I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
x
Cx
xx
++−
x
x
+
C
x
x
+−
xxx
++
C
xxx
+++
xx
−
Cxx
+−
Cxx
++
xx
xx
x
x
e
x
−
!
C
a
a
xx
++
!
Ce
x
+
"
+
x
#$
−++
x
x
x
"
#$
6"
&&'&
x
xx
4
45
134
3)
∫
+ dx
x
1
x
3
4)
( )
∫
+ dxxx
3
3
2
5)
( )
( )
∫
∫
+
dx
x
xx
2
4
9)
( )
∫
+ dxbax
2
3
10)
∫
++
−
dx
x
xx
4
3
4
2
11)
( ) ( )
∫
++ dxbxaxx
12)
∫
+
dx
x
1-x
1
18)
∫
dxcos2x-1
19)
∫
+
dx
cosx1
x4sin
2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
()*+
∫
dxxuxuf ',-
./01*234
34
dxxudt '
=⇒
+
∫ ∫
=
dttfdxxuxuf ',-
BÀI TẬP
+
dxxx
xdxx
∫
+
∫
+
dx
x
x
∫
+
dx
x
x
∫
gxdx
∫
x
tgxdx
∫
x
dx
∫
x
dx
∫
tgxdx
∫
dx
x
e
x
∫
+
x
dx
∫
−
x
dxx
∫
++
xx
dx
∫
xdxx
dxxx
∫
−
2 5 4 2 2
xdx x dx x dx (6x-5)dx cosxdx
sin cos
x x x 3x sin x+ + + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
5
0
ln dx
cos +
∫ ∫
! ! 5sin( )
∫
2
(2x-3)dx
x − +
∫
2
2 3
xdx x dx
∫
+
dxx
4
13
2)
∫
+−
−
dx
xx
x
24
42
2
3)
xlnx
dx
∫
4)
∫
−+
dx
xx
x
1
2
2
xx
x
2
3
12
10)
∫
−
+
dx
x
1x
2
11)
( )
∫
+
3
1x
xdx
12)
∫
+
dxxx
2
1
13)
∫
xdxcos
4
19)
∫
xdxtg
3
20)
∫
dxe
x
1
x
21)
∫
dx
xcos
e
tgx
2
22)
dx
x
x
ln
x
1
∫
−
+
−
1
1
xdxx
∫
xdxx
∫
+
xdxx
∫
++
xdxxx
∫
xdxx
∫
xdxx
∫
dxex
x
∫
xdx
∫
+
dxx
∫
xdxe
x
∫
dxex
x
∫
+
dxxx
∫
xdx
x
∫
xdxx 0
∫
+
∫
dxxlncos
6)
∫
dxxe
x
7)
∫
− dx
xln
xln
11
2
8)
∫
xdxsine
x 22
9)
∫
dx
xx
x
2
1
4)
∫
−
2
ax
dx
2
5)
+ 23xx
dx
2
6)
+
++
dx
xx
xx
2
2
23
1
7)
dx
11)
( )
+
dx
1-xx
1x
2
12)
+ 3-2xx
dx
2
13)
dx
x4x
x
3
3
1
14)
+ 2xx
xdx
24
+
x
C
x
B
x
A
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
( ) ( ) ( )
233
111
13
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =
( )
3
1
dx
1 9x+
4.
2
dx
2x +
5. 6.
NGUYấN HM HM LNG GIC
Tỡm cỏc nguyờn hm sau:
1)
xcos.xsin
dx
2)
xdxsin
2
3)
cosx
dx
4)
dx
2
x
cos.xcos
xx.sincos
cos2x
22
12)
∫
xcos.xsin
dx
22
13)
∫
xdxsin2x.cos3
14)
∫
dxxcos
6
15)
∫
xdxsin.xcos 8
3
16)
∫
xdxcos
2
17)
∫
xdxsin
3
18)
∫
xdxtg
5
cos2x
cos sin
∫
24.
0 5
∫
25.
0 5cot
∫
26.
5cos sin
∫
6.
NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỶ
Tìm các nguyên hàm sau:
1)
∫
−
2
4 x
dx
2)
∫
−+
2
7)
∫
+++
3
xx
dx
11
8)
∫
+++ 11 xx
dx
9)
∫
− dxx
2
4
10)
∫
−− dxxx
2
4
11)
∫
−+− 143
2
xx
dx
12.
∫
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
x x dx+ +
∫
2.
e
x x dx
x x
+ + +
∫
3.
x dx−
∫
4.
x dx+
∫
x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
10.
x
e x dx+ +
∫
11.
x x x x dx+ +
∫
12.
x x x dx− + +
∫
12.
x 2+ + −
∫
16.
5
( ).
ln
+
+
∫
17.
5
cos .
sin
π
π
∫
18.
0 5
5
+
∫
22.
5
! !
ln
.
−
+
∫
22.
5
sin
π
+
∫
24.
∫
−
++
dx
xx
∫
+
29.
∫
−
dx
x
xx
30.
∫
e
e
−
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
xcos xdx
π
π
∫
2.
xcos xdx
π
π
∫
3.
x x dx+
∫
7.
x x dx−
∫
8.
x x dx+
∫
9.
x
dx
x +
∫
−
+ +
∫
dx
x +
∫
dx
x+
∫
x
e cosxdx
π
π
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
x
e xdx
+
∫
gxdx
π
π
∫
xcosxdx
π
+
∫
x x dx+
∫
30.
x x dx−
∫
31.
e
x
dx
x
+
∫
36.
e
x
dx
x
∫
37.
e
x x
dx
x
+
∫
38.
e
x
x
dx
x+ −
∫
42.
x
dx
x +
∫
43.
x x dx+
∫
44.
dx
x x+ +
∫
45.
x
∫
48.
e
x x
dx
x
+
∫
49.
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
e
e
x
54.
x dx−
∫
55.
x dx−
∫
56.
dx
x+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
58.
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
6
6 6
cos 2xdx
π
∫
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cos x
π
π
+ +
+
∫
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
dxxx
∫
−
π
dx
x
x
∫
−
−+
+
dx
xx
x
∫
++
−
xx
dx
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
4
0
1
dx
cos x
4
0
tg x
dx
cos 2x
∫
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
∫
+
π
dx
xx
x
π
dx
x
tgx
∫
−
π
dxxtg
∫
+
−
π
π
dx
x
xx
∫
+
x
∫
−+
dx
x
x
∫
+
e
dx
x
xx
∫
+
−
π
1
dx
x x 1− +
∫
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
Copyright: Tài liệu đại học ©