§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình.

Dạng khai triển (dạng tổng quát):
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số có dạng:


Dạng ma trận

: ma trận hệ số

: cột ẩn số


: cột số hạng tự do.

Dạng véc tơ:

cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của ma trận hệ số)

Nhận xét: Hệ có nghiệm Cột số hạng tự do B biểu diễn
tuyến tính qua các cột của ma trận hệ số .

2. Điều kiện có nghiệm
Định lý (Cronecker - Capelli)
“Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: ”
Chứng minh(gồm hai phần)


Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng minh:

Từ đó ta có thể biến đổi các dòng r+1,…,m thành các dòng bằng 0.
Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau (giữ lại các
PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở):

Nếu thì hệ đã cho là hệ cramer, do đó nó có nghiệm duy nhất (xác
định theo quy tắc Cramer)

Nếu . Theo các chỉ số trên của định thức con cơ sở :

Hệ PT cơ sở của hệ ban đầu
Chú ý:
Hệ PT cơ sở được lập bằng cách giữ lại các PT của hệ ban đầu có
cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở của ma trận hệ số.
Và việc giải hệ ban đầu được chuyển thành việc giải hệ PT cơ sở (vì
chúng tương đương)

Ta gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại là các ẩn tự do.
Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các
ẩn chính). Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn
chính qua ẩn tự do. Trường hợp này hệ có Vô số nghiệm.

Tóm tắt các bước giải hệ
Bước 1: Lập và tính

Nếu hệ vô nghiệm.

Nếu (n:số ẩn) hệ là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất
(xác định bằng quy tắc Cramer)

Nếu hệ có vô số nghiệm, chuyển sang Bước 2

Từ định thức con cơ sở này ta lập hệ PT cơ sở (giữ lại 2 PT đầu
của hệ đã cho)
Cũng từ định thức con cơ sở ta quy định ẩn chính là , ẩn tự do

Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý: , ta được hệ:
Giải hệ này ta thu được:

Nghiệm tổng quát của hệ đã cho là:

Ví dụ 2: Giải hệ sau
Giải:
Tìm
Ta có:

Biến đổi sơ cấp trên (Không đổi chỗ cột cuối cho các cột còn lại)
