Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán-Tin
Chủ Đề 6
MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI
LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA
CHUỖI SỐ HỘI TỤ.
GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU.
Sinh Viên:
Nguyễn Minh Thành
Nguyễn Thị Thùy Phương
Bùi Văn Long
Bùi Thị Thu
Chủ đề 6 1
Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ
BÀI TOÁN 6
MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI
LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA
CHUỖI SỐ HỘI TỤ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Về lý thuyết, ta có một số phương pháp để xác định một chuỗi số hội tụ hay
không, và dĩ nhiên nếu chuỗi hội tụ thì giá trị của chuỗi là một số thực nào đó.
Trong thực tế, những con số người ta cần không phải là những con số thực mà
đơn giản là những số thập phân con người có khả năng chạm đến qua các
phương pháp đo đạc.
Do đó, có những chuỗi hội tụ không tính được giá trị chính xác (hoặc không
cần thiết phải tính giá trị chính xác) thì ta sẽ dùng tổng riêng
n
S
thay thế cho
giá trị chính xác xem như một giá trị gần đúng. Về mặt kỹ thuật, giá trị gần

n i
i n
R u
∞
= +
=
∑
: phần dư thứ n (xem như sai số ứng với tổng riêng
n
S
).
Ta có:
1
lim
lim lim( ) 0.
i n
n
i
n n
n n
u S S
R S S
∞
→∞
=
→∞ →∞
= =
⇒ = − =
∑


u
∞
=
∑

trong đó
1
lim 1
i
i
i
u
D
u
+
→∞
= <
.
Theo định nghĩa giới hạn, ta có:
với
1 1
1 , :
i i
i i
u u
D n i n D D D
u u
δ δ δ δ
+ +
< − ∃ ∀ > ⇒ − < ⇔ − < < +

u q u q u
u q u
u
R u u u q
q
+ +
+ + +
+ + +
∞ ∞ ∞
+
+ + +
= + = =
<


< <




<

⇒ = = < =
−
∑ ∑ ∑

Với sai số
ε
cho trước, ta chọn m sao cho
1

S
.

b. Thuật toán:
• Cho chuỗi
1
i
i
u
∞
=
∑
, sai số
ε
.
• Tính
1
lim
i
i
i
u
D
u
+
→∞
=

• Chọn
( ;1)q D∈

, , , .
n
u u u
, sai số làm tròn
0
.
4n
ε
≤

• Khi đó tổng
0
*
n
S
là giá trị gần đúng với sai số
0
1
1 4 2
n
u
q
ε ε
ε
+
+ + <
−
.
Chủ đề 6 3
Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ

i
u
i
u i
+
→∞
+
+
 
= = + →
 ÷
 
.
Chọn
2 3
(1 )
0.6 0.1 10 10 .
4
q
q
ε
− −
−
= ⇒ = × =
[ ]
1
1 1 1 1
1 5 5
2 2 1 2 0.6 1
i

0
0
10
13 10 0.5 10
4 52
n
n
ε
−
− −
= ⇒ = > > ×

⇒
tính
1 14
u u→
ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4.
i
*
i
u
i
*
i
u
i
*
i
u
1 0.5 6 0.0938 11 0.0054

3
14
14
0.0025.
1 2 0.4
u
q
ε
≤ = <
− ×
Sai số:
1 2 3
0.00065 0.005 0.0025 0.01.
ε ε ε ε
= + + ≤ + + ≤

Vậy chuỗi được tính gần đúng:
1
2.00 0.01.
2
i
i
i
∞
=
= ±
∑
3. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy:
a. Cơ sở toán học:
Cho chuỗi số dương hội tụ:

i
u q i n⇒ < ∀ >
Như vậy:
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1 0 0

1
n
n
n
n
n i
n i
n
n i
n i n i
i n i i
u q
u q

ε
cho trước, ta chọn m sao cho
1
1
(1 )
1 4 4
m
m
q q
q
q
ε ε
+
+
−
< ⇒ <
−
(1 )
log 1
4
q
q
m
ε
−
⇒ > −
.
Chọn
0
max{ , }n n m=

ε
.
• Tính
lim
i
i
i
D u
→∞
=

• Chọn
( ;1)q D∈
.
• Tìm n sao cho
i
i
i n u q∀ > ⇒ <
.
• Tìm m sao cho
(1 )
log 1
4
q
q
m
ε
−
> −
.

ε ε
ε
+
+ + <
−
.
c. Ví dụ:
Tính giá trị gần đúng của chuỗi số:
1
1 1
1
3
i
i
i
i
∞
=
 
+
 ÷
 
∑

với sai số không quá
2
10
−
.
Chủ đề 6 5

 
.
[ ]
2
3
3
0.4
(1 ) 0.6 10
1.5 10 .
4 4
log 1.5 10 1 7 .
q
m m
ε
−
−
−
− ×
= = ×
> × − → =

Chọn
2
4 4
0
0
10
7 10 0.5 10
4 28
n

Dùng
7
Σ
thay cho tổng riêng
7
S
, làm tròn đến số thập phân thứ 2: 1.05.
Sai số làm tròn lần 2:
2
2
0.5 10 .
ε
−
≤ ×
Sai số phương pháp:
0
1
8
3
0.4
0.0025.
1 0.6
n
q
q
ε
+
≤ = <
−
Sai số:

∑
trong đó f(x) là hàm liên tục, không âm và giảm trên
[1, )∞
và
1
( )f x dx
∞
∫
hội tụ.
Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân và tính giảm của f(x):
1
1
1
1
1 1 1
1
( 1) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i
i
i i
i i
i i
i n i n i n
i i
f i f x dx f c f i
f x dx f i f x dx
f x dx f i f x dx
+

+
∞
⇒ ≤ ≤ →
⇒ ∃ > ⇒ ≤
∫ ∫
∫

b. Thuật toán:
• Cho chuỗi số
1
( )
i
f i
∞
=
∑
, sai số
ε
.
• Tính
( ) ( )
n
g n f x dx
∞
=
∫
.
• Xác định
: ( )
4

1
1
i
i
∞
=
∑

với sai số không quá
2
10
−
.
Giải
Ta có:
3 2 2 2 2
2 2
2
2
1 1 1 1
( ) ( ) lim lim lim
2 2 2 2
10 1 10
( ) 200
4 2 4
m
m
m m m
n
n n

⇒
tính
1 15
u u→
ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4.
i
*
i
u
i
*
i
u
i
*
i
u
1 1 6 0.0046 11 0.0008
2 0.125 7 0.0029 12 0.0006
3 0.037 8 0.002 13 0.0005
4 0.0156 9 0.0014 14 0.0004
5 0.008 10 0.001 15 0.0003
15
*
15
1
1.2001
i
i
u

(15) 0.0025.
450
g
ε
≤ = <
Sai số:
1 2 3
0.00075 0.005 0.0025 0.01.
ε ε ε ε
= + + ≤ + + ≤

Vậy chuỗi được tính gần đúng:
3
1
1
1.20 0.01.
i
i
∞
=
= ±
∑
5. Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz:
a. Cơ sở toán học:
Cho chuỗi:
1
1
( 1)
i
i

( 1)
i
n i
i
A u
∞
+ +
=
= −
∑

( )
( )
2 1 2 1
2 1 1 1 2 1 2 1
0 0
2 1
1 2 1 2 1 1 2
1
2 1 1
( 1)
0 ,
m m
i
m n i n i n i
i i
m
n n m n i n i
i
m n

R u u
∞
+
+ +
= +
= − ≤
∑
.
b. Thuật toán:
• Cho chuỗi đan dấu Leibnitz
1
1
( 1)
i
i
i
u
∞
+
=
−
∑
, sai số
ε
.
• Xác định
1
:
4
n

( 1)
i
i
i
+
∞
=
−
∑

với sai số không vượt quá
2
10
−
.
Chủ đề 6 8
Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ
Giải
Ta có:
2
1
2
1 10
1 20 19
4 ( 1) 4
n
u n n
n
ε
−

i
u
i
*
i
u
1 1 6 -0.0278 11 0.0083 16 -0.0039
2 -0.25 7 0.0204 12 -0.0069 17 0.0035
3 0.1111 8 -0.0156 13 0.0059 18 -0.0031
4 -0.0625 9 0.0123 14 -0.0051 19 0.0028
5 0.04 10 -0.01 15 0.0044
19
Σ

0.8238
Sai số làm tròn lần 1:
4
1
19 0.5 10 0.00095 0.0025.
ε
−
≤ × × = <
Dùng
19
Σ
thay cho tổng riêng
19
S
, làm tròn đến số thập phân thứ 2: 0.82.
Sai số làm tròn lần 2:

i
+
∞
=
−
= ±
∑
6. Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin:
a. Cơ sở toán học:
 Định lý: Cho f(x) khả vi vô hạn lần và
:C
∃

( )
0 0
( ) , ( , )
n n
f x C x x R x R≤ ∀ ∈ − +

Khi đó ta có:
( )
0
0 0 0
0
( )
( 1)
1
0
0 0 0 0
0

= − + − ∈ − +
+
∑
∑

Khi đó sai số được xác định:
1
0
0
( 1)!
n
n
n
n
C
R x x
n
+
→∞
≤ − →
+

Đặc biệt:
Khi
0
0x =
ta có khai triển Maclaurin:
( ) ( 1)
1
0

.
Chủ đề 6 9
Một số công thức xác định sai số khi lấy tổng riêng thay cho tổng của chuỗi số hội tụ
b. Thuật toán:
• Tính giá trị hàm số f(x), sai số
ε
.
• Tính giá trị các đạo hàm
'(0), "(0), '''(0), f f f
• Tính
max{ ', ", '", }M f f f=
.
• Tìm n sao cho
1
( 1)! 4
n
M
x
n
ε
+
≤
+
.
• Tính các giá trị
( )
(0)
!
i
i

e
với sai số không vượt quá
3
10
−
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) (0) 1
x n x n
f x e f x e f= ⇒ = ⇒ =

Khai triển Maclaurin của
x
e
:
( 1)
1
0
1
2
1
0
( )
, (0, )
! ( 1)!
1
!2 ( 1)!2
i n

2 ( 1)!2 ( 1)!2 4
5
1
0.00025.
720 32
n
n n
n
e
R
n n
n
R
ξ
−
+ +
 
≤ ≤ ≤
 ÷
+ +
 
⇒ =
⇒ = <
×
5
5
0
1 1 1 1 1 1 6331
1
!2 2 8 48 384 3840 3840

Vậy
1.649 0.001.e = ±
C. KẾT LUẬN:
Nội dung đề tài này có thể không trình bày hết tất cả phương pháp tính sai số
của chuỗi, nhưng chúng tôi hy vọng qua đề tài này các bạn sẽ có được tư duy để
tìm ra cách tính sai số cho những bài toán thực tế, cụ thể của mình. Các dạng
chuỗi và các ví dụ được chúng tôi chọn có tính chất tiêu biểu để minh họa cho vấn
đề.
Đề tài có thể có nhiều sai sót, chúng tôi mong các bạn có thể đóng góp ý kiến
để hoàn thiện.
Chủ đề 6 10