I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x +
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3

ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
32

7. f(x) =
x
x

2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x

xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
+−
x
x

– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)
dxxudt )('=⇒
 I =

)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx

∫
x
tgxdx
2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
21.
∫
− 3
x
x
e

∫
−
2
2
1 x
dxx
28.
∫
++ 1
2
xx
dx
29.
∫
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
∫
−
31.
∫
+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23

xdxx 2cos
7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxxln
10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
12.
∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x

xdx
x
2
21.
∫
xdxx lg
22.
∫
+ dxxx )1ln(2
23.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.

5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫

6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫

13.
2
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x

− −
∫
15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx

x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫
21.
2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.

0
3
)
3
2
2( dxxx

26.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
∫





1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫








−
8
1
3
2

∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1

3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1

e xdx
π
π
∫

18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx

1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx

39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −

46.
3
1
1x
dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e

2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
0
5+
∫
x x dx
53.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
54.
4
2
0
4 x dx−
∫

x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1+
∫

61.
1
0
x 1 xdx−
∫
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+

∫
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫


+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x

73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
74.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx

cos xsin xdx
π
∫
78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
81.
2
2 3
0

85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫

87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
88.
3
4
0

∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

93.
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π

2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

97.
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
98.
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x

dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx−
∫

103.
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
104.
1
2
0
1
dx
4 x−
∫

105.
1
2

x
dx
1 x−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫

101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫

x
π
+
∫

115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫


2
3
1
1
dx
x x +
∫

121.
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
122.
3
5 2
0
1x x dx+
∫

123.
ln2
x
0
1

dx

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 
 
∫

( ) '( )
sin sin

( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=


⇒
 
=


=

∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax
ax
e dx


+

b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx
x −
∫
đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x

=


=

−

c/

2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=



=

+

Bài tập
1.
3
3
1
ln
e
x

dx
x
∫
6.
1
ln
e
x xdx
∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
8.
2
1
ln
e
x xdx
∫
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
π
+
∫

x
∫
14.
2
0
cosx xdx
π
∫

15.
1
0
x
xe dx
∫
16.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
1)
∫
1
0
3
. dxex

ln
6)
∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
∫
3
1
.ln.4 dxxx
8)
∫
+
1
0
2
).3ln(. dxxx

9)
∫
+
2
1
2
.).1( dxex
x

14)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
15)
1
x
0
e sinxdx
∫
16)
2
0
sin xdx
π
∫

17)
e
2
1
xln xdx
∫
18)
3
2
0

22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
23)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫

25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +

ln
30)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
31)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
∫
+−
−
5

xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
5.
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx

−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
∫
++
−
2
1
24

0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
16.
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
∫
+−
4

x
x
20.
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
21.
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.
∫
+
−
1

+
+ +
∫
25.
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
26.
∫
−
+
3
2
1
2
dx
x
x

27.
dx
x
x
∫



x
x

29.
dxx
x
x
∫






−−
+
−
2
0
1
2
13
30.
dx
x
xx
∫
+
++
1

x
xx
∫








+−
+
−+
1
0
2
1
1
22

33.
∫
++
1
0
2
34xx
dx


0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫
+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
6.
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7.
∫
2
3
sin
1
π

x
11.
∫
+
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x
12.
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
13.
∫
−+
4
0
22

0
sin2
sin
π
dx
x
x
17.
∫
+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
18.
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
19.

π
xdxtg
22.
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
23.
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
24.
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
25.

28.
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx
dx
29.
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
30.
∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1

3
cos
sin
π
dx
x
x
34.
∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
35.
∫
π
0
sincos dxxx
36.
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin

π
xdxx
40.
∫
+
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
2.
∫
6
6
4
cossin
π
π

3
4
6
2
cos
sin
π
π
x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+
47.
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π

51.
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex
x
52.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
53.
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin

dx
x
x
57.
dxxx
∫
−
2
0
2
cos)12(
π
58.
∫
π
0
2
cossin xdxxx
59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg
60.
∫
π
0
22

64.
∫
−+
−
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7
−
∫
x xdx
π
π
66.
2
4 4
0
cos (sin cos )
+
∫
x x x dx

π
xdxx
70.
∫
4
0
cos
2
sin
π
xdx
x

71.
∫
4
0
2
sin
π
xdx

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa

+++ xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,

+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
3.
∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2

0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
∫

1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
16.
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.

+
2
0
2
cos2
cos


21.

+
1
0
12x
xdx
22.

++
1
0
2
3
1xx
dxx
23.

++
7
2
112x
dx
24.
dxxx

+
1
0
815

dx
28.

+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.


1
4
5
2
8412 dxxx
30.

+
e
dx
x
xx
1
lnln31
31.


+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.

+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x
tgx
x
x
36.

+

dx
x
x

+
+
7
0
3
3
2
40.

+
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=

aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-

sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:


++
1
1
2
)1ln( dxxx


++
2
2
2
)1ln(cos


dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:

dx
x


Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

=
+

aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(

(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:


+
+

2
0
)(cos)(sin

dxxfxf
Ví dụ: Tính

+
2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x

+
2
0
cossin
sin

dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:


b
a
dxxfdxxbaf )()(


=
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính

+

0
2
cos1
sin
dx
x
xx

+
4
0
)1ln(4sin

dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:


21
1
dx
x
x
2.
∫
−
+−+−
4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3.
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x

x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
7.
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2

3.
∫
−
1
0
dxmxx
4.
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5.
∫
−
−
π
π
dxxsin1
6.
∫
−+
3
6
22
2cot
π

42 dx
x
11.
∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
12. 2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫

13.
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −
∫
14.

∫
18.
dxxx
∫
−
2
0
2

VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ th hm s y = x + x
-1
, trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 1
b/ th hm s y = e
x
+1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x =
1
c/ th hm s y = x
3
- 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2

Vớ d 2 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x
-1
, trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x

=
0
1
3
y
xo
xx
y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y
2
=2x chia hình phẳng giới bởi x
2
+y
2
= 8 thành hai phần.Tính diện tích
mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi







+

=
+
++





=


2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3

= +


= +


3) (H
3
):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0




=


=


6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0

+ =

+ =

7) (H
7
):
lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1

=


2 2
y x

= +



=


10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0

− + =

+ =

11)





−=
=
)(

xy
xy
14)





=+
−−=
03
4
2
2
yx
xy
15)





=
=−+
=
0
02
y
yx
xy

xy
18)





==
==
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19.







==
==
3
;
6
cos

22)





−=
−+−=
−+−=
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)









=
=
=

2
3
26)



=
+−−=
0
2//3
2
y
xxy

27)



−=
+=
xy
xy
4
2
2
28)








=−=
=
=
1;2
0
3
xx
y
xy
31)





==
=
−=
π
xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)


==
−+=
−=
4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)



=
+−=
6
/65/
2
y
xxy
36)





=
−−=

xy
xxy
39)





−=
+−=
2
2
/23/
xy
xxy
40)



=
+−=
3
/34/
2
y
xxy

41)





−=
=
π
//
/sin/
xy
xy
44)





=
−−=
=
8
44
2
2
2
y
xxy
xy
45)




π
sin
)1(
2
48)



=
−=
2
/1/
2
x
xy
49)



=
−=
2
/1/
2
x
yx
32)




y
34)









=
−
=
=
=
0;
1
2
1
;0
4
y
x
x
y
x
x
35)


37)









=
=
=
x
y
x
y
xy
27
27
2
2
38)





=
−=


=
=
2
2
xay
yax
(a>0) 41)





≤≤
+=
=
π
x
xxy
xy
0
sin
2
42)





−=


a
b
0
=
y
)(:)( xfyC
=
b
ax
=
bx
=
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=

y (x 2)= −
và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =
+
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y
2
= 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox



=
==
4
4,
22
y
xyxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)





===
+
=
1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)




=
+−=
>=
1
103
)0(
2
y
xy
xxy
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x
2
7)





=
=
xy
xy
2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y


==
=
+=
π
π
xx
y
xxy
;
2
0
sincos
44
quay quanh trôc 0x;
12)



−=
=
xy
xy
310
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)



quay quanh trôc a) 0x; b) 0y