chuyên đề 5
nguyên hàm và tích phân
I. Các phơng pháp tính tích phân
1. Phơng pháp đổi biến số
a. Đổi biến số dạng 1. Tính tích phân
( )

b
a
dxxf
Đặt x = u(t) dx = u(t)dt
Đổi cận:
Với x = a t = với u() = a
Với x = b t = với u() = b
Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u(t)dt = g(t)dt
Tính
( )

b
a
dxxf
=
( )



dttg
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a.
dxx1
1

Đổi cận:
Với x = a t = u(a)
Với x = b t = u(b)
Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Tính
( )

b
a
dxxf
=
( )
( )
( )

bu
au
dttg
Ví dụ 3: Tích các tích phân sau
a.
( )

+
1
0
3
12 dxx
b.



12x
dx
e.
( )


2
1
2
12x
dx
f.

+
2

0
dx
3cosx1
sinx
g.

+
e
1
dx
x
lnx1
* ứng dụng: dùng để chuyển tích phân về dạng công thức tích phân, các tích phân mà biểu thức trong
dấu tích phân có dạng f(u(x)).u(x)dx

lnx
b.

2

0
x.cosxdx
c.

1
0
x
dxxe
3. Bài tập tổng hợp
1.







+
4
2
2
1
dx
x
x

3
2
1 xx
dx
5.
dx
e
ee
x
xx

+

5ln
0
3
1
6.

4
0
3
4sin

x
xdxe
7.
( )

+

dxxe
x
11.

2
0
cos

x
xdxe
12.

1
0
x2
dxex
II. Tích phân của các hàm số phân thức
1. Phơng pháp chung:
Phân thức hữu tỷ có dạng:
( )
( )
xQ
xP
, trong đó P(x), Q(x) là những đa thức của biến số x.
1. Cho hàm số f(x) =
( )
( )
xQ
xP
, bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

2
21
bx
B

bx
B
bx
B
ax
A

ax
A
ax
A

++

+

+

++

+

Việc tính các hệ số A
1
; A


+






+
42
2
2
b
c
b
x
và đổi biến: t = x +
2
b
d. Trờng hợp 4: f(x) =
( )
( )( )
'''
22
cxbxacbxax
xP
++++
Trong trờng hợp này, ta thờng biến đổi nh sau:
f(x) =
( )

( )
cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
222
2
Hay mx + n = A(2ax + b) + B
Các hệ số A, B đợc xác định bằng phơng pháp đồng nhất thức.
2. Cho hàm số f(x) =
( )
( )
xQ
xP
, bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x)
Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu:
f(x) =
( )
( )
xQ
xP

1x
dx
d.
( )( )


3
2
12x1x
dx
e.

+
1
0
2
65xx
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a.

+
1
0
2
1x
dx
b.

+

2

++

c.


+
++
0
1
2
2
dx
23xx
33x3x
d.

++
++
1
0
2
2
dx
92xx
103xx
e.

++

i.
( )
( )

++

1
0
2
dx
1x2x
24x
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a.
( )
( )



++
+
1
2
2
2
54
1
xx
dxx
b.

1
3
2
23
333
e.

+
3
1
3
3xx
dx
f.
( )

++
+
1
0
2
65
114
dx
xx
x
3. Bài tập về nhà:
Tính các tích phân sau:
1.


+
0
1
2
23xx
dx1x
c.
( )

+
1
0
2
2
x1
xdx
d.
dx
1x
2x
3
2
2
3


e.

+
1

1
2
34xx
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1.

++
1
0
x1x
dx
2.


1
0
2
2
x4
dxx
3.

+
1
0
x
1e
dx
4.

1
0
12x
xdx
8.


a
0
222
dxxax
với a > 0 9.


1
0
23
dxx1x
10.

++
+
1
0
2
dx
65xx
114x
11.


2
2
0
2
2
dx
x1
x
15.

+
+
1
0
6
4
dx
1x
1x
16.

++
1
0
24
dx
1xx
x
17.


dx
1xx
1x
20.

+
7
0
3
2
3
x1
dxx
21.

+

ln2
0
x
x
dx
e1
e1
22.
( )

+
4
1

dx
1x1
x
27.

+
e
1
dx
x
lnx3lnx1
28.
( )


3
2
2
dxxxln
29.

+

ln5
ln3
xx
32ee
dx
30.
( )


+
e
1
3
2
dx
x
xln2lnx
35.
dx
21
x
1
1
x
4


+
36.

10
1
2
xdxxlg
37.

++
7





2
2
4
x
dx xsin10
41.

2
1
2
dx
x
lnx
42.
( )


1
0
6
35
dxx1x
43.


+++

a
dxcosxsinx,f
a. Thờng đặt t = tan
2
x
b. Nếu f(- sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt t = tanx
(Chẵn đối với sinx và cosx)
3. Tích phân dạng:

b
a
nm
x.dxx.cossin
a. Nếu m, n dơng
- Nếu m lẻ thì đặt t = cosx
- Nếu n lẻ thì đặt t = sinx
b. Nếu m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc.
c. Nếu m, n âm và cùng chẵn, cùng lẻ thì đặt t = tanx.
4. TÝch ph©n d¹ng:
∫
b
a
m
x.dxtan
(m > 0)
¸p dông c«ng thøc d(tanx) = (1 + tan
2
x)dx
BiÕn ®æi
∫

b
a
2m
b
a
2m
xdxtantanxxdtan
2. Bµi tËp minh ho¹:
Bµi 1. TÝnh c¸ch tÝch ph©n sau:
1.
∫
4
π
0
cos4xdx
2.
∫
4
π
0
3
xcosxdxsin
3.
∫
4
π
0
xsin9xsinxd
4.
∫

3
xdxtan
9.
∫
4
π
0
42
xdxxcossin
10.
∫
++
++
2
π
0
dx
53cosx4sinx
67cosxsinx
Bµi 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.
∫
4
π
0
4
xcos
dx
2.
∫

2
3
dx
xcos1
xsin
6.
∫
+
π
0
2
dx
xcos1
xsinx
7.
∫
3
π
0
cosx
dx
8.
∫
4
π
0
2
xdxxtan
9.
∫

12.
∫
4
π
0
2
dx
2
x
cos
13.
∫
3
π
4
π
22
dx
xxcossin
cos2x
Bµi 3. Cho hµm sè f(x) =
sinxcosx
sinx
+
a. T×m hai sè A, B sao cho f(x) = A + B






3
cosxsinx
xdxcos
vµ J =
∫
+
2
π
0
3
cosxsinx
xdxsin
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.
( )
∫
+
2
π
0
dxsin2x3x
2.
∫
−
3
π
0
dx
4cos2x7

2
π
0
2
sin2xdxx
7.
∫
2
π
0
xcosxdx
8.
( )
∫
+
4
π
0
2
2cosxsinx
dx
9.
∫
2
π
0
3
xdxsinx.cos
10.
∫

44
dxxcosxsincos2x
3.
∫
+
2
π
0
3
dx
1cosx
xcos
4.
∫
+
4
π
0
44
dx
xcosxsin
sin4x
5.
∫
+
2
π
0
2
3

1
0
5
2
3x
∫








−
+
+
+
9.
∫
−








−

12.
∫
2
π
0
3xsin
xdxsinx.cose
2
13.
( )
dxxsin
3
3
π
0
3
∫
14.
cotx.dx
xsin
sinxxsin
2
π
3
π
3
3 3
∫
−
15.

2
π
0
2
xcos4xdxcos
19.
( )
∫
++
4
π
0
3
dx
2cosxsinx
cos2x
20.
∫






+
4
π
0
66
dx

xsin
xcos
24.
∫
+
2
π
0
2
3
dx
xcos1
xsin
25.
∫






+






+
dx

∫
+
4
π
0
2
2cosxsinx
dx
30.
( )
∫
+
+
+
2
π
0
cosx1
dx
cosx1
sinx1
ln
31.
∫
−
3
π
3
π
2

0
dxtanx1ln
35.
∫
3
4π
π
2
x
sin
dx
36.
∫
3
π
4
π
4
xdxtan
37.
∫
−
2
π
0
2
xcos2
dx
38.
∫

∫
+
2
π
0
sinx
cosxdxcosxe
42.
∫
+
2
π
0
22
dx
x4sinxcos
sin2x
41.
∫
+
+
3
π
0
dx
3sin2x
cosxsinx
Bµi 3. Cho tÝch ph©n I
n
=

( )
∫
−
+
2
π
2
π
x
dx
1e
xg
(§H B¸ch khoa HN A - 1999)–
Bài 5. Xét tích phân I
n
=

1
0
n
xdxsin
, với n là nguyên dơng
Chứng minh
( )
[ ]
1n
1
I
1n
1sin

2
cosx3sinx
xdxsin
và J =

+
6

0
2
cosx3sinx
xdxcos
1. Tính I 3J và I + J.
2. Từ các kết quả trên, hãy tính các giá trị của I, J và K =


3
5
2
3
sinx3cosx
cos2xdx
III. Tích phân và khai triển nhị thức niu tơn
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1.

+

ln6
ln4


6

2

+
6.







+
+
2

0
x
dxe
cosx1
sinx1
7.
( )
dx
cosxsinx
sinx
2


dx
xln1x
xlog
e
1
2
3
2

+
12.

+
+
1
0
dx
x1
x1
13.
dx
xsin3cosx
sinx
3

0
2

+
14.

17.

+

2

0
dx
12sinx
3cosxsin2x
18.
( )( )


++
1
1
2x
1x1e
dx
19.
dx
4

xx.sinsin
xcos
4

6


1
2
0
I = xln(x + x +1)dx

25.
( )

+
2
0
cos
2sin.sin

xdxxe
x
26.

+
+
=
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I



30.









+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
31.

=
xx
dx

1
xdxln)2x(I
35.
1
2
ln xdx
e
I x
x

= +
ữ


36.
4
2 4
0
sin 4x
I dx
cos x. tan x 1

=
+

38.

+

=

e
x
I dx
x x
=
+

42.
1
2
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
+
+

43.
4
0
sin
4
sin 2 2(sin cos ) 2
x dx
x x x


e
dx
I
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =









x
0
dt
t25
4
1
trên đoạn [7; 16]
Bài 2. Cho tích phân I =
( )

+
1
0
5
dxx1
a. Tính I.
b. Dựa vào I, Hãy chứng minh

( )

+
2
1
5
dx1x
a. Tính I.
b. Dựa vào I, hãy tính tổng S =
5
5
4
5
2
3
5
3
2
5
4
1
5
5
0
5
6
C
1
12
C

2
n
3
1
n
2
0
n
1
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C
1
2
+
++++
+
b. S =
100
100
101
2
100

0
n
1
C
1n
12
C
3
12
C
2
12
C
1
12
+

++

+

+

+
Bài 3. Chứng minh rằng:
a.
1n
12
C
1n

3
1
C
2
1
C
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
+

=
+
++++
+
c.
n
n
0
1n
2
n
2n
3

d.
202
2.315
C.3
100
2
C.3
6
2
C.3
4
2
C.3
2
2
101101
99
100
1
100
5
100
95
6
3
100
97
4
1
100

4
1
C
2
1
++++
Bµi 4. Cho tÝch ph©n I =
( )
∫
−
1
0
n
2
dx1xx
, víi n ∈ N vµ n ch½n
a. TÝnh I
b. Dùa vµo I, chøng minh r»ng:
( )
1n2
1
C
22n
1
C
6
1
C
4
1

C
4
1
C
3
1
C
2
1
10
10
2
10
1
10
0
10
−=+−+−