Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng
1.
Caxadx +=
∫
2.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α

(
)
1≠
α

3.
∫
+= Cx
x

dx
)1(
cos
2
2
9.
∫ ∫
+−=+= Cgxdxxg
x
dx
cot)cot1(
sin
2
2

10.
∫
+= Cx
x
dx
2

1.
C
bax
a
dxbax +
+
+
=+

Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1

)0(
≠
a

4.
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(
)0(
≠
a

5.
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫

++=
+
dxbaxg
bax
dx
))(cot1(
)(sin
2
2

Cbaxg
a
++−= )(
1
cot

)0(
≠
a

8.
∫
++=
+
Cbax
a
bax
dx 2

)0(

ax
dx
2
2
ln
B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ
I. Tích phân hàm đa thức
1) Tích phân dạng
( )
b
a
A= P x dx
∫

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.
2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân
trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm.
II. Tích phân hàm hữu tỷ
1) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A = dx
n
x
∫


n
y
x
=
(n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số
( )
1
1
1
n
y
n x
−
= −
−

2) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A = dx
ax
b
+
∫

Phương pháp: Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng

)
( )
b
a
P x
A = dx ( k , 1 )
a x
k
N k
b
∈ >
+
∫
Phương pháp:
1. Đặt
a x
t b
= +
ta có:
+)
t b
x
a
−
=

+)
dt
dt adx dx
a

)
Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau:
( )( )
2
1 2
dx dx
A
ax bx c a x x x x
β β
α α
= =
+ + − −
∫ ∫
=
( )( ) ( )
(
)
(
)
( )( )
1 2
1 2 2 1 1 2
1 1
x x x x dx
dx
a x x x x a x x x x x x
β β
α α
− − −
 

, x
2
thì khi đó f(x)
được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
).
+)
( )( )
1 1 1 1
x m x n m n x m x n
 
= −
 
− − − − −
 
5) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c

 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ =
⇒
= +

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được
(
)
2
' '
2
' '
1 tan
1 1

 
 
(C>0).
6) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
có nghiệm kép)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
2 2
2
1 1
2
2 2
dx dx dx b
A x
ax bx ca a a
b b
a x x
a a
β

1,
x
2
)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
( )( )
(
)
( )( )
2
1 2 1 2
1
mx n dx mx n dx mx n dx
A
ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + +
= = =
+ + − − − −
∫ ∫ ∫(
)
( )( )

∫ ∫
∫ ∫
8) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax +bx+ c
vô nghiệm)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2

∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ = ⇒ = +
,
tan
2
b
x C u
a
= −

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+

x
a x x x
a
a a a
β β β β β
α α α α α
   
+ + −
−
   
+ +
   
= = = = +
+ +
     
+
+ + +
     
     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

III. Tích phân hàm vô tỷ
1) Tích phân dạng:
( , , )
n
f ax b x C dx
β
α
+
∫

dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp: Đặt
2
u ax ax bx c
= + + +
(
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b b
ax a ax bx c ax
du a dx dx
ax bx c ax bx c
b b
a ax bx c ax au
dx dx
ax bx cax bx c
 
+ + + + +

( )
( )
2
1
0
dx
A k
a
k x m
β
α
= >
−
− +
∫

2. Đặt
sin c o s
2 2
x m k t t dx k tdt
π π
 
+ = − ≤ ≤
⇒
=
 
 

3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được:

Đặt:
2
2
2
2
2
ax b
du dx
u ax bx c
ax bx c
b
dv dx
v x
a
+

=


 
= + +
+ +
⇒
 
=



= +



(
)
2
2
2
2
2
2
ax bx C
b
x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
 
= + + + −
 
 
+ +
∫

Ta có:
(
)
(

Vậy t a được:
2
2
2
2 2
b C c dx
A x ax bx cA
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
= + + + − +
 
 
 
 
+ +
 
∫2
2
1 2
2 2 2

(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a âm)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
2
2
2
b c b
A a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
 
= −− − − = − − +
 
 
∫ ∫
1. Đặt
sin c o s
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π

C a c t tdt
C a c tdt
β
α
β
α
β
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫
5) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 6/25

+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫

Tính:
(
)
1
2
2ax b
A dx
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
đặt
2
u ax bx c
= + +
Tính
2
2
dx
A
ax bx c

a b c a
b
x x
C x
a a
a
β β
α α
+ +
= =
− −
 
− − −
− +
 
 
∫ ∫

1. Đặt
sin c o s
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
 
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
 
 
2. Đổi cận tích phân.

a
t
a
β
α
− +
=
−
∫

'
'
1
( sin )
2
m b
m C t n dt
a
a
β
α
= + −
−
∫
7) Tích phân dạng:
ax b
dx
c x d
β
α

mx nx k mx nx k
mx n dx
a an dx
b
m m
mx nx kmx nx k
β β
α α
β β
α α
+ + −
+
= =
+ + + +
+
 
+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
Tính
(
)
1
2
2
mx n d x
A

ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.
8) Tích phân dạng:
( )
2
,
A f ax bx c x dx
β
α
= + +
∫
Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản
m à t a c ó t h ể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:
+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
+) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Cụ thể:
a. Cách 1: Đặt
2
t ax bx c
= + +
b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa
biểu thức dưới dấu tích phân.
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
2 2
( ,
f x a x dx
β
α
−
∫

∈ ∪
 
 
   
2 2
( ,
f x x a dx
β
α
+
∫
tan
x a t
=
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng:
sin
n
A xdx
β
α
=

 
= = = = −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k
∈
N), ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 1 2 2 2
sin sin .sin sin .sin 1 cos .sin
k k
k k
A xdx x xdx x xdx x x d x
β β β β
α α α α
+
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫

1. Đặt
cos sin sin
u x du x d x xdx du
= ⇒ = − ⇒ = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với
os

c o s
x
A xdx dx x
x
β β
β
α
α α
= = = − 
 
∫ ∫
(Tử là đạo hàm của mẫu)
( )
[ ]
2 2
tan tan 1 1 tan
A x d x x dx x x
β β
β
α
α α
 
= = + − = −
 
∫ ∫
b) Trường hợp
3
n
≥
, ta biến đổi như sau:

α
−
= +
∫
dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.
Tính
2
2
tan
n
A xdx
β
α
−
=
∫
ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng:
sin
n

A x
x x x x x x
β β β
α α α
−
 
= = = = +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 12 2
2 2
sin sin sin
sin sin
sin 1 cos
k k
k k

dx
A
a x b x c
β
α
=
+ +
∫

Phương pháp:
1. Đặt
tan
2
x
t =
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 9/25
( )
2 2
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
 
= + = +
⇒

c o s sin
x d x
B
a x b x
β
α
=
+
∫

Phương pháp:
Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng
các tổ hợp kết quả sau:
sin co s co s sin
cos sin c o s sin c o s sin
b x d x a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
co s sin c o s sin
ln c o s sin
cos sin c o s sin cos sin
b xdx a x d x b x a x
bB aA dx a x b x
a x b x a x b x a x b x

n
A x x x d x x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫
Đến đây, ta đặt
sin co s
u x du x d x
= ⇒ =
, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )
'
2 2 ' 2 2
sin .cos sin . c o s
k k
k k
A x xdx x x dx
β β
α α
= =
∫ ∫
Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:
( )
2

Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ .
7. Tích phân dạng:
2 2
( cos sin ).sin 2
A f a x b x c xdx
β
α
= + +
∫

Phương pháp:
1. Đặt
2 2
c o s sin
u a x b x c
= + +
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 10/25
(
)
(
)
2 .sin .cos sin 2
du b a x xdx b a xdx
= − = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
8. Tích phân dạng:
cos .sin

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
' 1 ' 1
2 2 2
2 2 2
1
1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin c o t sin
k
k k k
dx dx
x x x
x x x
β
α
− −
 
= + + = + +
 
 
∫ ∫
Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x
du
x

= ⇒ =
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ .
V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng:
( )
x
A f e dx
β
α
=
∫
,
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
1. Đổi biến
x
u e
=
, tính dx theo u và du.
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa
thức hoặc hàm số hữu tỷ .

u x
du
x
dv dx
v x

=
=


⇒
 
=


=

Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm
đa thức hoặc hàm hữu tỷ .
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 11/25
Trường hợp tích phân
( )
l o g
a
B f x dx
β
α
=
∫

 
⇒
 
= =
 
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )
sin ' sin
A P x x P x x d x
β
β
α
α
= −
∫
Để tính tích phân
( )
' sin
P x x d x
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu
được kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
sin
B P x x d x
β

x
dv P x dx
v P x dx Q x

=
=

 
⇒
 
=



= =

∫
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( )
(
)
l n
Q x
A Q x x dx
x
β
β
α
α
= −

,
( )
x
B P x a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
x x
u P x du P x dx
dv e dx v e
 =  =
 
⇒
 
= =
 
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )
'
x x

co s
x
A x e dx
β
α
=
∫
,
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
co s sin
x x
u x du x d x
dv e dx v e
= = −
 
⇒
 
= =
 
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
co s sin

1/I =
1
2
0
( 3 5 1 )
x x dx
− +
∫
2/I =
1
2
1
2
( 2 1 ) ( 3 )
x x x dx
+ − +
∫
3/I =
4
1
1
x dx
x








dx
1 cos x
π
−
+
∫

7/ I =
∫
2
0
π
sin
2
x.cos
2
xdx
8/I =
∫
3
0
π
(2cos
2
x-3sin
2
x)dx
9 / I =
2
2

∫

12 / I =
2
3
0
sin x dx
π
∫

13*/ I =
3
3
2
3
sin x sin x
cot gxdx
sin x
π
π
−
∫

14/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫

∫

18/ I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx
19/ I =
∫
2
4
4
sin
1
π
π
x
dx
20/ I =
∫
4
0
6

1 cosx
π
+
∫

24/ I =
1
3 2
0
x 1 x dx
−
∫

25/I =
1
5 2
0
x 1 x dx
+
∫
26/I =
1
0
x
dx
2x 1+
∫
27/I =
1
x

dx
e 1
−
−
+
∫
31/I =
e
2
1
l n x
dx
x(lnx 1 )+
∫

32/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
33/I =
2
3
2

37/I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
38/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx
+
∫

39/I =
2
4
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫

40*/I =
2
2

π
∫

44*/I =
3
0
1
dx
cos x
π
∫
45/I =
2x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫
46/I =
ln 3
x
0
1
dx
e 1+

50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1 ) dx
−
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 15/25
51/I =
1
2 3
0
( 1 2x)(1 3x 3x ) dx
+ + +
∫

52/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫

53/I =
3
2 2


57/I =
0
2x
3
1
x(e x 1 )d x
−
+ +
∫
58/I =
2
6
3 5
0
1 c o s x sinx.cos xdx
π
−
∫
59*/I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4+
∫

60/I =
4

dx
(x 1 ) x 1
+ +
∫

64/I =
2
0
sinx.sin2x.sin3xdx
π
∫
65/I =
2
4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx
π
+
∫
66*/I =
2
3 3
0
( cos x sinx)dx
π
−
∫
67/I =
7
3

3x 2
+
+
∫
71*/I =
6
0
x
sin dx
2
π
∫
72*/I =
2
0
x
dx
2 x 2 x
+ + −
∫
73/I =
3
3 2
0
x . 1 x dx
+
∫
74**/I =
1
2

∫
78/I =
2
1
x
dx
1 x 1
+ −
∫
79/I =
e
1
1 3lnx l n x
dx
x
+
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 16/25
80/I =
3
2
2
ln(x x)dx
−
∫
81/I =
e
2

2
3
1
dx
x 3+
∫
86/I =
1
2
0
1
dx
4 x−
∫

87/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫

88/I =
3
2
6
l n ( s i n x)
dx
cos x

dx
x
+
∫
93/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16−
∫

94/I =
6
2
0
cos x
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
95*/I =
2
e
2
e
1 1


99/I =
0
cos x sinxdx
π
∫
100/I =
2
0
1 sinxdx
π
+
∫

101/I =
3
4
4
sin2xdx
π
π
∫

102/I =
0
1 sinxdx
π
−
∫
103/I =

106*/I =
4
1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫

107/I =
2
4
0
xsinxdx
π
∫

108/I =
2
4
0
x cos xdx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 17/25

+
∫

113/I =
e
2
1
e
l n x
dx
(x 1 )+
∫

114/I =
1
2
0
1 x
x.ln dx
1 x
+
−
∫

115/I =
2
t
1
l n x
dx I 2

∫

119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x
π
∫
120/I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫

121/I =
2
2
sin x 3
0
e .sinxc o s xdx
π
∫
122/I =
2
4

dx
2x 8x 26
−
+ +
∫
126/I =
1
0
2x 9
dx
x 3
+
+
∫
127/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )
+
∫

128*/I =
0
2
2
sin 2x
dx

+ +
∫

132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3 )
π
+
∫

133/I =
3
3
6
4sinx
dx
1 cos x
π
π
−
∫

134/I =
3
2

0
sin x
dx
(tgx 1 ) .cosx
π
+
∫
138/I =
3
2 2
3
1
dx
sin x 9cosx
π
π
−
+
∫
139/I =
2
2
cos x 1
dx
cos x 2
π
π
−
−
+

3
3
1
dx
x 4 (x 4)
−
+ + +
∫
144/I =
3
3
0
sin x
dx
cos x
π
∫
145/I =
1
0
x 1 xdx
−
∫
146/I =
6
4
x 4 1
. dx
x 2 x 2
−

2
2
2
2x 5
dx
x 4x 13
−
−
+ +
∫
151/I =
1
x
0
1
dx
3 e+
∫
152/I =
1
4x 2x
2
2x
0
3 e e
dx
1 e
+
+
∫

3
dx
x 9 x
+ −
∫
157/I =
0
xsinxdx
π
∫
158/I =
2 2
0
x cos xdx
π
∫
159/I =
1
0
c o s x dx
∫
160/I =
1
0
sin x dx
∫
161/I =
2
4
0

e dx
∫
166/I =
4
3x
0
e sin4xdx
π
∫
167/I =
2x 2
0
e sin x dx
π
∫
168/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)+
∫
169/I =
e
1
( 1 x)lnx dx
+
∫

174/I =
2
2
1
(x x)lnxdx
+
∫
175/I =
2
2
1
1
x l n ( 1 )dx
x
+
∫
176/I =
2
5
1
l n x
dx
x
∫

177/I =
e
2
1
e

181/I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫
182/I =
2
4
0
sin2x
dx
1 cos x
π
+
∫
183/I =
2
2
1
5
dx
x 6x 9
− +
∫
184/I =

6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫
188/I =
1
15 8
0
x 1 x dx
+
∫
189/I =
x
1
x x
0
e
dx
e e
−
+
∫
190/I=
e
1
e

+
+
∫
194/I =
2
4
0
1 2sinx
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫
195/I =
5 3
3
2
0
x 2x
dx
x 1
+
+
∫
196/I =
3
2
4
tgx

∫
200/I =
4
1
2
dx
x 5 4
−
+ +
∫
201/I =
2
1
x
dx
x 2 2 x
+ + −
∫
202/I =
2
2
1
l n ( 1 x)
dx
x
+
∫
203/I =
2
0

x 1
dx
x
+
∫
207/I =
3
4
2
0
sin x
dx
cos x
π
∫
208/I =
2
2
0
cos x.cos 4x dx
π
∫
209/I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫

dx
4 x−
∫
214/I =
1
4
2
2
0
x
dx
x 1−
∫
215/I =
2
0
sin3x
dx
cos x 1
π
+
∫
216/I =
2
2
2
2
0
x
dx

0
1 e
dx
1 e
−
+
∫
220/I =
1
0
x 1 x dx
−
∫
221/I =
1
2
0
x 1dx
+
∫
222/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
223/I =
2

x 1
dx
3x 1
+
+
∫
227/I =
2
6
1 sin 2x cos 2x
dx
cos x sin x
π
π
+ +
+
∫
228/I =
x 2
1
2x
0
( 1 e )
dx
1 e
+
+
∫
229/I =
3

0
xsinx.cos xdx
π
∫
233/I =
2
0
cos x
dx
cos 2x 7
π
+
∫
234/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1 )+
∫
235/I =
2
2 3
0
sin2x(1 sin x)dx
π
+
∫
236/I =

−
−
∫
240*/I =
1
2
1
l n ( x a x)dx
−
+ +
∫
241/I =
2
x
0
1 sin x
dx
( 1 cos x)e
π
−
+
∫
.
242/I =
2
0
sin2x sin x
dx
c o s 3 x 1
π

2
2
0
x
dx
1 x−
∫
246/I =
2
1
2
2
2
1 x
dx
x
−
∫
247/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
248/I =
2
2

∫
252/I =
4
2
1
1
dx
( 1 x)x+
∫
253/I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫
254*/I =
3
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫

∫
258/I =
1
2 3
0
( 1 x ) dx
−
∫
259/I =
4
2
0
x.tg xdx
π
∫
260/I=
2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫
261/I =
2
1
3
0
3x
dx

cos x
π
∫
265/I =
3
6
0
sin x sin x
dx
cos 2x
π
+
∫
265/I =
2
3
1
dx
sin x 1 cos x
π
π
+
∫
266/I =
3
6 2
1
1
dx
x ( 1 x )+

∫
270/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫
271/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫
272/I =
2
0
sin x cos x cos x
dx
sin x 2
π

dx
(x 1 )+
∫
276/I =
1
3
0
3
dx
x 1+
∫
277*/I =
4
1
6
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
278/I =
1
3
0
x
dx
(2x 1 )+
∫

2
1
(x 1 ) l n x dx
−
∫

283/I =
3
2
0
x l n ( x 1 ) d x
+
∫
284/I =
3
2
2
1
3x
dx
x 2x 1
+ +
∫
285/I =
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2

+
∫
289/I =
2
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫
290/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
291/I =
2
5 4
0
cos xsinxdx
π
∫
292/I =
2

dx
x x 1−
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 24/25
296/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
297*/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫
298/I =
3
1
2
0
x

π
+
∫
302/I =
2
0
cos x
dx
2 c o s x
π
−
∫
303/I =
2
0
sin x
dx
sin x 2
π
+
∫
304/I =
3
2
0
c o s x
dx
cos x 1
π
+

2x
1
1
dx
3 e
−
+
∫

309*/I =
2
x
sin x
dx
3 1
π
−π
+
∫
310*/I =
2
0
sinx
dx
cos x sin x
π
+
∫
311/I =
4

x 2
1
1
dx
(e 1 ) ( x 1 )
−
+ +
∫
315*/I =
1
3x 1
0
e dx
+
∫
316*/I =
2
1
2
0
x
dx
x 4+
∫
317*/I =
3
2
4 2
0
cos x

2
0
3x 6x 1 d x
− + +
∫
321*/I =
4
5
0
tg x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Trang 25/25
HẾT
Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao!
322/I =
4
3
6
cotg x dx
π
π
∫
323/I =
3
4
4
tg x dx

π
−
∫

327*/I =
4
2
0
t gx 1
( ) dx
tgx 1
π
−
+
∫
328*/I =
1
3
1
2
x
dx
x 1+
∫
329*/I =
3
3
2
4
1

4
0
l n (1 tgx)dx
π
+
∫