TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
NGƯỜI THỰC HIỆN:
DIỆP HOÀNG ÂN
MSSV:DTN020672
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
ThS. HOÀNG HUY SƠN


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 2
số đại cương. Tuy nhiên, do mới bước đầu nghiên cứu và trình bày nên đề tài
chắc có nhiều khiếm khuyết. Em rất mong được sự chỉ dẫn của các thầy cô
trong Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm, cũng như các bạn đọc khác để
hoàn thiện đề tài. Xin chân thành cảm ơn.
Người viết đề tài
Diệ
p Hoàng Ân
Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 3 Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 4


∈

P. (hoặc nếu và chỉ nếu
XP ≠
và với
sao cho
Xyx ∈, PxyPyx ∈⇒∉,
)
Iđêan A của X là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu A
≠
X và mọi iđêan của X
chứa A là chính A hoặc X
II. Mội số tính chất liên quan:
1. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, chứng minh các khẳng định sau:
a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi X/P là miền nguyên.
b) A là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi X/A là trường.
Giải
a) P là iđêan nguyên tố thì X/P là miền nguyên: Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 5
Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao
hoán có đơn vị. Vì P
≠
X nên X/P có nhiều hơn một phần tử.

∈
P hoặc y
∈
P. Vậy P là
iđêan nguyên tố.
b) Cách 1:
A là iđêan tối đại thì X/A là trường.
Thậy vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/A là vành giao hoán
có đơn vị. Hơn nữa do X
≠
A

nên X/A có nhiều hơn một phần tử.

Mặt khác,
∀
x
∈
X sao cho x + A
≠
A tức là
Ax ∉
. Gọi I = A + xX, thế thì I là
iđêan của X chứa A thực sự. Vì A là iđêan tối đại nên I = X. Suy ra 1
∈
I. Do I
= A + xX nên tồn tại a
∈
A, x
/

∈
I, suy ra xx
/
=1+a
∈
I 1= xx⇒
/
-a I⇒ I=X. Vậy A là
iđêan tối đại.
∈
Cách 2:
A là iđêan tối đại của X thì X/A là trường cũng như cách 1 ta luôn có X/A là
vành giao hoán, có đơn vị và có nhiều hơn một phần tử.
Gọi B là iđêan của X/A thế thì q
-1
(B) là iđêan của X. (Trong đó q: X
→
X/A
là một toàn cầu chính tắc). Khi đó
∀
x
∈
A
⇒ x+A = q(x) = A
∈
B q⇒
-1
(x+A)
∈
q

∈
B B = X/A. Rõ ràng với mọi iđêan
B của X/A thì B là iđêan 0 hoặc chính là X/A nên X/A là trường.
⇒Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 6
Chiều ngược lại, nếu X/A là trường ta cũng có X≠A. Gọi B là iđêan của
X sao cho A
B X B/A là iđêan của X/A. Thật vậy, x+A
⊂ ⊂
⇒
∀
∈
X/A,
b+A
∈
B/A. Ta có (x+A)(b+A)=(b+A)(x+A)=xb+A
∀
∈
B/A. Vì X/A là trường nên
B/A ={0+A} hoặc B/A = X/A.
. Nếu B/A ={0+A} ⇒ B=A.
.Nếu B/A = X/A ⇒ B=X.
Vậy A là iđêan tối đại của X.

ta có :
f
(xy) = f(xy) + P = f(x)f(y) + P = (f(x) + P)(f(y) + P) =
f
(x)
f
(y)
f
(x+y) = f(x+y) + P = (f(x) + P)+(f(y) + P) =
f
(x)+
f
(y)
Ker
f
= { x
∈
X :
f
(x) = f(x)+P = P }
= { x
∈
X : f(x) = f(x)
∈
P } = f
–1
(P)
Theo tính chất của đồng cấu vành ta có X / Ker
f
≅

a) X là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại.
b) Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử {0,1}
Giải
a)
∀
x
∈
X ta có x = x
2
= (-x)
2
= -x Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 7
Suy ra a,b
∈
X ta có (a+b)
∀
2
= a
2
+ ab + ba + b
2
= a + ab +ba + b = a + b

hoặc x=1. Vậy X={0,1} là một trường. Vành có tính chất trên là vành Boole.
⇒
2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị
∀
x
∈
X tồn tại n
∈
N
*
sao cho x
n
=x
chứng minh mọi iđêan nguyên tố của X đều tối đại (chứng minh tương tự bài
tập 1a).
3. Giả sử X là tập hợp khác rỗng
℘
(X) là tập các tập con của X. Ta định
nghĩa phép cộng và phép nhân như sau.
A+B = (A\B)
(B\A)
∪
AB = A
∩
B
Chứng minh
℘
(x) là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại.
Giải
Dễ dàng kiểm tra được

thuộc I. Thật vậy, giả sử
∀
x không khả nghịch thoả x∉I khi đó
∀
y khả nghịch
thì y∉I. Suy ra I rỗng vô lý. Vậy
∃ x
∈
I.
6. Xét nhóm G =
K
P
k
U 1
1
∞
=
với phép nhân thông thường. Trên G ta xây dựng
phép cộng là phép nhân thông thường x
⊕
y =xy, và phép nhân (*) là phép
nhân không x*y=0 chứng minh vành G không có đơn vị và không có iđêan tối
đại.
Giải
Vì phép nhân (*) là phép nhân không nên hiển nhiên G không có đơn vị.
Giả sử A là Iđêan tối đại của G khi đó G/A là trường. Do G là vành không có Diệp Hoàng Ân


1
, A
2
.
b) M là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi M có dạng M = M
1 x
A
2
hoặc
M = A
1 x
M
2
với M
1
, M
2
là iđêan tối đại của A
1
, A
2
.
Giải
a) Gọi P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
. Thế thì P
1 x
A

1
,b
2
)
∈
X sao
cho (a
1
,a
2
)(b
1
,b
2
)
∈
P = P
1 x
A
2
Do P
1
là iđêan nguyên tố nên hoặc a
1
∈
P
1
hoặc b
1
∈

Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của X = A
1 x
A
2
. Ta chứng minh
P = P
1 x
A
2
hoặc P = A
1 x
P
2
với P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
, P
2
là iđêan
nguyên tố của A
2
.
Ta có (1,0)(0,1) = (0,0)
∈
P Suy ra : (1,0)
∈
P hoặc (0,1)
∈
P

là iđêan nguyên tố của A
2
. Thật vậy,
∀
a
2
,b
2

∈
P
2
ta có :
(0 , a
2
) – (0 , b
2
) = (0, a
2
- b
2
)
∈
P ⇒ a
2
- b
2

∈
P

α
2
,
β
2
∈
A
2
sao cho
α
2
β
2
∈
P
2
(0,⇒
α
2
β
2
)
∈
P⇒ (0,
α
2
)
∈
P hoặc
(0,

,a
2
)
∈
A
1 x
P
2
⇒ (a
1
,a
2
) = (a
1
,0) + (0,a
2
)
∈
P (do (a
1
,0)
∈
P , (0,a
2
)
∈
P
).

∀

∈
A
1 x
P
2

Vậy nếu (1,0)
∈
P thì P = A
1 x
P
2
với P
2
là iđêan nguyên tố của A
2
.
Tương tự nếu (0,1)
∈
P ta sẽ chứng minh được P có dạng P = P
1 x
A
2
với
P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
.
Kết luận P là iđêan nguyên tố của X = A

b) Nếu M
1
là iđêan tối đại của A
1
thì M
1 x
A
2
là iđêan tối đại của X = A
1 x

A
2
. Thật vậy, nếu M
1 x
A
2
= M không phải là iđêan tối đại của X thì tồn tại
iđêan B của X, B = B
1 x
A
2
sao cho M B X
≠
⊂
≠
⊂
⇒ M
1 x
A

1

không phải là iđêan tối đại của A
1
vô lý.
Tương tự nếu M
2
là iđêan tối đại của A
2
thì A
1 x
M
2
là iđêan tối đại của X.
Ngược lại, nếu M là là iđêan tối đại của X thì M là iđêan nguyên tố của X
do đó theo a) M có dạng M = M
1 x
A
2
hoặc M = A
1 x
M
2
. Trong đó M
1
, M
2
là
iđêan nguyên tố lần lượt của A1, A2. Gỉa sử M
1

phải là
iđêan tối đại của A
1
.
Tương tự, ta chứng minh được M
2
là iđêan tối đại của A
2
. Bài toán được
chứng ming xong.
8. Chứng minh trong vành chính X mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối
đại.
Chứng minh
Cho X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác không của X. Khi đó tồn
tại phần tử p
∈
X, p
≠
0, p không khả nghịch sao cho <p> = P.
∀
x,y
∈
X sao
cho xy
∈
P = <p>, thì x
∈
<p>, hoặc y
∈
<p>. Tức là p/ xy thì p/ x hoặc p/ y p

vậy, vì vành Ơclit là vành chính nên lọi iđêan nguyên tố khác không đều tối
đại.
11. Giả sử X là vành Ơclit và A là iđêan của X. Chứng minh vành thương
X/A là vành Ơclit A là iđêan nguyên tố. ⇔
Giải
X/A là vành Ơclit thì X/A là miền nguyên. Khi đó A là iđêan nguyên tố của
X.
Ngược lại A là iđêan nguyên tố của vành Ơclit X thì A = {0} hoặc A là
iđêan tối đại. Khi đó X/A = X/{0}
≅
X là vành Ơclit Hoặc X/A là trường cũng
là vành Ơclit.
12. Chứng minh A [x]/<x>
≅
A
Do đó <x> là iđêan nguyên tố của A[x] nếu A là miền nguyên và là iđêan tối
đại của A[x] nếu A là trường.
Giải
Xét ánh xạ
θ
: A[x]
→
A 0
0
)0()( afxaxf
i
n

axAxaxf
i
n
i
i
={
>=<∈ xxxfxAxf })(/][)( M

Theo tính chất của đồng cấu vành ta có:
A[x]/<x>
A. Suy ra
≅
<x> là iđêan nguyên tố
⇔ A là miền nguyên
<x> là iđêan tối đại
⇔ A là trường
13. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. chứng minh các khẳng định sao
tương đương:
a)A là trường
b) A[x] là vành Ơclit
c) A[x] là vành chính
Giải
Hiển nhiên ta có a) ⇒ b) c). TA cần chứng minh: c)⇒ a). Ta có thể
chứng minh theo hai cách:
⇒Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành

i
i
n
i
i
∈∈=
∑
=
/][)(
0

là một iđêan của vành đa thức A[x].
},....,1,0 n
i
=∀
b)A[x]/I[x]
(A/I)[x]
≅
c) I là iđêan nguyên tố của A
⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x].
d) I là iđêan tối đại của A thì I[x] có là iđêan tối đại của A[x] không ?
Giải
a) Dễ thấy tổng hai đa thức thuộc I[x] là một đa thức thuộc I[x].
Gọi

][)(
0
xIxaxf
i
n

i
lki
ki
∈=
∑
+=
do I là iđêan của A.
Vậy h(x)
∈
I[x]
Nên I[x] là iđêan của A[x]
b) Xét ánh xạ
])[/(][: xIAxA →
θ

i
n
i
i
i
n
i
i
xaxfxaxf
∑∑
==
==
00
)()( a
là một toàn cấu vành và

i
i
i
n
i
i
xaxAxaxf

= {
}0/][)(
0
=∈=
∑
=
i
i
n
i
i
axAxaxf

= {
][}/][)(
0
xIIaxAxaxf
i
i
n
i
i

iđêan của X khác X. Tức là A là cận trên của dây chuyền (
)
α
α
AU
X∈
α
A
I∈
α
. Khi
đó, theo bổ đề Zorn, trong T(A) = {( )
α
A
I∈
α
} tồn tại phần tử tối đại P.
Nghĩa là, với mọi iđêan M của X khác X sao cho P là con của M thì P = M.
Điều này có nghĩa là P là iđêan tối đại của X.
*16. Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Bất kỳ một phần tử không khả
nghịch của X đều thuộc một iđêan tối đại nào đó.
Giải
Với x là một phần tử không khả nghịch bất kỳ của x. Ta có <x>
≠
X.
Thật vậy, nếu <x> = X thì 1
∈
<x>. Khi đó tồn tại x
/