VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o

DƯƠNG NGỌC HẢO

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2015 Luận án được thực hiện tại Viện cơ học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

bất biến. Tuy nhiên, rất khó để xác định chính xác hàm mật độ xác suất
và sự tiến triển theo thời gian của một hàm mật độ xác suất phụ thuộc vào
thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi tuyến
(Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012).
Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình
Fokker-Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ
dao động không có lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng. Do đó
các phương pháp/ kỹ thuật phát triển trong các nghiên cứu thường chỉ
giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ thể. Luận án cũng tập trung
vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho lớp rộng hơn
các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai
phương pháp kinh điển là phương pháp trung bình ngẫu nhiên và phương
pháp tuyến tính hoá ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ dao động phi tuyến yếu
chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu. Ý tưởng chính của phương
pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu
trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số
dịch chuyển phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử
2
dụng phương pháp tuyến tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và
phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông Anh, 1986).
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động
phi tuyến yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu
nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi
phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng
(
)
(
)

phi tuyến.
Chương này cũng trình bày hai kết quả mới của luận án, đó là dựa
vào phương pháp hàm bổ trợ để đưa ra cách giải cho phương trình FP với
các hệ số dịch chuyển là các hàm tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số
viết cho hàm mật độ xác suất dừng ứng với hệ hai phương trình tuyến
tính chịu kích động ồn trắng, từ đó đề xuất giải xấp xỉ phương trình FP
với các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến và hệ số khuếch tán hằng
số bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương.
Chương 3. Chương này đề xuất kỹ thuật phân tích dao động trong hệ
phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động phi tuyến kinh
điển chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên như: Hệ Van der Pol (đại
diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến), hệ Duffing (đại diện
cho các hệ dao động có độ cứng phi tuyến), hệ Van der Pol – Duffing
(đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến và độ cứng phi
tuyến), hệ Mathieu – Duffing (đại diện cho các hệ dao động phi tuyến
chịu kích động thông số).
Kết quả phân tích cho thấy ta có thể tìm được trung bình theo xác
suất đáp ứng của hệ, cùng với phân phối xác suất của nó tại một thời
3
điểm nào đó, và ta cũng có thể tính được các đặc trưng xác suất khác của
đáp ứng như giá trị trung bình bình phương, hàm mật độ xác suất đồng
thời theo các biến trạng thái.
Chương 4. Áp dụng kỹ thuật đề xuất trong chương 3 để phân tích
đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing chịu kích động
tuần hoàn và ngẫu nhiên. Đây là kết quả mới, cho thấy tiềm năng áp dụng
của kỹ thuật được phát triển trong luận án trong phân tích hệ dao động
phi tuyến.
Kết luận và kiến nghị: Trình kết quả nghiên cứu chính và hướng
phát triển tiếp theo của luận án.
* Các công trình đã công bố liên quan đến luận án:

+=+
&&&
(1.1)
4
với
w
là tần số tự nhiên,
s
là hằng số,
(
)
t
x
là ồn trắng Gauss có cường
độ đơn vị và hàm tương quan
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
REtt
x
txxtdt
=+=
, trong đó

đáp ứng.
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên
Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, quá
trình ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên mà tác giả có sử
dụng trong luận án này (Stratonovich ,1967; Arnold, 1974; Lutes và
Sarkani, 2004; Oksendal, 2000).
5
2.2. Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên
2.2.1. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ và pha
Mục này trình bày phương pháp trung bình ngẫu nhiên với phép biến
đổi
(
)
(
)
cos;sin;
xtaxtat
jwjjwq
==-=+
&
, (2.76)
tọa độ trạng thái
(
)
,
xx
&
sẽ được chuyển thành cặp tọa độ
(

x
&
,
và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị. Ta tìm
nghiệm của phương trình (2.87) dưới dạng
1212
cossin,sincos,,
xaaxaat
jjnjnjjn
=+=-+=
&
(2.88)
trong đó
1
a
và
2
a
là các quá trình ngẫu nhiên biến đổi chậm.
Phương trình (2.87) được viết lại dưới dạng hệ phương trình vi phân
Ito theo x và
x
&
như sau
(

ejj
n
=+-
=+
%
%
(2.91)
trong đó
( ) ( )
112212
sincos
,,,,,,,
KaafKaaf
jj
jeje
nn
=-=
%%
, (2.92)
(
)
1212
cossin,sincos,
ffaaaat
jjnjnj
=+-+ . (2.93)
6
S dng phng phỏp trung bỡnh ngu nhiờn, h (2.91) c n
gin húa thnh
() ()

=-=
%%
(2.95)
Phng trỡnh FP, c vit cho hm mt xỏc sut dng
(
)
12
,
paa

tng ng vi h (2.94), cú dng
( ) ( )
222
12
222
1212
4
pp
KpKp
aaaa
s
n
ộự
ảảảả
+=+
ờỳ
ảảảả
ởỷ
%%
. (2.96)

ảảảả
ởỷ
(2.98)
thỡ vi cỏc h s dch chuyn tuyn tớnh bt k, ta cng khụng th ch ra
li gii cho phng trỡnh (2.98) ny vỡ nú khụng tho iu kin th nng
(2.97). Tuy nhiờn, li gii ca nú cú th c xỏc nh bng phng phỏp
hm b tr c xut bi Nguyn ụng Anh (1986).
Tng quỏt, t phộp bin i (2.88), cỏc h s dch chuyn
1
K
%
,
2
K
%
trong (2.94) s cú dng a thc theo
1
a
v
2
a
, tc l ta cú:

( ) ( )
1122
1121221212
0000
11
,sin,,cos.
nmnm

ộựộự
ổửổử
ộự
ảảảả
+=+
ờỳờỳ
ỗữỗữ
ờỳ
ảảảả
ờỳờỳ
ởỷ
ốứốứ
ởỷởỷ
ồồồồ
(2.100)
7
Dng (2.99) l a thc theo cỏc bin
1
a
v
2
a
nờn rt thun li cho
vic ỏp dng phng phỏp tuyn tớnh húa tng ng. iu ny khin
tỏc gi ny sinh ý tng gii xp x phng trỡnh FP (2.96) vi cỏc h s
dch chuyn phi tuyn bng phng phỏp tuyn tớnh húa tng ng
ngu nhiờn, ngha l xp x phng trỡnh (2.100) bi phng trỡnh (2.98).
2.2.3. Phng phỏp hm b tr v li gii phng trỡnh FP
2.2.3.1. Phng phỏp hm b tr
Xột phng trỡnh FP trung bỡnh:

ua
q
cú o hm n cp hai v t
221112
1
122212
2
22
112212
11
222
11
11
222
,
44
GGuG
MG
a
GGuG
uG
aa
GGGu
qq
q
ỡ
ảảả
ổử
=-+-+
ớ

44
GGuG
NG
aa
GGuG
uG
a
GGGu
q
qq
ỡ
ảảả
ổử
=
ớ
ỗữ
ảảả
ốứ
ợ
ỹ
ảảả
ổửổử
-+-+-
ý
ỗữỗữ
ổử
ảảả
ốứốứ
ỵ
-+

dng t (2.104), (2.106) bng phộp cu phng
( )
,exp,,,,,,,,
uuuu
paCMaudaNaud
aa
qqqq
qq
ỡỹ
ảảảả
ổửổử
=+
ớý
ỗữỗữ
ảảảả
ốứốứ
ợỵ
ũũ
(2.109)
vi C l hng s chun húa.
8
2.2.3.2. Nghiệm của phương trình FP với các hệ số dịch chuyển tuyến
tính
Xét phương trình FP cho hàm mật độ xác suất dừng
(
)
12
,
paa
:

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
1112221
22
2
2112
2
,
nab
taabaab
sabab
+
éù
=-++-
ëû
éù
-++
ëû

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
2122211

+
=+
éù
-++
ëû

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
4112221
22
2
2112
4
,
nab
tlablab
sabab
+
=é++-ù
ëû
éù
-++
ëû

(
)

aaaa
s
n
éù
¶¶¶¶
G+G=+
êú
¶¶¶¶
ëû
. (2.141)
trong đó
1
G
,
2
G
là các hàm phi tuyến theo các biến
1
a
và
2
a
.
Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các hàm phi tuyến
1
G
và
2
G
trong (2.141) được thay thế bằng các hàm tuyến tính

,
Xaa
=
r

(
)
(
)
(
)
(
)
121
,
i
nnn
iiiai
EaEaEanEa
s
+-
=+ (2.148)
(
)
(
)
(
)
(
)

a
, và n,
1
n
và
2
0,1,2,
n =
và
[ ]
2435
1
2
123
2
,
4
Ea
tttt
ttt
+
=
-
[ ]
1534
2
2
123
2
,

a
t
s
ttt
=
-

12
3
2
123
4
aa
k
t
ttt
=
-
. (2.150)
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số
Cho đến nay, mô phỏng Monte-Carlo gần như là công cụ duy nhất để
đánh giá độ chính xác của nghiệm ngẫu nhiên tìm được bằng các phương
pháp giải tích gần đúng (Robert và Spanos, 1999, tr. 361). Luận án sử
dụng simulink của Matlab để tính toán mô phỏng Monte-Carlo cho đáp
ứng dừng với 10,000 đường mẫu và tính trong chu kỳ cuối (coi như trạng
thái đáp ứng dừng trong khoảng thời gian này) của đáp ứng trong khoảng
thời gian 300 giây, bước thời gian 0.05. Khi mô phỏng hàm mật độ xác
suất, luận án tính với 100,000 đường mẫu.
2.3. Kết luận chương 2
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu

C th, hm mt xỏc sut ng thi ca x v
x
&
: . (3.2)
Hm mt ca x:
( ) ( )
,,,.
pxtpxxtdx
+Ơ
-Ơ
=
ũ
&&
(3.3)
Trung bỡnh bỡnh phng ỏp ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
22222
1212
cossinsin2
ExtEatEatEaat

tnnnntnn
nnn
ổửổửổử
+-++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
&&&
5
sincos
x
xtt
tnn
n
ỹ
ổử
++
ý
ỗữ
ốứ
ỵ
&
()
(
)
(
)
( )
22
243515342
12

(3.7)
trong đó
a
,
b
,
w
, Q,
n
,
s
là các tham số dương,
e
là tham số bé, và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ 1. Giả sử hai tham số
w
và
n
có quan hệ:
22
wne
-=D
.
3.1.1. Tính toán lý thuyết
Theo phương pháp trung bình ngẫu nhiên ta tính được các hệ số dịch
chuyển của hệ trung bình hóa (2.94) là

iii
aa
hhh
++
, ta được các hệ số tuyến tính hóa:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
12
1212
2222
1112
22
121213112
2222
21122212
3,
8
,,
44
,3,

=+
(3.16)
Chẳng hạn, với phương trình dao động Van der Pol
, (3.17)
ta có
e
=0.1,
a
=
b
=Q=
s
=
w
=1,v=1.02 . Giải hệ phương trình xác định
hệ số tuyến tính hoá ta được (Phụ lục A)
(3.18)
Thay (3.18) vào các công thức (2.117) và (2.118) ta được hàm mật độ
xác suất dừng theo
1
a
và
2
a
là
(
)
(
)
22

)
111213212223
,,,,,1.2973, 0.3573,1.4313, 0.3573,1.028
4, 0.9432
hhhhhh
»
12
e

2
mc
x
2
xx
x
Sai số (%)

0.05 2.4378 2.0917 14.19
0.10 2.5806 2.6528 2.80
0.20 2.6745 2.7219 1.77
0.30 2.7106 2.7343 0.88

n

2
mc
x
2
xx
x

2
1
Q
s
===
, ).
Có thể thấy từ Bảng 3.1.1 là khi tăng tham số
e
, tham số đặc trưng
cho tính nhỏ của tính phi tuyến và kích động, sai số giữa kỹ thuật được đề
xuất và mô phỏng Monte-carlo giảm từ 14.19% xuống 0.88%. Khi
phần trăm sai số khá lớn, khoảng 14.19%. Điều này xảy ra có
thể do lý do sau đây. Vì hệ (3.7) chịu kích động ồn trắng nên thành phần
cản không thể bỏ qua, nếu không thì hệ sẽ có các ứng xử bất ổn định. Khi
e
rất nhỏ, nghĩa là thành phần cản cũng sẽ rất nhỏ, hệ sẽ dao động rất
mạnh và điều này làm cho các phương pháp xấp xỉ cho hệ phi tuyến khó
có thể cho được dự báo tốt. Do đó, trong trường hợp này, phần trăm sai
số của phương pháp đề xuất ở đây sẽ lớn. Trường hợp tính toán với tham
số
e
không nhỏ quá có thể được tìm thấy trong các nghiên cứu của Haiwu
và cs. (2001), Manohar và Iyengar (1991).
Bảng 3.1.2. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá
trị xấp xỉ của trung bình
theo thời gian của trung
bình bình phương đáp ứng
theo tham số
n

b
=
1
Q
=
1,
w
=
0.1
e
=
13
Bảng 3.1.4. Sai số giữa kết quả
mô phỏng và các giá trị xấp xỉ
của trung bình theo thời gian
của trung bình bình phương
đáp ứng theo tham
số
2
s
(
1
Q
abw
=====
,
, ).
Bảng 3.1.2 cho thấy trung bình thời gian của trung bình bình phương đáp
ứng đạt giá trị lớn nhất khi tần số kích động tuần hoàn trùng với tần số
riêng của hệ. Hai bảng 3.1.1 và 3.1.2 cho thấy kỹ thuật phân tích trong


b. Kết quả mô phỏng
Hình 3.1.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất của hệ dao động Van
der Pol tại thời điểm t=294s (
a
=
b
=Q=
s

2
=
w
=1,
e
=0.1,v=1.02).
(
)
2
Ext
éù
ëû
0.2
e
=
1.02
n
=
0.1
e

Sai số (%)
0.1

2.6595 2.7318 2.72
0.5

2.6204 2.6982 2.97
1.0

2.5860 2.6472 2.37
2.0

2.6146 2.5231 3.50
3.0

2.7194 2.3780 12.55
14

Hình 3.1.4. Đồ thị của hàm mật
độ xác suất của dịch chuyển x
theo các thời gian khác nhau (s)
( , , ,
2
1
s
=
,
, , ).

Hình 3.1.5. Đồ thị của hàm mật

x

Sai số
pt
(%)

2
xx
x

Sai số(%)
0.1 2.6595 2.7077 1.81 2.7318

2.72
0.5 2.6204 2.7211 3.84 2.6982

2.97
1.0 2.5860 2.7026 4.51 2.6472

2.37
2.0 2.6146 2.6872 2.78 2.5231

3.50
3.0 2.7194 2.7326 0.49 2.3780

12.55
1
a
=
1

e
=
1.02
n
=
(
)
2
Ex
(
)
2
Ex
(
)
2
Ext
éù
ëû
1
a
=
1
b
=
1
Q
=
1
w

,
w
,
n
, Q,
s
là các hằng số,
e
là tham số bé, và
(
)
t
x
là
quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị,

22
wne
-=D
.
3.2.1. Tính toán lý thuyết
Làm tương tự như phân tích hệ Van der Pol trong mục 3.1 để xác
định hàm mật độ xác suất dừng theo các biến Đề-các.
Ta tính được trung bình của đáp ứng
(
)
xt
như sau
() ( ) ( )
( )

với
(
)
( )
2
1
tan
Ea
Ea
q
=-
. Do đó, trung bình của đáp ứng là một hàm tuần
hoàn theo thời gian với biên độ A xác định bởi
(
)
(
)
222
12
.
AEaEa
=+
(3.31)
3.2.2. Kết quả và thảo luận
Kết quả trong Bảng 3.2.1 cho ta thấy phương pháp được đề nghị cho
kết quả rất tốt, và hệ số phi tuyến tăng làm giảm trung bình theo thời gian
của trung bình bình phương đáp ứng. Trong khi đó, Bảng 3.2.2 cho thấy,
(
)
32


0.9872

1.0171

3.03
5

0.5679

0.5865

3.27

g

2
mc
x
2
xx
x
Sai số (%)

0.1

1.4385

1.4720


2
s
một cách tổng quát, sai số của phương pháp tăng khi cường độ nhiễu 


tăng. Tuy nhiên với các giá trị 

nhỏ thì phương pháp cho kết quả khá
tốt.
Bảng 3.2.1. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá trị
xấp xỉ của trung bình theo thời
gian của trung bình bình
phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû

theo tham số
g
( , ,
h=2, , ,
).
Bảng 3.2.2. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá trị
xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình

)
2
Ext
éù
ëû
bằng phương pháp giải
tích và so với kết quả mô phỏng số, , , ,
5
Q
=
, .
Màu xanh- quĩ đạo
(
)
xt
và
(
)
2
xt
, màu đen- mô phỏng số, màu đỏ-giải tích.
1
w
=
5
Q
=
2
1
s

h
=
1
w
=
1.01
n
=
2
1
s
=
17
Hình 3.2.5. Đồ thị đường cong
cộng hưởng của hệ Duffing với
các tham số đầu vào là ,
, , , và
.

Đường cong cộng hưởng của hệ Duffing được vẽ trong Hình 3.2.5,
nó có xu hướng lệch phải và không có tính “đối xứng qua đường xương
sống” như khi phân tích hệ Duffing tất định. Kết quả tính toán hệ dao
động Duffing được trình bày trong công bố số 3.
3.3. Dao động Van der Pol – Duffing
Trong mục này, luận án nghiên cứu phương trình chuyển động của hệ
Van der Pol- Duffing dưới kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên
(3.32)
trong đó
a
,

(3.38)
trong đó
,,,,,
hQ
wans
là các tham số dương,
e
là tham số dương,
nhỏ, và hàm là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị.
Phương trình (3.38) còn được gọi là phương trình Mathieu-Duffing
cưỡng bức. Giả sử các tham số
w
và
n
có quan hệ
22
wne
-=D
.
Ramakrishnan và Brian (2012) đã sử dụng phương trình (3.38) khi
nghiên cứu ảnh hưởng của gió, trường lực hấp dẫn và tải khí động học
lên cánh quạt của tua bin gió có trục xoay nằm ngang.
Khi không có thành phần ngẫu nhiên, phương trình (3.38) trở thành
phương trình tất định, và đã được Ramakrishnan và Brian (2012) nghiên
cứu bằng phương pháp nhiều tọa độ. Còn khi không có phần phi tuyến
2
h
=
1
w

t
x
18



2
mc
x

2
xx
x
Sai số (%)

0.1

0.5354

0.5063

5.44

1

0.6768

0.6533

3.47


nằm trong khoảng (0.1, 5).
Bảng 3.4.1. Sai số giữa kết quả mô
phỏng và kết quả giải tích của trung
bình theo thời gian của trung bình bình
phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham
số 

thay đổi ( , ,
). Hình 3.4.1. Kết quả giải tích
(
)
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết
quả số (h=3,
w
=1, v=1.01, Q=3,
, ).

=
1.01,
n
=
0.1
g
=
2
1
s
=
0.1
g
=
3
Q
=
2
1
s
=
0.1
g
=
19
a) Kết quả mô phỏng b) Kết quả giải tích
Hình 3.4.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-
Dufing tại thời điểm ,

g

3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e
=
1.01,
n
=
1,
w
=
0.1,
a
=
3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e
=
1.01,
n
=

xt
20
(
)
(
)
pxt
của đáp ứng
(
)
xt
và kỳ vọng toán học của nó tại một số thời
điểm cụ thể được cho trong Hình 3.4.5.
3.5. Kết luận chương 3
Đối với từng hệ, tại thời điểm t cho trước, ta có thể tính được:
- Xấp xỉ hàm mật độ đồng thời theo các biến
(
)
xt
và
(
)
xt
&
.
- Xác định được hàm mật độ cho đáp ứng tại thời điểm bất kỳ.
- Các đặc trưng trung bình và trung bình bình phương của đáp ứng.
Kết quả so sánh với tính toán số cho thấy kỹ thuật được đề xuất cho
dự báo tốt cho trung bình bình phương đáp ứng của hệ dao động.
CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA

trong đó
(
)
zt
,
(
)
zt
&
,
(
)
zt
&&
lần lượt là độ dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc
của hệ,
e
là tham số dương nhỏ, h là hệ số cản,
g
là hệ số độ cứng phi
21
tuyến;
w
là tần số tự nhiên của hệ;
0
Q
,
n
, và
s

n
wn
=-=
-
(4.3)
Theo đó, phương trình (4.1) trở thành
( ) ()
2
,,,
3
xxFxxtt
n
eesx
æö
+=+
ç÷
èø
&&&
(4.5)
với
(
)
(
)
(
)
3
,,sincos.
FxxtxhxQtxQt
nngn

độ dừng
(
)
{
}
22
1211223124152
,exp
paaCaaaaaa
zzzzz
= +++ , (4.19)
trong đó C là hằng số chuẩn hóa và các hệ số
,1,5
i
i
z
=
được xác định như
sau
( )
11
22
11122212112
6969
242
hQQ
h
gg
zmmmmmm
nn

ç÷
ç÷
èø
èøèø
èø
,
22
321221211
6969
2
4242
QhQh
gg
zmmmm
nn
æö
æöæö
D+D+
æöæö
=Y-+-+++-+
ç÷
ç÷ç÷
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
èøèø
èø
,
22
( )

n
ổử
ổử
D+
=Y-+-+-++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
, (4.20)
vi
(
)
( )
2
1122
2
2
2
2
21121122
2
69
9
2
h
Q
h
nmm

3
4
Q
Ezttt
zzzzzzzz
n
qn
wn
zzz
+++
ổử
ộự=++
ỗữ
ởỷ
-
ốứ
-
, (4.31)
vi
1534
2435
2
tan
2
zzzz
q
zzzz
+
=-
+

Q
zz
zzz
+
++
-
(4.38)
4.3. Kt qu v tho lun
Hỡnh 4.1. th trung bỡnh
theo thi gian ca trung bỡnh
bỡnh phng ỏp ng th iu
hũa theo tham s
2
s

(
1
w
=
,
3.01,
n
=
Q
0
=1, h=2,
e
=0.01,
g
=1) .

=

Q
0
=1,
e
=0.01,
g
=1) 4.4. Kết luận chương 4
Với kỹ thuật phân tích được phát triển trong luận án này, theo tác
giả, lần đầu tiên đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing
chịu kích động đồng thời hai lực tuần hoàn và ngẫu nhiên dạng phương
trình (4.1) được nghiên cứu. Dù các kết quả tìm được ở đây còn đơn giản
do tác giả bị hạn chế về thời gian nghiên cứu, nhưng là kết quả mới cho
thấy ta có thể áp dụng kỹ thuật phân tích dao động được phát triển trong
luận án hoàn toàn có thể dùng để phân tích các đáp ứng thứ điều hòa bậc
m/n của các hệ dao động phi tuyến.
KẾT LUẬN
Luận án đã đề xuất một kỹ thuật mới để phân tích dao động trong hệ
phi tuyến chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Về mặt phương pháp
luận, kỹ thuật phân tích dao động được đề xuất trong luận án được xây
dựng dựa trên hai phương pháp kinh điển, đó là phương pháp trung bình
ngẫu nhiên và phương pháp tuyến tính hóa tương đương, và phương pháp
hàm bổ trợ - là sự mở rộng điều kiện thế năng đã được thừa nhận trong
việc giải phương trình FP (Nguyễn Đông Anh, 1986, 1995). Hơn nữa, khi
phân tích dao động của các hệ, tính chính xác của kỹ thuật phân tích cũng
được kiểm chứng qua so sánh với kết quả thu được bằng phương pháp