VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o DƯƠNG NGỌC HẢO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2015

ii

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o


Anh Đức, người đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm thực hiện nghiên cứu của
mình.
Sau hết, tác giả chân thành cám ơn bố mẹ, vợ con, và gửi lời cám ơn đến người
thân đã rất kiên nhẫn động viên tác giả trong thời gian làm luận án.
Tác giả luận án, Dương Ngọc Hảo

iv

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là
trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án, Dương Ngọc Hảo
v

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN iii
LỜI CAM ĐOAN iv
MỤC LỤC v

2.2.3.3. Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP 46
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số 50
2.3. Kết luận chương 2 52
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN CHỊU KÍCH
ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 53
3.1. Hệ dao động Van der Pol 55
3.1.1. Tính toán lý thuyết 56
3.1.2. Kết quả và thảo luận 58
3.1.3. So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương 65
3.2. Hệ dao động Duffing 67
3.2.1. Tính toán lý thuyết 67
3.2.2. Kết quả và thảo luận 69
3.3. Dao động Van der Pol – Duffing 74
3.3.1. Tính toán lý thuyết 74
3.3.2. Kết quả và thảo luận 75
3.4. Hệ dao động Mathieu-Duffing 79
vii

3.4.1. Tính toán lý thuyết 79
3.4.2. Kết quả và thảo luận 82
3.5. Kết luận chương 3 87
CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA TRONG HỆ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 89
4.1. Giới thiệu 89
4.2. Kỹ thuật phân tích 90
4.3. Kết quả và thảo luận 97
4.4. Kết luận chương 4 100
KẾT LUẬN 102
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN 105

Hình 3.1.4. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển
x
theo các thời gian
khác nhau 64
Hình 3.1.5. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển
x
tại thời điểm
294
t
=
(s) 64
Hình 3.1.6. Đồ thị đường cong
(
)
2
Ex
của hệ Van der Pol theo
n
trong lân cận
w
. 65
Hình 3.2.1. Kết quả tính toán
(
)
Ext
éù
ëû
và
(
)

theo tham số phi tuyến
g
78
Hình 3.3.2. Đồ thị trung bình theo thời gian của
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo biên độ lực kích
động tuần hoàn
Q
78
Hình 3.4.1. Kết quả giải tích
(
)
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết quả số 84
Hình 3.4.2. Kết quả giải tích
(
)
2
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết quả số 84
Hình 3.4.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-Dufing tại thời

s
và
h
lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa 100

x

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
e
58
Bảng 3.1.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
n

éù
ëû
theo kỹ thuật của luận án
và phương pháp phi tuyến tương đương theo tham số 66
Bảng 3.2.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
g
69
Bảng 3.2.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
2
s
69
Bảng 3.2.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(

Ext
éù
ëû
theo tham số
n
76
Bảng 3.3.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
g
76
Bảng 3.3.4. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
Q
77
Bảng 3.3.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng

theo tham số
Q
83
Bảng 3.4.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
(
)
2
Ext
theo tham số
g
83
Bảng 4.1. Sai số giữa kết quả xấp xỉ và kết quả mô phỏng của trung bình theo thời
gian của trung bình bình phương đáp ứng
()
2
Ezt
éù
ëû
theo tham số
2
s
98

xii

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN


f
Đạo hàm cấp
m
của hàm
f

(
)
2
~,
XN
ms

X
có phân phối chuẩn với trung bình
m
và phương sai
2
s(
)
P
×
Độ đo xác suất

(
)
.


.
Trung bình theo thời gian

x
&
Đạo hàm theo thời gian của
x.
mc
Kết quả trung bình theo thời gian được tính bằng mô phỏng số
Monte-Carlo

.
xx
Kết quả trung bình theo thời gian được tính theo kỹ thuật của luận
án

mn
M
´
Không gian các ma trận cỡ
mn
´(
)

.
f
nhận giá
trị thực thoả mãn
2
0
T
Efdt
æö
<¥
ç÷
èø
ò

0.1 1/10
10,000 100
´
100
exp(x) e
x
, e là hằng số nepe
hc Hầu chắc chắn
cs Cộng sự
FP Fokker – Planck
tr. i Trang i
1



xác suất phụ thuộc vào thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi
tuyến (Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012).
Các hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và (hoặc) tuần hoàn đã nhận được
sự quan tâm rất nhiều từ các nhà nghiên cứu trong vài thập kỷ qua. Các phương pháp/
kỹ thuật phân tích hệ dạng này thường được kết hợp từ các phương pháp đã biết trong
phân tích hệ tất định và phân tích hệ dao động chịu tác động ngẫu nhiên.
Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình Fokker-
Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ dao động không có
lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng. Do đó các phương pháp/ kỹ thuật phát
triển trong các nghiên cứu thường chỉ giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ
thể. Luận án cũng tập trung vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho
lớp rộng hơn các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai phương pháp
kinh điển là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hoá để nghiên cứu hệ
dao động phi tuyến yếu chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu. Ý tưởng chính
của phương pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu
trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số dịch chuyển
phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử dụng phương pháp tuyến
tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông
Anh, 1986).
Định hướng nghiên cứu:
Phát triển một kỹ thuật phân tích dao động của hệ phi tuyến bằng cách kết hợp
các phương pháp (hoặc kỹ thuật) đã biết, nhưng chủ yếu tập trung vào phương pháp
trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các phương pháp
giải phương trình FP.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi tuyến
yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền
cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng

f
là hàm phi tuyến, được giả thiết là hàm tuần hoàn theo
thời gian
t
và là một đa thức theo
x
và
x
&
, và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss
có cường độ đơn vị.
Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp giải tích của lý thuyết dao động phi tuyến, trong đó tập trung
vào các phương pháp: Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp
tuyến tính hóa tương đương, phương pháp phương trình Fokker-Planck.
- Phương pháp giải phương trình Fokker-Planck bằng hàm bổ trợ.
- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo.
Cấu trúc luận án:
Chương 1. Tổng quan
Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích hệ dao động phi tuyến
chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và lực tuần hoàn.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết
Trình bày sơ lược về giải tích ngẫu nhiên liên quan đến luận án và các phương
pháp và kỹ thuật chính trong lý thuyết dao động phi tuyến được sử dụng để phát triển
kỹ thuật nghiên cứu dao động của hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và

tích trong chương này chưa thật sâu sắc nhưng là kết quả mới, cho thấy tiềm năng áp
dụng của kỹ thuật được phát triển trong luận án trong phân tích hệ dao động phi tuyến.
* Các công trình đã công bố liên quan đến luận án:
Bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI: 01
Bài báo đăng trên tạp chí trong nước: 02
Bài báo báo cáo tại hội nghị khoa học chuyên ngành: 02

5
CHƯƠNG 1.
TỔNG QUAN

1.1. Giới thiệu
Các phương pháp dự đoán đáp ứng dao động của các hệ kỹ thuật và hệ kết cấu
chịu tác dụng của ngoại lực đã phát triển nhanh chóng về tầm quan trọng và về thiết kế
kỹ thuật trong hơn một thế kỷ qua. Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, thường người ta
không mong muốn các dao động với biên độ cao, do các yếu tố như tiếng ồn cao, kèm
theo tăng sự ăn mòn các khớp, và quan trọng nhất là khả năng hư hại thành phần dẫn
đến toàn bộ hệ thống bị hỏng. Một hệ thống bị hỏng như vậy có thể xảy ra khi nó vượt
quá giới hạn làm việc an toàn hoặc là kết quả của việc tích lũy thiệt hại qua quá trình
mỏi kim loại (Roberts và Spanos, 1999).
Trong nhiều năm, các kỹ sư thường tập trung tìm hiểu các hệ dao động có tính
tuần hoàn. Loại hệ dao động này thường phát sinh do mất cân bằng trong chuyển động
xoay tròn hoặc chuyển động qua lại, và có thể được truyền qua kết cấu cơ sở đến các
hệ thống lân cận. Sau công trình tiên phong của Rayleigh (1877), lý thuyết dao động
cổ điển đã ngày càng được hoàn thiện để phân tích các dạng dao động này (chẳng hạn
như xem Daniel, 2008).
Tuy nhiên, vào giữa những năm 1950, một dạng bài toán dao động mới nảy

phương pháp phân tích phi tuyến tất định sang các bài toán ngẫu nhiên.
Ở trong nước, tác giả Nguyễn Tiến Khiêm (1991) đã nghiên cứu các hệ dao
động ngẫu nhiên theo các biên độ và pha và đã tìm được nghiệm tổng quát của phương
trình FP theo các biến này. Các ứng dụng phương pháp phân tích phổ trong phân tích
hệ dao động ngẫu nhiên cũng đã được tiến hành trong các nghiên cứu của Nguyễn
Tiến Khiêm (1990), Nguyễn Cao Mệnh (1993). Trong Nguyễn Cao Mệnh (1993),
bằng phương pháp phổ, tác giả đã xác định được mật độ phổ của đáp ứng của hệ ngẫu
nhiên nhiều bậc tự do, từ đó tính được các đặc trưng xác suất của đáp ứng. Nguyễn
Đông Anh và Ninh Quang Hải (2000) đã tìm được các đặc trưng xác suất của đáp ứng
bằng cách biểu diễn đáp ứng của hệ đang xét qua một hàm đa thức của quá trình Gauss
kết hợp với sử dụng các phương trình mô men. Nguyễn Đông Anh và cs. (2012) đã
phát triển ý tưởng đối ngẫu để tổng quát hóa tiêu chuẩn bình phương bé nhất trong
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ ngẫu nhiên. Với hệ chịu kích động
ngẫu nhiên và tuần hoàn, Nguyễn Đông Anh và Nguyễn Như Hiếu (2012) đã nghiên
7
cứu hệ Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên bằng phương pháp trung bình,
thực hiện trực tiếp trên phương trình dao động, và phương pháp tuyến tính hóa tương
đương.
Ở nước ngoài, có thể kể đến các công trình nghiên cứu giải tích liên quan đến
hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn như Dimentberg (1976, 1982),
Mitropolski và cs. (1992), Robert và Spanos (1986), Nguyễn Đông Anh (1986),
Nayfeh và Serhan (1990), Manohar và Iyengar (1991), Haiwu và cs. (2001). Chẳng
hạn, trong nghiên cứu của mình, Dimentberg (1982) đã sử dụng phương pháp trung
bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các để phân tích một lớp hệ dao động phi tuyến chịu
kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Manohar và Iyengar (1991) đề xuất dùng phương
pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các và phương pháp phi tuyến tương
đương để nghiên cứu ứng xử của hệ Van Der Pol chịu kích động cả tuần hoàn và ngẫu

)
t
x
là ồn trắng Gauss có
cường độ đơn vị và hàm tương quan
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
REtt
x
txxtdt
=+=
, trong đó
(
)
dt

là hàm Dirac delta, và ký hiệu
(
)
.
E
là toán tử kỳ vọng toán học.

w
=
,
2
c
km
z
=
,
()
Qt
qt
=
Phương trình (1.3) đượ
c xem là d
(Roberts và Spanos, 1999;
Lutes và Sarkani, 2004
a)

Hình 1.1. Hệ một bậc tự
do. a) K
Phương pháp quá trình
Markov
Phương pháp này dự
a trên lý thuy
quá trình khuếch tán. Từ
khi phát hi
nhiều trường hợp, đáp ứng củ
a các h
8

()
2
2
xxxqt
zww
++=
&&&()
Qt
qt
m
=
.
c xem là d
ạng chuẩn của các hệ dao động một b
ậ
Lutes và Sarkani, 2004
, p. 259).

b)
do. a) K
ết cấu toà nhà 1 tầng. b). Mô hình t
ương đương.
Markov

a trên lý thuy
ết quá trình Markov liên tục, còn đư
ợ

i r
ộng có
9
thể được mô hình chính xác theo các thành phần của các quá trình Markov nhiều
chiều. Hàm xác suất chuyển trạng thái cho một quá trình như vậy được cho bởi một
phương trình vi phân đạo hàm riêng, được gọi là phương trình Fokker -Planck (FP),
hoặc phương trình khuếch tán tiến (Arnold, 1974). Ngoài hạn chế của mô hình, chủ
yếu liên quan đến xấp xỉ các quá trình kích động thực tế như ồn trắng, về nguyên tắc,
lý thuyết quá trình Markov cho ta phương pháp trực tiếp để thu được lời giải chính xác
của các bài toán ngẫu nhiên phi tuyến.
Để có phương trình FP tương ứng với phương trình (1.1), trước hết ta viết
phương trình (1.1) dưới dạng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito như sau:

( ) ()
2
,,
dxxdt
dxxfxxtdtdWt
wenes
=
éù
=-++
ëû
&
&&
(1.4)
với

&&
&&
(1.5)
Có thể thấy là phương trình (1.5) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2
rất khó giải. Mặc dù gần đây đã có một số phát triển về mặt lý thuyết, nhưng ta chỉ có
thể tìm được chính xác hàm mật độ xác suất dừng cho một lớp nhỏ các bài toán dao
động ngẫu nhiên phi tuyến (xem Dimentberg, 1982; Nguyễn Đông Anh, 1986; Lutes
và Sarkani, 2004; Socha, 2008). Các phương pháp tìm nghiệm dạng giải tích cho
phương trình FP với hàm mật độ xác suất dừng ở đây được gọi là các phương pháp thế
năng (the potential method) (Socha, 2008, tr. 50). Ta cũng có thể giải số phương trình
FP. Nhiều tác giả đã phát triển các phương pháp số để giải các phương trình FP khi
chúng không có lời giải giải tích, chẳng hạn như sử dụng phương pháp tích phân
đường (Xie và cs., 2006; Narayanan và Kumar, 2012), phương pháp Galerkin toàn cục
(Muscolino và cs., 1997), phương pháp phần tử hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2006),
phương pháp sai phân hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2010), và phương pháp phần tử
hữu hạn nhiều tọa độ (Masud và Bergman, 2005), nhưng thường sẽ gặp khối lượng
tính toán lớn và những thách thức như được chỉ ra trong Narayanan và Kumar (2012).
10
Phương pháp trung bình ngẫu nhiên
Phương pháp trung bình ngẫu nhiên lần đầu tiên được đề xuất bởi Stratonovich
(1967), được phát triển từ phương pháp trung bình cho hệ tất định do các nhà khoa học
người Nga Krylov và Bogoliubov (1937) phát minh. Phương pháp này được sử dụng
rộng rãi để phân tích gần đúng các hệ dao động có cản yếu chịu kích động ngẫu nhiên
dải rộng (Roberts và Spanos, 1986). Phương pháp này cho phép thay thế các quá trình
Markov hai chiều cơ bản cho đáp ứng bằng một quá trình Markov một chiều cho quá
trình biên độ
(
đơn giản bằng phương pháp trung bình ngẫu nhiên. Bruckner và Lin (1987b) đã tận
dụng dạng phức của phương pháp trung bình ngẫu nhiên giúp dễ dàng sử dụng kỹ
thuật khép kín không Gauss cho phương trình được đơn giản hóa và đặc biệt hữu ích
trong việc phân tích hệ phi tuyến nhiều bậc tự do. Trong nghiên cứu các hệ phi tuyến
chịu kích động bởi lực tuần hoàn và kích thích ngẫu nhiên hoặc khi tính trung bình
một bậc cao trong tọa độ Đề-các, các phương trình đơn giản hóa thu được không được
tách cặp, và, nói chung là không giải được nếu chỉ sử dụng lý thuyết quá trình Markov.
Trong tình huống như vậy Manohar và Iyengar (1991) đã đề xuất kết hợp phương pháp
trung bình và phương pháp phi tuyến tương đương. Kỹ thuật kết hợp này cho kết quả
khá tốt đối với trường hợp hệ dao động Van der Pol chịu các kích động tuần hoàn và
ồn trắng.
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Nhìn chung, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên là cách tiếp
cận rất phổ biến đối với bài toán dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp này là
sự mở rộng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa nổi tiếng sang các bài toán ngẫu
nhiên và được áp dụng cho các hệ một bậc tự do và hệ nhiều bậc tự do chịu kích động
đầu vào dừng hoặc không dừng. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là xấp xỉ thành
phần phi tuyến trong hệ ban đầu bằng các mô hình tuyến tính sao cho hệ tuyến tính
tương đương giải được. Để đánh giá các thông số trong hệ tương đương, người ta giả
thiết thêm là các đáp ứng phải là các quá trình Gauss và sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu
nào đó, chẳng hạn như tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất. Phương pháp này được
phát triển trong năm 1950 cho các bài toán dao động ngẫu nhiên (xem Kazakov, 1954;
Caughey, 1963 và các tham khảo trước đó) và tiếp tục được phát triển cho đến những
năm gần đây (Roberts và Spanos, 1999; Socha, 2008; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012).
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương không nhất thiết cho nghiệm duy
nhất vì nó phụ thuộc vào tiêu chuẩn tương đương mà ta sử dụng. Bên cạnh tiêu chuẩn
bình phương sai số bé nhất thường được sử dụng, các tiêu chuẩn khác cũng được phát
triển (Casciati và cs., 1993; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012). Tuy nhiên, trong các bài

tham số nhỏ đặc trưng cho tính phi tuyến trong hệ. Nghiệm được khai triển thành
chuỗi lũy thừa theo tham số bé dẫn đến một tập các phương trình vi phân tuyến tính có
thể được giải tuần tự. Phương pháp này được áp dụng cho cả hệ một bậc tự do và
nhiều bậc tự do dưới mọi dạng kích động đầu vào ngẫu nhiên dừng hoặc không dừng.
Phương pháp nhiễu được sử dụng lần đầu tiên bởi Crandall (1963) để đánh giá mô

Trích đoạn Kết luận chương 4

---