VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o
NGUYỄN NGỌC LINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
II
LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, đặc biệt là
GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học, truyền niềm say
mê nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Khoa Đào tạo sau
đại học và bạn bè, đồng nghiệp trong Viện Cơ học đã giúp đỡ tôi ngay từ những
ngày đầu ở Viện Cơ học.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới đơn vị công tác là Trường Cao đẳng Xây
dựng số 1 đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên
cứu sinh.
Tôi cũng xin bày tỏ sự cám ơn tới TS Lã Đức Việt, chủ nhiệm đề tài “Tối
ưu hóa tham số các hệ tiêu tán hoặc tích trữ năng lượng trong điều khiển và
giám sát kết cấu”, mã số 107.04-2011.14- Nafosted đã tạo điều kiện cho tôi
được tham gia đề tài và có những hỗ trợ tài chính giúp ích cho quá trình làm
nghiên cứu sinh.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi
trong thời gian làm luận án.
III

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss 17
1.4.1 Dao động ngẫu nhiên tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss 19
1.4.2 Dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss 20
1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi
tuyến 22
1.5.1 Phương pháp nhiễu 22
1.5.2 Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 22
1.5.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên 23
1.5.4 Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 24
1.5.5 Phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ 24
1.5.6 Phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK 25
1.5.7 Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo 26
1.5.8 Nhận xét 26
Kết luận chương 1 28
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU
NHIÊN 29
2.1 Tiêu chuẩn kinh điển 33 V
2.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng 35
2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh 35
2.4 Tuyến tính hóa tương đương dựa trên phân bố khác Gauss 37
2.5 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần 38
Kết luận chương 2 39
CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN
TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 40
3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát 40
3.2. Tiêu chuẩn đối ngẫu 42
3.2.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu 42

Kết luận chương 4 91
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO 96
PHỤ LỤC 103 VII
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A véc tơ, hàm phi tuyến


,
a x
t
véc tơ hệ số dịch chuyển
, ,
c
 
hệ số hằng số
B véc tơ, hàm tuyến tính tương đương
b, k hệ số tuyến tính hóa tương đương
,
i j
b k
hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j
,
tt
b h

,
S ts S kd
d d
 
tỉ số không thứ nguyên của minS


x

hàm Delta Dirac


,E
   
kỳ vọng toán


,
e x x

sai số phương trình


F x
hàm phân phối xác suất
FPK phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov





x
m
trung bình xác suất
minS giá trị cực tiểu của tiêu chuẩn tuyến tính hóa VIII


mức độ phụ thuộc tuyến tính
n

mô men trung tâm
nm

mô men liên kết trung tâm


P

xác suất của một sự kiện
p,


p

trọng số, hàm trọng số





độ trễ


U x
hàm thế năng
u, v véc tơ




,
v t x t

vận tốc
X, Y biến ngẫu nhiên


x t
dịch chuyển


x t

gia tốc

góc giữa hai véc tơ


t

Hình 1.5 Hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng 14
Hình 1.6 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do 17
Hình 2.1 Các cách tiếp cận chủ yếu của các phương pháp tuyến tính hóa và phi
tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 31
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu 49
Hình 3.2 Hàm thế năng dạng giếng đơn và giếng đôi 56
Hình 3.3 Mô hình hệ một bậc tự do chuyển động có ma sát 60
Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất 68
Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ) 72
Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ) 73
Hình 4.4 Tỉ số


k
d

75
Hình 4.5 Các tỉ số




_ _
,
S ts S kd
d d
 
76
,
0.5
h

,
1
2, 1
c

 
;
3
c
thay đổi 57
Bảng 3.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với
1
o


,
0.1
h

,
1
2, 1
c

  
;

p
của dao động Lutes Sarkani với
mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu (
0 1/ 3

 
) 72
Bảng 4.2 Các giá trị chính xác của
j

và
( )
cx j
p
của dao động Lutes Sarkani với
mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh (
2/ 3 1

 
) 72
Bảng 4.3 Trọng số và hệ số tuyến tính hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
74
Bảng 4.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến
không cản với
1


,
2


2


, a = 1/3 và γ thay đổi 82
Bảng 4.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1


;
2


, a = 5 và γ thay đổi 82 XI
Bảng 4.8 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1

bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình
ngẫu nhiên. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới
việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích
động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có
tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của
các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất. Sự tồn tại
nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn
của mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ
hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong
các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra. Tuy nhiên, do những
hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có
nghiệm chính xác. Mặc dù các phương pháp số giúp cho các bài toán phi tuyến
trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số
không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ. Ví dụ, đối
với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính
toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự do gồm nhiều
thông số đầu vào thì khối lượng cần giải là rất lớn và mất nhiều thời gian tính
toán. Do vậy, phương pháp giải tích xấp xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi
tuyến.
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương
đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn
giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không
dừng, hệ có trễ. Theo thống kê trong [57], kể từ khi được đề xuất trong những
năm 1950-1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính
hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê trong [64] chỉ tính từ năm 1990 đến 2005 đã
có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị liên quan đến tuyến tính hóa 2
ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên. Tuy


3
nhiên trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương
pháp tuyến tính hóa tương đương được giới thiệu tóm tắt.
Chương 3. Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương ngẫu nhiên. Trong chương này xây dựng tiêu chuẩn đối ngẫu dựa
trên cách thay thế tương đương đối ngẫu. Các tính chất và đặc điểm cơ bản của
tiêu chuẩn này được mô tả có quan hệ chặt chẽ với mức độ phụ thuộc tuyến tính
dưới dạng giải tích và hình học giải tích. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác
định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu
chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên
phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Xác định được phạm vi
hiệu quả của tiêu chuẩn đối ngẫu theo mức độ phụ thuộc tuyến tính.
Chương 4. Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số của phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Để cải tiến hạn chế về phạm vi áp dụng của
tiêu chuẩn đối ngẫu, trong chương này phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu thành dạng
tổng quát hơn thu được tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Phân loại mức độ phụ
thuộc tuyến tính áp dụng cho tuyến tính hóa ngẫu nhiên được đề xuất. Xác định
được biểu thức giải tích của trọng số dưới dạng hàm tuyến tính từng đoạn của
mức độ phụ thuộc tuyến tính dựa trên việc phân tích ảnh hưởng của trọng số và
bài toán nội suy từ dao động Lutes Sarkani. Hiệu quả của tiêu chuẩn này được
đánh giá thông qua việc so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm xác định theo
tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu
nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Ngoài ra, áp dụng
mở rộng cho dao động tự do cũng được trình bày.
Kết luận chung. Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án
và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo,
trong đó các bài báo 2, 3, 4, 6 được công bố trong nước; các bài báo 1, 5 được
công bố quốc tế.

gian mẫu. Sự kiện ngẫu nhiên: là một sự kiện có thể xảy ra, hoặc có thể không 5
xảy ra khi thực hiện phép thử. Ngược lại, sự kiện tiền định là một sự kiện mà ta
biết chắc chắn nó sẽ phải xảy ra hoặc không thể xảy ra.
Xác suất: là độ đo khả năng xuất hiện của một sự kiện khi thực hiện phép thử,
được ký hiệu là P(I), theo định nghĩa của Von Mises là [53]

I
P(I) lim
n
n
n

 (1.1)
trong đó n là số lần thực hiện một phép thử, n
I
là số lần xuất hiện của sự kiện I.
1.1.2. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng X được gán cho kết cục của một phép
thử. Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên là một hàm có miền xác định là tập hợp
của các kết cục thỏa mãn hai điều kiện sau
a) Tập hợp X  x là một sự kiện I đối với mỗi số thực x,
b) Xác suất của các sự kiện



P X 0
  

x x x x
 
nếu




0 0
F 0 thì F 0, ,
x x x x
    (1.4)





P X 1 F ,
x x
  



1 2 2 1
( ) ( )
P x X x F x F x
   
Dựa trên tính chất của hàm phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên có hai loại rời
rạc và liên tục. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu hàm phân bố xác suất
của nó có dạng


(1.6)

a) Loại liên tục b) Loại rời rạc
Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm
Hàm mật độ xác suất ký hiệu là


p x
, dùng để mô tả mức độ tập trung xác suất
của biến ngẫu nhiên X tại điểm x. Biểu diễn của hàm mật độ xác suất của các
biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc là khác nhau. Như ví dụ ở hình 1.1a thể hiện
hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm là đường liên tục còn ở hình 1.1b thể
hiện hàm mật độ của tải trọng rời rạc tác dụng lên dầm. Đối với biến ngẫu nhiên
liên tục


p x
được định nghĩa là đạo hàm

 


F
d x
p x
dx
 (1.7)
và có các tính chất

       

(1.9)
trong đó hàm Delta Dirac


x

được biểu diễn là 7

 
, 0
0, 0
x
x
x

 





với đặc điểm
 
1
x dx









1 2
, ,
n
x t x t x t
của một quá
trình ngẫu nhiên. Mỗi thể hiện


i
x t
được gọi là một hàm mẫu, chứa các mẫu x
i
.
Trung bình của tất cả các mẫu tại thời điểm t
1
hay t
2
được gọi là các trung bình
tổng thể. Tại mỗi thời điểm t=t
1
thì quá trình ngẫu nhiên là một biến ngẫu nhiên


1


;
p x t 


 
;
;
F x t
p x t
x t



(1.11)

Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất có một số tính chất cơ bản như sau

 
 
 
P a b ;
b
a
x t p x t dx
  

F x x t t
của quá trình


x t
là phân bố liên kết của các
biến ngẫu nhiên


1
x t
và


2
x t
có đạo hàm bậc hai của nó theo x là mật độ xác
suất bậc hai. Hàm mật độ xác suất bậc hai có tính chất

 
2 1 2 1 2 1 2
, ; , 1
p x x t t dx dx
 
 

 
(1.14)
và quan hệ với mật độ xác suất bậc nhất theo công thức


 (1.16)
Hàm mật độ xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y là

2
1
( , )
( / )
( )
p x y
p x y
p y
 (1.17)
Khi biết hàm mật độ xác suất một chiều hoặc hai chiều, có thể tính toán được
các đặc trưng xác suất khác của quá trình ngẫu nhiên, cụ thể là các mô men.
Tổng quát, mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên


x t
có dạng

 
 
     
;
n n n
n
E x t x t x t p x t dx




       
;
x
E x t m t x t x t p x t dx


  

(1.19)
có tính chất tuyến tính 10



       
1 2 1 2
, ,
c c cx t c x t c const
x t x t x t x t
  
  
(1.20)
Trung bình bình phương của



;
n
n n
n x x
E x t m x t x t x t m p x t dx



     

(1.22)
Mô men trung tâm bậc hai gọi là phương sai
2
x

, là giá trị trung bình của bình
phương độ lệch so với trung bình
x
của nó

   




   
2
2
2 2
x x

x
E x t x t

 
(1.24)
Mô men liên kết của


x t
tại hai thời điểm
1
t
và
2
t
có dạng

   
 
     
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
, ; ,
n m n m n m
E x t x t x t x t x x p x x t t dx dx


 

(1.25)
Hàm tự tương quan là mô men liên kết bậc nhất



2 2
, 0
R t t R E x t x t
  
(1.27) 11

Mô men liên kết trung tâm của


x t
tại hai thời điểm
1
t
và
2
t
cho bởi

 


 




xx
D t t D x x x x

    (1.29)
Nếu x
1
và x
2
có trung bình không thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương
quan. Nếu x
1
và x
2
độc lập lẫn nhau thì hiệp phương sai bằng 0. Nếu
1 2
t t t
 

thì hiệp phương sai trùng với phương sai. Trong phân tích quan hệ của hai hàm
ngẫu nhiên




1 2
X, Y
x t x t
 
, thường sử dụng phương sai được chuẩn hóa


với

là góc giữa hai véc tơ này. Khi
0 / 2
 
 
,
0
r

được gọi là tương quan
dương. Khi
/ 2
  
 
,
0
r

được gọi là tương quan âm (hình 1.4).

a) Tương quan dương,
0 / 2
 
 
b) Tương quan âm,
/ 2
  
 


. X và Y được gọi là không tương quan nếu

0
r

hay
XY = X Y
(1.32)
và được gọi là trực giao nếu

XY =0
(1.33)
Do đó, hệ số tương quan r hay hệ số tương quan bình phương r
2
được sử dụng là
độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y. Trong
xác suất và thống kê, hệ số ảnh hưởng (effect size) được định nghĩa là một độ đo
định lượng cường độ của một hiện tượng (phenomenon) [24], theo đó r hay r
2

cũng là hệ số ảnh hưởng. Việc phân loại hệ số ảnh hưởng có thể được đề xuất, ví
dụ Cohen [24] phân loại mức độ tương quan tuyến tính dựa trên giá trị của r và
r
2
thành ba mức như bảng 1.1.
Bảng 1.1 Phân loại mức độ tương quan tuyến tính của Cohen
Mức độ r r
2

Yếu 0.1-0.3 0.01-0.1


 
   
       
1 1
2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
;
, ; , , ;
,
x
x
p x t p x
x t m const
p x x t t p x x
R t t x t x t R x x

 


 





   

(1.35)


x
S

. Lấy tích
phân Fourier cho hàm


x
R

được

0
( ) ( )exp{ } 2 ( )cos
x x x
R S i d S d
      
 

 
 
(1.36)
trong đó


x
S

là biến đổi ngược Fourier của hàm



và đạt
cực đại tại gốc toạ độ. Thay
0


vào (1.36) thu được phương sai

     
2
0 0
x x x
R D x S d
 


  

(1.38)
(1.38) cho thấy hàm


x
S

biểu thị mật độ phương sai hay trung bình bình
phương của quá trình


x t

    (1.39)

Trích đoạn Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần

---