Tích phân Trần Só Tùng
Trang 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)
+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C=+
ò

Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:

(dưới đây u = u(x))
dxxC=+
ò

duuC=+
ò

1
x
xdxC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x

=+<¹
ò

cosxdxsinxC=+
ò

cosudusinuC=+
ò

sinxdxcosxC=-+
ò

sinuducosuC=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

cos(axb)dxsin(axb)C(a0)
a
+=++¹
ò

1
sin(axb)dxcos(axb)C(a0)
a
+=-++¹
ò

dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb

ì
ï
=
í
ï
=
ỵ

Ví dụ 1: CMR hàm số:
2
F(x)ln(xxa)=++ với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'

ỵ

Là một nguyên hàm của hàm số
x
ekhix0
f(x)
2x1khix0
ì
³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<
ỵ

+
®®
--
===
-

Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1.
-+
==Þ=
Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ

Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 6
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số:
2
xkhix1
F(x)
axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:

==
--

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
= 0.

x1x1x1
F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+--
====
---

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của

íí
ïï
-=-=
ỵỵ

Vậy
-
=-+
22x
F(x)(x3x2)e .