vuông trừ cạnh huyền chia cho 2 )
Tơng tự : R
2
=
2
APHPAH +
R

Ta có tam giác MBD đều.
Vì MB = MD và góc BMD = góc BMA = góc BCA =60
0
21
H
B
O
A
P
B
C
O
A
M
D
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Suy ra góc ABD = góc CBM = 60
o
- góc DBC
Nên ABD = CBM
Vì BA = BC ; góc ABD = góc CBM ; BD = BM. Suy ra AD = MC.
Vậy MA = MD + AD = MB + MC ( đpcm).
Trở lại bài toán, từ kết quả trên ta có:
MA + MB + MC = 2MA đạt giá trị lớn nhất khi AM lớn nhất

AM là đờng kính của
đờng tròn

M là điểm chính giữa cung BC , Khi đó MA + MB + MC = 4R
Ví dụ 7:

B'
F
E
B
C
M
A
B'
B
C
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
c) Nếu góc ACB

90
o
thì M

C và M

C
*Một số bài tập cùng dạng
+ Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn (o). M là điểm bất kỳ trên cung
nhỏ BC . Từ M hạ ME , MF , MH vuông góc với các đờng thẳng AB, AC ,
BC .Tìm GTLN và GTNN của MA + MB + MC + ME + MF + MH.
+ Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB ,
AC tại B
1
, B
2
. Đờng thẳng song song với AB cắt CA , CB tại A

2

c

3.
Giải :
Ta gọi diện tích tam giác ABC là S .
Ta có : S
ab
2
1

(dấu = khi góc C = 90
0
). Suy ra S
12.1.
2
1
=
Dấu = khi tam giác ABC vuông ở C có a = 1, b = 2 .
Suy ra c =
5
thoả mãn : 2 < c < 3 . Vậy max S = 1.
Ví dụ 2 : Cho ( O; R ) , AC là đờng kính , BD là dây cung của ( O; R ) và BD vuông
góc với AC . Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Giải :
23
A
B
C

1
đến AB là a
1
, khoảng cách từ B
1
đến BC là b
1
, khoảng cách từ C
1
đến CA là c
1
.
Tìm GTNN của : P =
1 1 1
a b c
a b c
h h h
+ +
.
Giải :
Từ A
1
kẻ A
1
E

AB ; A
1
F


=
1
.
Tơng tự ta có :
ba
c
h
c
ca
b
h
b
cb
+
=
+
=
11
;
. Vậy : P =
1 1 1
a b c
a b c
h h h
+ +
=
ba
c
ac
b

2
9
)
111
)](()()[(
2
1

+
+
+
+
+
+++++
cbcaba
cbcaba
Dấu = xảy ra khi a = b = c ,hay tam giác ABC đều . Suy ra P
2
3

. Vậy min P =
2
3
.
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC và điểm 0 ở trong tam giác kẻ các đờng thẳng song song
với các cạnh, cách chúng một khoảng cách bằng khoảng cách từ 0 tới các cạnh đó.
Mỗi đờng thẳng ấy tạo với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia
24
A
1

=
+


2
2
2
1
.21)1(1
a
aa
h
x
h
x
h
x
S
S
++=+=+
.
2
2
1
2
a
a
h
x
h

z
S
S
+=
(3)
trong đó y, z là khoảng cách từ O đến AC và AB . S
2
và S
3
là diện tích hai hình thang
còn lại .
Cộng theo vế (1) , (2) , (3) ta có:
])()()[()(2
222
321
cbacba
h
z
h
y
h
x
h
z
h
y
h
x
S
SSS

1
===
cba
h
z
h
y
h
x
hay 0

G là trọng tâm tam giác ABC .
Vậy
1 2 3
s s s+ +
lớn nhất khi O là trọng tâm của tam giác ABC.
*Một số bài tập cùng dạng
a) Cho tam giác ABC nội tiếp ( 0, R ) lấy một điểm D trên cung BC không chứa điểm
A của đờng tròn đó .Hạ DH, DI, DK lần lợt vuông góc với BC, CA, AB .Tìm vị trí
điểm D để :
DK
AB
DI
AC
DH
BC
++
đạt giá trị nhỏ nhất .
b) Hai đờng tròn (0
1