1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN- TIN HỌC
TIỂU LUẬN
MÔN: PHƢƠNG PHÁP TÍNH
CHỦ ĐỀ 7: Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phƣơng Trình Bằng
Cách Dùng Phƣơng Pháp Chia Đôi Đoạn Chứa Nghiệm Hay Phƣơng Pháp Dây
Cung. Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phƣơng Trình Bằng Cách
Dùng Phƣơng Pháp Xấp Xỉ Newton

GVHD: T.S Trịnh Công Diệu
SVTH: Ngô Quang Định
Ngô Thị Kim Liên
Ngô Đức Thịnh
Trần Minh Cƣờng
2

NỘI DUNG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
III.THUẬT TOÁN VÀ VÍ DỤ

Phương trình trên trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình đại số bậc
1,2 ,3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói chung là không có một công thức tính
đúng nghiệm. Mặt khác, các hệ số của
 
fx
trong nhiều trường hợp là những số gần
đúng, cho nên vấn đề giải đúng (1) cũng không thật sự cần thiết. Vì vậy, việc tìm những
phương pháp giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt cũng như việc đánh giá độ
chính xác của nghiệm thực gần đúng có một vài trò quan trọng. Trong phần này, chúng ta
xét bài toán tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) với giả thiết
 
fx
là hàm số
thực xác định và liên tục trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nào đó.
II/. Cơ sở lý luận
Định lý 1
Nếu
f
là hàm số thực liên tục trên đoạn
 
,ab
và
   
0f a f b 
thì
 
,c a b
sao cho
 
0fc

,ab
.
   
"
0iv f x 
tại mọi
 
,x a b

Lấy
 
0
,x a b
sao cho
 
0
0fx
và
 
n
n
x
là dãy định bởi

 
 
 
 
 
00

*
x
trong đoạn
 
,ab
và
 
n
n
x
là dãy
trong đoạn
 
,ab
hội tụ về
*
x

-Hơn nữa ta có
2
*
2
11
1
2
n n n
M
x x x x
M


, với
 
*
1
,
n
c x x



Từ đây ta suy ra
 
1
*
1
1
(*)
n
n
fx
xx
M




Sử dụng khai triển Taylor ta có:
      
 
 

*
2
11
1
2
n n n
M
x x x x
M

  

Định lý 3. Nếu hàm
f
thỏa các điều kiện:
     
0i f a f b 

 
ii

f
khả vi liên tục đến cấp 2 trên
 
,, ab
   
  

   
 

 
0
1
0
n
n n n
n
x b f b
fx
x x x a
f x f a





  



hoặc
 
 
 
 
 
 
0
1
0

 
,ab
hội tụ về
*
x
.
Hơn nữa ta có:
*
11n n n
Mm
x x x x
m


  

Với:
 
'
0 m f x M    

Chứng minh:
 
 
 
 
1
n
n n n
n

 
 
 
 
* ' *
1
'
1
n
n n n n n
n
nn
f x f a
x x f c f x f x f x x x
xa
f r x x



      



Với
 
 
*
, ; ,
nn
c x x r a x

*
11n n n
Mm
x x x x
m


  6

III. Thuật toán và ví dụ
1/. Phƣơng pháp chia đôi
Giả sử phương trình
 
0 (1)fx
có nghiệm duy nhất
*
x
trên đoạn
 
,ab
và
   
.0f a f b 
. Bây giờ lấy
2
ab
c

2
ab
c


và tính
 
1
fc
, nếu
 
1
0fc
thì quá trình kết thúc,
*
1
xc
, nếu không ta lại tiếp tục quá trình này, và như vậy ta có dãy đoạn
 
*
,,
nn
a b n N
.
Tổng Quát
Nếu ta thực hiện liên tiếp thao tác chia đôi đoạn
 
,ab
như trên, thì tại bước thứ
n
*
lim lim
nn
nn
a b x
 


Hơn nữa khi
n 
thì từ (3) có
 
2
*
0fx



, vậy
*
x
là nghiệm của phương trình (1).
Sai số
Nói chung, khi dừng lại ở bước n thì ta có
1
()
2
nn

,
 
,ab
sao cho
   
0f a f b 
và hàm số
 
fx
liên tục trên đoạn
 
,ab
.
Bƣớc 0: Đặt
0
2
ab
x



Vì
   
0f a f b 
, do đó một trong hai trường hợp sau xảy ra:
+
 
0
0fx 
hoặc

1 1 0
,a a b x

Nếu
 
 
0
0f x f b 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
0
,xb
, do đó ta đặt:
1 0 1
,a x b b

Chuyển sang bước 1.
-Bƣớc 1: Đặt
11
1
2
ab
x



Vì
   
11
0f a f b 

11
0f a f x 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
11
,ax
, do đó ta đặt
2 1 2 1
,a a b x
.
Nếu
   
11
0f x f b 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
11
,xb
, do đó ta đặt
2 1 2 1
,a x b b

Chuyển sang bước 2
…….
Bƣớc n: Đặt
2
nn
n
ab
x

n
fx 
và
2
nn
ba




Nếu
   
0
nn
f a f x 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
,
nn
ax
, do đó ta đặt:
11
;
n n n n
a a b x



Nếu
   

Dừng lại ở bước thứ 6, lấy nghiệm gần đúng là
6
1.32032xx
, sai số 0.008

n

n
a

n
b

2


nn
n
ab
c

 
n
fc


nn
ba

0

-0.05151
0.08261
0.01458
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.01562
9

2/. Phƣơng pháp dây cung
Ý tưởng của phương pháp dây cung là thay cung đồ thị của hàm
 
y f x
bởi dây cung
AB
rồi lấy hoành độ
1
x
của giao điểm
P
của dây cung với trục hoành làm giá trị gần
đúng của nghiệm
*
x
. Ta minh họa phương pháp này bởi hình sau:

Phương trình dây cung

 
   
 
1
fa
x a b a
f b f a
  


Sau khi tính được
1
x
ta có thể xét khoảng chứa nghiệm mới
 
1
,ax
hoặc
 
1
,xb
rồi tiếp
tục áp dụng phương pháp dây cung. Cứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trị
23
, , xx
ngày
càng gần
*
x


 
0
0fx 
thì
0
x
là nghiệm và kết thúc
+
 
0
0fx 

Nếu
 
 
0
0f a f x 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
0
,ax
, do đó ta đặt:
1 1 0
,a a b x

Nếu
 
 
0
0f b f x 



+
 
1
0fx
thì
1
x
là nghiệm và kết thúc
+
 
1
0fx

Nếu
   
11
0f a f x 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
11
,ax
, do đó ta đặt:
2 1 2 1
,a a b x

Nếu
   
11





+
 
0
n
fx 
thì
n
x
là nghiệm và kết thúc
+
 
0
n
fx 

11

Nếu
   
0
nn
f a f x 
thì nghiệm sẽ ở trong khoảng
 
,
nn


 
thì
n
x
là nghiệm và kết thúc
Nếu
11nn
ba

 
thì ta chuyển sang bước
1n

*Ngoài ra ta có thể dùng định lý 3 để giải cho phương pháp dây cung như sau:
Chọn sai số
0
,
 
,ab
sao cho hàm số
 
y f x
liên tục trên đoạn
 
,ab
,
   
0f a f b 
,

với
 
 
 
 
, , ,A a f a B b f b
.
 Trường hợp 1. Nếu như
 
0fa
, ta xây dựng dãy
 
n
x
theo hệ thức
 
 
 
 
0
1
n
n n n
n
xb
fx
x x x a
f x f a



n
n n n
n
xa
fx
x x b x
f b f x





  




Khi đó dãy
 
n
x
đơn điệu tăng, bị chặn trên và hội tụ đến
*
x
.
-Tính
   
''
min ; maxm f x M f x
trên đoạn


Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp dây cung trên
 
3
1,2 : 1 0  xx

Giải
Gọi
 
3
1  f x x x

Kiểm tra phương pháp
 
'2
31f x x
,
 
''
60f x x
trên đoạn
 
1,2
.
Vì
 
1 1 0 f
nên áp dụng công thức lặp:
 
 

  


n
nn
n n n
n n n
n
nn
x
x
fx
xx
x x x
x x x
f f x
xx

Sai số để hạn chế bước lặp: Ta có sai số
*
11n n n
Mm
x x x x
m


  

n
n


n
n
x

1nn
xx


,
dừng lại nếu thỏa
1nn
xx




13

Dễ có
   
''
2 11; 1 2   M f m f
. Như vậy để có được nghiệm ở mức chính xác
0.008 khi dừng ở bước thứ
n
sao cho:
1
2
0.008 0.008 0.0017

n
n
x

1nn
xx



0
1

1
1.166666
0.166666
2
1.253112
0.086445
3
1.293437
0.040325
4
1.311280
0.017843
5
1.318987
0.007707

Cho
0
xb
, phương trình tiếp tuyến tại
B
là
    
'
0 0 0
y f x f x x x  

Tại
P
ta có
1
,0x x y
ta có
    
'
0 0 1 0
f x f x x x  

Từ đó
 
 
0
10
'
0
fx

 
0, ,ab
sao cho hàm
 
fx
thỏa mãn các điều kiện
( ),( ), ( ), ( )i ii iii iv
. Khi
đó ta sẽ thiết lập dãy lặp
 
 
1
'
n
nn
n
fx
xx
fx


, với
0
x
chọn trước
 
,ab
sao cho
 
0

 
2
2
0
,
fx
x a b







.
-Tính
   
 
 
 
 
' ' ''
12
min , ; max : ,M f a f b M f t t a b  

-Tính
1
2
2
.

1
1
x

10
xx

2
2
x

21
xx



n
n
x

1nn
xx


,
dừng lại nếu thỏa
1nn

 
''
6 0, 1,2   f x x x

Vậy các điều kiện của phương pháp Newton được thỏa mãn.
Ta có:
   
''
2 2 60 0ff
, ta chọn
 
 
0
1
'
2








n
nn
n
x
fx
xx

M
xx



  

n

n
x

1nn
xx



0
2

1
1.545454
0.454546
2
1.359614
1.185840
3
1.325801
0.033813
Vậy:


18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm kỳ Anh, Giải Tích Số, 1998
2. Trần Văn Minh, Phƣơng pháp số, 2005