Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
1

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ
[email protected]

SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép
biến đổi đại số
Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số
hợp
Trường hợp thường gặp
dx x C
 


1
1
x
x dx C




 





 Cxdxx cos.sin
2
2
1
(1 tan ). tan
cos
dx x dx x C
x
   
 

 
2
2
1
1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
    
 



Cedxe
xx

0
dx C

 Cedue
uu


 C
aln
a
dua
u
u


 Cusinuducos


 Cucosudusin

2
cos
du
tgu C
u
 


2
cot
sin
du
gu C







Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1




Ce
a
dxe
baxbax )()(
1

1
ln
mx n
mx n
a
a dx C


 
 
2
1
cot
sin
dx
ax b C
a
ax b
   


TQ:

1
f(ax + b)dx = F(ax + b)+ C
aMở rộng:

10.
ln
sin 2
dx x
tg
x


  


+C
16.

 Caxx
a
ax
x
dxax
22
2
2222
ln
2
2

17.
2 2
arcsin
dx x
C
a
a x
 



10.

2 2
2 2
ln
du
u u a
u a
  


+C
16.
2 2 2 2
2
u
u a du u a
   

2
2 2
ln
2
a
u u a
   +C

17.
2 2
arcsin
du u
C


18.
2 2
1du u
arctg C
a u a a
 



19.
2
2 2 2 2
arcsin
2 2
u a u
a u du a u C
a
    
Chứng minh một số công thức cơ bản :
10. ln
sin 2
dx x
tg
x



2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ln cos ln sin ln
2 2 2
x x x x
d d
I dx dx
x x x x
x x x
C tg C
     
     
   

11. Ta có: cosx = sin(x+
2

) =
2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x
 
  
kết quả
14.
2 2
1
ln
2

  
 
   
 
  
 
 

15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
  


+C
Ta đặt :

2
2
2 2
2
2
2
(1 )
ln ln
x x x a

2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
xdx
du
u x a
x a
dv dx
v x
x dx x a a dx
I x x a x x a
x a x a



  


 






 
      




Ce
2
1
dxeI
2x32x3XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:








01
0
)(
2
khixxx
khixe
xF
x

là một nguyên hàm của hàm số:


- Với x = 0, ta có:
1lim
0
)0()(
lim)0('
1
1
lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00















Tóm lại:
)(
012
0
)(' xf
khixx
khixe
xF
x








Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?
a.
 
1
ln log
n x x
a
F x x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x
x
       .
b.
 

     
.
Giải:
a.
   
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
’ sin cos .ln
.ln
cos sin
2
n x x
F x f x nx x x e a a
x x a
x x x
x

           
.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
4

b.
   
2
2
'
2

dx C
x
 
c.
   
x
t an '
2 4
1 1
’
x
osx
t an sin x+
2 4 2
F x f x
c

 
 
 

 
 
 
 
   
   

x
x x a
x a
F x f x
x x a x x a x a

 

   
    Nhận xét:
2
2
1
ln
dx x x a C
x a
   



e.
   
2
2 2
2 2
1
’

 từ đó suy ra nguyên hàm:
I =
2
1 1
( )
ln
ln
dx
x
x



Bài 2: Cho hàm số
( ) 3
f x x x
 
. Xác định a, b, c để




2
3
F x ax bx c x
   

là nguyên hàm của f(x).
Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của:
2 1

Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) =
2
ln 1
x x C
  
từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:
2
1
( )
1
f x
x



Bài 6: Chứng minh rằng
a. ( ) ln
2
x
F x tg C
 
là nguyên hàm của hàm số:
1
( ) ( )
sin
f x x k
x

 
b.

.
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số



f ax b

với a, b là hắng số a khác
0 có nguyên hàm là:
 
1
F ax b C
a
 

Áp dụng tính các nguyên hàm sau.
3
3
. sin5 .
1
. cos .
2 7
x
a xdx b e dx
c dx d dx
x

 
 


2
ln
g x x x
 từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:


2 ln
f x x x

Bài 10: Chứng minh:
   
2
ln 0
F x x x k k
   
là một nguyên hàm của
 
2
1
f x
x k


trên các
khoảng mà chúng cùng xác định.
Áp dụng: tính
3
2
0
16

 
2
1
1
h x
x


c.
 


2 2
1
1 1
g x
x x x

  
.
Bài 12: Tìm hàm số


f x
biết rằng
1.


’ 2 1
f x x

7
2
3
f

Đs:
 
3
2 1
3
x
f x x
  

3.


’ 4
f x x x
 
và f(4) = 0 Đs:
 
2
8 40
3 2 3
x x x
f x   

4.
 

x
f x
x
  

TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT
SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm:
a.
 


2010
2009
2 3
2 3
4020
x
I x dx C

   


Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
6

b.
2

x x
I dx x C

 
   
 
 


Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
2
x x
e e
y



b.
2
lg
2
x
e x
y


c.
3 3
sin .cos3 cos .sin3

3
1 2
ln
m
y x
x
x
  
d.
3
( )
p
y qx
x
 
e.
cos .cos
y px qx

(với m, n, p, q là các hằng số)
TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC
VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP)

Cho hàm số


y f x
 xác định trên






2
2
d ax bx c ax b dx
   

3.




3 2 2
3 2
d ax bx cx d ax bx c dx
     
4.


cos sin .
d x x dx
 
5.


sin cos
d x xdx

6.


ax b ax b
e ae dx
 

10.
 
2
1
tan
cos
d x dx
x


11.
 
2
1
cot
sin
d x dx
x

12.


1
2
d x dx


16.




1
1
m m
d x m x

  Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số):
1.
 
2007
y mx n  2.
1
y
mx n


3.
4 3 2
1 2
2
x
y




Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
7

7.
3
4
3 2
x
y
x


8.
2007
( 1)
x
y
x


9.
1
.ln .ln(ln )
y
x x x


y
x a


14.
 
10
3 5
y x  15.
2007
sin 2 .cos
y x x

16.
cos .sin
p
y x x

17.
sin .cos
p
y x x

18.
2
sin
cos .
x
y x e


cot
y x

25.
2 2
tan cot
y x x
 
26.
2
1
.
x
y x e


27.
4
sin
4
y x

 
 
 
 TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH


 



n
i
iii
n
i
i
dxxfdxxfdxxf
11
)()()(


Một số kĩ thuật phân tích:
1. Nhân phân phối:




a b c d ac ad bc bd
     

2. Khai triển các hằng đẳng thức
 
2
2 2
2
A B A AB B

llh
A B A AB B
  

…
5. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác
Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)
Chú ý:
Kĩ thuật phân tích thành tổng đối với hàm phân thức dựa vào tính chất
1 2 1 2n n
a a a a
a a
b b b b
  
    kết hợp với một số tính chất của hàm lũy thừa sau
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
8

1
n
n
a
a

 ,
m


  


Sử dụng đồng nhất thức
 
1 1
x ax ax b b
a a
   
 
 

Dạng 2: Tìm nguyên hàm:
 
2
x
I dx
ax b





Sử dụng đồng nhất thức
     
2
2
2 2 2 2
2 2 2

x x x x x x x          
       
   
2002 2003 2002 2003
2003 2004
1 1 1 (1 ) 1
1 1
1 1
2003 2004
I x dx x dx x d x x dx
x x C
          
     
   

Cách 2: Đổi biến số:
Đặt
1
t x
 

   
2002 2002 2003
2003 2004
2003 2004
1
(1 )
1 1 1 1
1 1
2003 2004 2003 2004

   
 
 
     
 
 
 

1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3
ln 3 ln 1 ln
2 3 2 1 2 2 2 1
d x d x x
I x x C
x x x
  
        
  
 

Cách 2:
Ta có:
 
2 2
1 3
ln
2 1
4 3
2 1
dx dx x
I C

 
 
 
3 3 2 2
1 3 1
1 1 1 1
3 3
(1 3 ) (1 3 )
1 3 1 3
x
x
x x
x x
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
9

2 3



Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
2
1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1
( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1
2
1 1 1 1 1 2
ln
3 2 3 1 3 1
x x
x x x x x x
x x
x
I dx dx C
x x x
 
  
 
   
 
 
     
 
 
 

    
  


Bài 6: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x




Giải:
Cách 1:
Sử dụng đồng nhất thức:
       
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1
x x x x x
         
 
 

3
10 7 8 9 10
7 8 9 10 6 7 8 9
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
   

  
     
     

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
     
   

Bài 7: Tìm nguyên hàm:
 
2001
1002
2
1

2
1
x
t
x



 
2
2
2
1
x
dt dx
x
 


Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
10

1000 1001
2 2 2
2 2 2
1 1
2 2002
1 1 1
x x x

5 3 2 5 3 2
2
5 3 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1
4 2
1 2
x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x
xx x x x x x x
x
I dx dx dx dx x x C
x
x x x x x
   
        
   

 
      
 
           


1
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x
x
I dx dx dx x x C
x
x x x
   
        
   

         

  

Bài 10 : Tìm nguyên hàm:
 
2
39
1
x dx
I
x




Giải:

1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
      
     
  

Cách 2:
Đặt: 1
t x
 
1
x t dx dt
     



2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C
t t t t t t t


1 1 1 1 1
x x x
x x
x x x x x
e e d e
e e
I dx dx
e e e e e
  
 
       
 
    
 
  



ln 1
x
x e C
   
.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
11

Bài 12: Tìm các nguyên hàm sau.

3

Vậy
3
2
2
3
x
I x e C

   

b.
2 3
(2250)
2 3 5 2 9 125 (2.9.125) (2250)
ln 2250
x
x x x x x x x x
I dx dx dx dx C
     
   

Vậy:
(2250)
ln 2250
x
I C
 

Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau:
1.



      

  

3.
2
5 4 1 53
3
3
3 3 3 32
1
( 2 1) ( 2 ) ?
x x
I x dx x x x dx x x x dx
x
   

       
 
 
 
  

Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích và có hằng đẳng thức thì khai triển đưa về phân thức
Bài 15: Tìm các nguyên hàm sau:
1.
3 2 3
2 2

  

3.
1 3 2 2 1 2 1 1
1 ln(2 3)
3 3 3 ln8
3 2 3 2 3 2
x x x
x
x x x
dx
I dx dx x C
 
 
       
 
  
 
  

Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức hoặc
phân tích bằng cách thêm bớt.
Bài 16: (dựa vào các công thức lượng giác) Tìm các nguyên hàm sau:
1.
2
1 cos 1
sin ( sin )
2 2 2
x x
I dx dx x x C


4.
2 2
tan (1 tan 1) tan
I xdx x dx x x C
      
 

5.
4 4 2 2 2 2 2
tan (tan tan tan 1 1) tan (tan 1) (tan 1)
I xdx x x x dx x dx x dx dx
          
    3
tan
tan
3
x
x x C
   

6.
2
3 2
2 2
1 tan tan
tan tan .tan 1 tan tan ln cos

3
1 1
1 3 1 3
9 18
1 3
x
I dx x x C
x
 
      



Bài 3: Tìm nguyên hàm:
 
2005
1
I x x dx
 


Bài 4: (SGK – Ban cơ bản T100 – T101) Tìm các nguyên hàm:
a.
3 6 35 7 2
3
1 3 6 3
5 7 2
x x
I dx x x x C
x

 
 


d.
 
2 1 2 ln 2 1
ln 2 1
x x
x x
I dx
e e
  
 



e.
  
1 1 1
ln
1 1 2 3 1 2
x
I dx
x x x

 
  



   
4 4
3 3
2 2
3 2
3 3
1 3
1 1
8
1 1 1
I dx x x C
x x x
 
     
 
 
    


Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
2
tan tan –
I xdx x x C
  

b.
1
2sin3 cos2 cos5 cos
5

x
I dx x x C
x x
   

f.
2
(2 ) 2 tan
cos
x
x x
e
I e dx e x C
x

    


Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
 
43 5
3
2 4
3 4
2 3 4
3 4 5
x x x
I x x x dx C
      

 
2
1
–1
2
x x x x
I e e dx e e C
   


e.
2
2sin – sin
2
x
I dx x x C
  

e.
2
( 1)
4 ln
x
I dx x x x C
x

    


Bài 8: Tính các nguyên hàm sau.

  
 

 
 
 
 
 
 

Bài 9: Tính các nguyên hàm sau.
3
3 4
3
2 2
. ( ) . 2cos sin5
6 4 2
. cos (cos 1) .
2
1 1
. ( ) . ( )
. cot .
x x x
x
a x x xdx b x xdx
c x x dx d dx
e x x x dx f dx
x x
g g xdx h tg xdx


 
1
1 2
f x
x x

  

d.


sin .sin 3 .sin 5
f x x x x
 e.


2
2 .3 .5
x x x
f x  f.


4
sin
f x x

g.
 
3
4

  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để
xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý 1:
a. Nếu




f x dx F x C
 

và


u x


là hàm số có đạo hàm thì:




.
f u du F u C
 


Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu




f x dx F x C
 

và


u t

 là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b]
thì:
)(
)(
)(
)(
)()(
b
a
b
a
uFduuf



dtttfdxxf



.)(')()(
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t)
hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
A. Đổi biến số nghịch đặt


u x



Loại 1: Đối với hàm lượng giác:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm:




cos sin
I f ax b ax b dx
  
 
 


đặt
   

sin cos 1
dx
I
x x




Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
sin
dx
I
x


b.
3
5
cos
sin
x
I dx
x



Dạng 2: Tìm nguyên hàm:


I dx
x


b.
2
cos
cos3
x
I dx
x



Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
cos
dx
I
x


b.
4
sin cos
dx
I
x x


 

 
 

Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
4 4
sin 4
sin cos
x
I dx
x x



b.
 
2007
4 4
sin 4
sin cos
x
I dx
x x




Dạng 4: Tìm nguyên hàm:

2
I xdx x x C
   

b.
3 3
sin .cos
dx
I
x x



Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
15

c.
2 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x

 

d.
 
2
sin 2cos

ax b
    


Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
cot
I xdx


b.
4
sin
dx
I
x



c.
10
cot 5
sin5
x
I dx
x


d.




x x
I f e e dx


đặt
x x
u e du e dx
  
Dạng 8: Tìm nguyên hàm:
 
1
ln
I f x dx
x


đặt
1
ln
u x du dx
x
  
Dạng 9: Tìm nguyên hàm:
 
1
ln ln
ln



1
1
n n
u x du n x dx

   
Dạng 11: Tìm nguyên hàm:


1
I f x dx
x


đặt
1
2
u x du dx
x
  
Dạng 12: Tìm nguyên hàm:


I f ax b dx
 

đặt
u ax b du adx

Dạng 1: Tìm nguyên hàm:


2 2
,
I f x x a dx
 

với
0
a


Cách 1: đặt
 
2
2
1
tan tan 1
cos
x a u du dx x dx
x
    
với
2
π
u
2
π


với
 
π π
; \ 0
2 2
u
 
 
 
 

Cách 2: đặt
cos
a
x
u
 với
 
π
0;π \
2
u
 

 
 

Hoặc
2 2
u x a




ttax
ttax
0,cos
22
,sin

22
ax 

 
















2

tax 2cos






xbax 



2
x a b – a sin t
 
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,
)(xf
)
t ( )
f x


Hàm
 
  
1
f x
x a x b

 

5
3 3 9
I x x dx u udu u du u C
     
  

Vậy
3 3
2
( 5)
9
I x C
  

Bài 2: Tìm nguyên hàm:
2
1
1
I dx
x




HD:
Đặt
2
2
1
tan (1 tan )


    

b.
   
3
5
2 2
2
2
1
1 1
5
I x x dx x C
    


Bài 2: ( SGK – ban nâng cao T145 ) Tìm các nguyên hàm:
a.
 
1
2
3
2
3
9
6 1
1
x
I dx x C


d.
 
2
2
1
1
dx
I C
x
x x
   




Bài 3: Tìm các nguyên hàm:
a. (SGK – ban cơ bản T101)
1
2 1
x x x
dx
I C
e e e

   
  


b.


Bài 4: (SGK – ban nâng cao T145 – T 175) Tìm các nguyên hàm:
a.
5 6
1
sin cos sin
3 3 2 3
x x x
I dx C
  

b.
2
2
1 1 1 1 1
sin cos sin
2
I dx C
x x x
x
   


c.
1 3 3
2 2 2
2

1 1 1
cos 1 sin 1
I dx C
x x
x
   
     
   
   


Bài 4: Tìm các nguyên hàm:
a.
 
3
2 2
2
cos .sin 1
1 sin ln 1 sin
2
1 sin
x x
I dx x x C
x
 
     
 






c.
 
2
7 5 3
8
cos 1
15cot 42cot 35cot
105
sin
x
I dx x x x C
x
     


d.
1
ln tan
sin 2
x
I dx C
x
  


C1:
2
2sin cos tan cos


f.
sin cos
ln sin cos
sin cos
x x
I dx x x C
x x

    



C1: Đồng nhất thức
C2: Đặt
sin cos
u x x
 

C3:


sin cos
sin cos
d x x
I
x x

 


3
3
sin cos 3
sin cos
2
sin cos
x x
I dx x x C
x x

   



Bài 5: Tìm cácnguyên hàm:
a. (ĐHNT TPHCM – 1997)
cos sin .cos
sin ln 2 sin
2 sin
x x x
I dx x x C
x

    



b. (ĐH TCKT HN – 1996)
4
3 54

7 6
1
ln ln
dx
I C
x x x
   

2.
5sin 5sin
1
cos .
5
x x
I e xdx e C
  


3.
   
3 4
2x 2x 2x
1
e 5 e dx e 5 C
8
I
    

4.
ln( 1) .

I dx x x C
x x

    
 


7.
2
2
1
1
xdx
I x C
x
    


8.
 
4
3 32 3 3
1
1 1 . -1
4
I x x dx x C x     


9.
1

   

12.
3
1
sin 2cos 1 2cos 1 .
3
I x x dx x C
     


13.
tan
tan
2
.
cos
x
x
e dx
I e C
x
  

14.
 
1 1
ln .
2
1


.
udv uv vdu
 
 

Còn đối với tích phân xác định, ta có:

 

b
a
b
a
b
a
vduuvudv

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
19

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân


I f x dx


ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:





Bước 3:
.
I uv vdu
 


Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân
thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
- Tích phân
vdu

được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
sin
( )
n
ax
ax
I P x cosax dx
e
 
 

 


Chú ý:
- Ta phải tính n lần tích phân từng phần
TQ:
( )
( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
n
n n
f x
n
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx





 













TQ:
( ).ln ( ). ln ( )
n n
P x f x dx u f x
 


Chú ý:
- Ta phải tính n lần tích phân từng phần

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
20

Dạng 3:
sin
.
cos
ax
bx
I e dx
bx
 

 
 



. Đặt
ax
u e

sau khi tính tích phân từng phần ta lại có tích phân
cos
ax
e bxdx

. Ta lại áp
dụng tích phân từng phần với u như trên
- Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính nguyên hàm: cos
x
I e xdx



HD:
Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
 

 

1
sin cos cos
x x x
I e xdx uv vdu e x xe dx
     
  

Thay I
1
vào I ta được


2 sin cos
x
I e x x C
  

Vậy
1
(sin cos )
2
x
I e x x C
  

Bài 2: Tìm nguyên hàm:
.
1
)1ln(
2



















1
1
.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2


, ( )cos
P x axdx

, ở đây P(x) là một đa thức ẩn x.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
21

Để tính những tích phân loại này bao giờ cũng đặt
ln
u x

với ( )ln
P x xdx

; và
( )
u P x

với các tích phân
còn lại.
( )
x
P x e dx

,
( )ln( )
P x x


. Đs:
2
2 9 2
os3 sin3
27 9
x
c x x x C

 

c.
2
os2
I x c xdx


. Đs:
2
2 1 1
sin 2 cos2
4 2
x
x x x C

 

Loại 2: Tính tích phân dạng
ax
sin
e bxdx

b.
2
os3
x
e c xdx

. Đs:
2
(2cos3 3sin3 )
13
x
e
x x C
 

Loại 3: Tính tích phân dạng
( )arcsin ; ( )arc os ; ( )arctan ; ( )arccot ;
P x xdx P x c xdx P x xdx P x xdx
   
với P(x) là đa thức.
Đặt
arcsin ; arccos ; arctan ; arccot ;
u x u x u x u x
   

Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a. arccos
x xdx

. Đs:

2
I a x dx
 


ĐS:
2 2
1
ln
2 2
x a
I x a x x a C
     
;
2
2 2
2
arcsin
2 2
x a x
I a x C
a
   

Bài tập tự giải:

Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
1 sinx
1 cos

c.
1
2
0
ln(1 )
x x dx


. Đs:
1
ln 2 1
2 4

 

d.
2 2
sin
x
e xdx

. Đs:
2 2 2
1 1 1
(1 sin 2 ) os2
8 8 8
x x x
e x e c x e C
   


I x x dx x x x C
       


4.
2
2
1
sin sin 2 cos2
4 4 8
x x
I x xdx x x C
    


Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
22

5.
2 2 2
ln( 1 ) ln( 1 ) 1
I x x dx x x x x C
        


6.
 
1
cos sin cos

9.
2
1 1 1
ln ln
1 2 1
x x x
I x dx x C
x x
  
   
 


10.
2
2
6 cos3 2sin3 9 sin 3
cos3
27
x x x x x
I x x dx C
 
   


Bài 3: (SGK – ban nâng cao T 145) Tìm các nguyên hàm:
a. .sin 2 .cos 4sin
2 2 2
x x x
I x dx x C



b.
2
ln(cos )
cos
x dx
J
x


c.
2
3
cos
sin
x
J dx
x



d.
1
ln
1
x
J x dx
x


với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp
1. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức
1 2
, , ,
n
  

1 2
( ) ( )( ) ( )
n
Q x x a x a x a

   






deg
Q x n


Xác định các hằng số
1 2
, ,
n
A A A

   

2. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức và nghiệm bội
Giả sử
2 3
( ) ( )( ) ( )
Q x x a x b x c
   

Lúc này ta phân tích
3
2 1 2 1
2 3 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C
B B C CP x A
Q x x a x b x b x c x c x c
     
     

Tìm các hằng số
1
, ,
A A
thay vào rồi tính tích phân
Hoặc:
+ Khi



( )
A
P x B C
Q x x x
x
 

  
 

.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a.
4
3 2
1
3 2
x
I dx
x x x


 

. Đs:
2
1 25
3 ln 4ln 1 ln 2
2 2 2
x


 

. Đs:
2
1 3 5 1
ln
4( 1) 8( 1) 32 3
x
I C
x x x

    
  

b.
2
3
1
( 1)
x x
I dx
x
 



. Đs:
2
3 3


d.
5
4 2
3 2
x
I dx
x x

 

. Đs:
2
2 2
1
2ln( 2) ln( 1)
2 2
x
I x x C
     

e.
8
1
xdx
I
x




1 3 2
ln 2 ln 1 4arctan
2 2( 1) 1
x
I x x x
x x
      
 

3. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để tính tích phân các hàm hữu tỉ
Dùng thuật thêm, bớt để đưa về dạng cơ bản
Dạng 1:
( 0)
ax
dx
I a
b
 


1 (ax ) 1
ln ax
ax
d b
I b C
a b a

    



4
b ac
   xảy ra các trường hợp sau:
TH 1:
1 2 1
1 2 2
1 1 1 1
0 :
( )( )
( )
dx
I dx
a x x x x x x
a x x x x
 
    
 
  
 
 
 
=
 
1
1 2 2
1
ln
x x
C
a x x x x




(với
0
2
b
x
a
 
)
0
1 1
.I
a x x

 


TH 3:
0
 
:
2 2
2 2
2
2
2
1 1 1 4 4
arctan ( )

2
2 2
1
1
2 24
b
x tgt dx tg t dt
a a a
 
    
Dạng 4:
2
2
ax bx c
I dx
ex f
 



hoặc
2
3
2
ax bx c
I dx
mx nx p
 

 

2 2 2
'
.
ax bx c
mx n dx
I dx dx
ax bx c ax bx c ax bx c
 
 

  
     
  

Ta được:
2
2
ln ax
ax
dx
I bx c
bx c
 
   
 


Hoặc: Phân tích
2
5

 
  
     
  

Tích phân:
2
1
2
(2 )
ln
A ax b
I dx A ax bx c
ax bx c

   
 


Tích phân:
2
2
dx
I
ax bx c

 

tính được
Dạng 6:

1 2
( )
A B C
x f x
x x x x x


    
  

0
 
,
0
2
0
0
( )
( )
A B C
x f x
x x x
x x


    
 


2

  
 
bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
2. Nếu
2
ax bx c
 
phân tích ra được dạng




1 2
– –
x x x x
thì:

1
2
1 2
1
( )
A B
I dx dx
x x x x
ax bx c
  
 
 
 

( )
( )
p x
I dx
q x


nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như
trên. Nếu ngược lại thì ta sử dụng đồng nhất thức.
Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
2
2
2 3 2
x
I dx
x x

 

. Đs:
2
1 3 2
ln 2 3 2 ln
1
2 10
2
x
I x x C

1
1
x
I dx
x




. Đs:
1
2
1
ln
1
2 2
2
x
x
I C
x
x
 
 
 

d.
8
1
xdx

  

. Đs:
5
5
1 5
ln
5 5 1
x x
I C
x x

 
 

f.
2
5
( 1)
x
I dx
x



. Đs:
2
4
6 4 1
12( 1)

x x x
I dx x C
x
x x
 
    



b.
2
3
1 1
ln ln 1
2
I dx x x C
x x
     



Bài 3: (ĐHNT CSП – A 1998) Tìm các nguyên hàm:
a.
4 2
3 2
2
2 2 1 1
2
3 2
1

1
x x x
I dx x x x x C
x
  
      



Bài 5: Cho hàm số
2
3
3 3 3
3 2
x x
y
x x
 

 

a. Tìm A, B, C sao cho:
 
2
1 2
1
A B C
y
x x
x