Header Page 1 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
--o0o--

NGUYỄN NGỌC LINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Footer Page 1 of 148.

HÀ NỘI – 2015


Header Page 2 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
--o0o--

NGUYỄN NGỌC LINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG


được tham gia đề tài và có những hỗ trợ tài chính giúp ích cho quá trình làm
nghiên cứu sinh.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi
trong thời gian làm luận án.

Footer Page 3 of 148.


Header Page 4 of 148.

III
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Ngọc Linh

Footer Page 4 of 148.


Header Page 5 of 148.

IV
MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................II

NHIÊN ............................................................................................................. 29
2.1 Tiêu chuẩn kinh điển .............................................................................. 33
Footer Page 5 of 148.


Header Page 6 of 148.

V

2.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng ........................................................ 35
2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh............................ 35
2.4 Tuyến tính hóa tương đương dựa trên phân bố khác Gauss..................... 37
2.5 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần ...................................................... 38
Kết luận chương 2 ............................................................................................ 39
CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN
TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN ............................................... 40
3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát .............. 40
3.2. Tiêu chuẩn đối ngẫu .............................................................................. 42
3.2.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu .................................................... 42
3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu .................. 44
3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu........................................ 46
3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai của dao
động ngẫu nhiên phi tuyến........................................................................ 50
3.3 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu
chuẩn đối ngẫu ............................................................................................. 52
3.3.1. Dao động Van der pol ..................................................................... 52
3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba.................................................... 54
3.3.3 Dao động Duffing ............................................................................ 55
3.3.4 Dao động có cản và đàn hồi phi tuyến ............................................. 58
3.3.5 Dao động Lutes Sarkani ................................................................... 60



VII

Header Page 8 of 148.

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
A

véc tơ, hàm phi tuyến

a  x, t 

véc tơ hệ số dịch chuyển

 ,  ,c

hệ số hằng số

B

véc tơ, hàm tuyến tính tương đương

b, k

hệ số tuyến tính hóa tương đương

bi , k j

hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j

  x

hàm Delta Dirac

E 
 ,  

kỳ vọng toán

e  x, x 

sai số phương trình

F  x

hàm phân phối xác suất

FPK

phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov

f t ,u t 

kích động ngoài

g  x, x 

hàm phi tuyến của dịch chuyển và vận tốc

H  x, x 




mức độ phụ thuộc tuyến tính

n

mô men trung tâm

 nm

mô men liên kết trung tâm

P 


xác suất của một sự kiện

p, p   

trọng số, hàm trọng số

p  x  , p  x, x 

hàm mật độ xác suất một chiều, hai chiều

p  x, t x0 , t0 

mật độ xác suất chuyển tiếp


hàm thế năng

u, v

véc tơ

v  t  , x  t 

vận tốc

X, Y

biến ngẫu nhiên

x t 

dịch chuyển


x t 

gia tốc



góc giữa hai véc tơ

 t 

quá trình Wiener

IX

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm ........................................ 6
Hình 1.2. Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu) ........ 7
Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất ........................................................................... 8
Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm ............................................... 11
Hình 1.5 Hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng.......... 14
Hình 1.6 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do ...................................................... 17
Hình 2.1 Các cách tiếp cận chủ yếu của các phương pháp tuyến tính hóa và phi
tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên .................................................................. 31
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu ........................................ 49
Hình 3.2 Hàm thế năng dạng giếng đơn và giếng đôi ....................................... 56
Hình 3.3 Mô hình hệ một bậc tự do chuyển động có ma sát ............................. 60
Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất ........................ 68
Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ) ............................................................ 72
Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ) ............................................... 73
Hình 4.4 Tỉ số d k    ....................................................................................... 75
Hình 4.5 Các tỉ số d S _ ts    , d S _ kd    ................................................................. 76

Footer Page 10 of 148.


Header Page 11 of 148.

X
DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI

Bảng 1.1 Phân loại mức độ tương quan tuyến tính của Cohen ......................... 12
Bảng 3.1 Đáp ứng trung bình bình phương với o  1, h  0.5,   2 ;  thay

Bảng 4.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với h  0.5 ; 0  1 ;   2 , a = 5 và γ thay đổi ............................... 82
Footer Page 11 of 148.


Header Page 12 of 148.

XI

Bảng 4.8 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với h  0.5 ; 0  1 ;   2 , a = 7 và γ thay đổi ............................... 82
Bảng 4.9 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3
và bậc 5 với 2h  c1  c3  1 ,   2 và c5 thay đổi ............................................. 85
Bảng 4.10 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến phụ
thuộc năng lượng, a thay đổi ............................................................................ 87
Bảng 4.11 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay đổi ............................ 90
Bảng 4.12 Sai số của các tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số, đối ngẫu và kinh điển
theo giá trị của mức độ phụ thuộc tuyến tính .................................................... 92

Footer Page 12 of 148.


Header Page 13 of 148.

MỞ ĐẦU
Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu
chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng, ổ, trục đỡ của cơ cấu di
chuyển. Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các
bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình
ngẫu nhiên. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới


ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên. Tuy
nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính
xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng, lên đến hơn 20% [31],[49], [69]. Do đó,
vấn đề nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên
cứu, ứng dụng. Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết
nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục
tiêu, đối tượng và phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau:
Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân tích mô men đáp ứng bậc
hai của dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến
thay đổi khác nhau, sai số của nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi tuyến một bậc tự
do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng đa thức.
Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương pháp giải tích,
phương pháp hình học giải tích và phương pháp số. Các phương pháp giải tích,
phương pháp hình học giải tích được sử dụng để phân tích các tính chất, đặc
điểm cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn đối có trọng số. Phương pháp
số được sử dụng chương trình có sẵn trong phần mềm Matlab để tính toán cho
bài toán nội suy và các thuật toán xác định nghiệm của một số dao động ngẫu
nhiên phi tuyến một bậc tự do. Các dao động này có nghiệm chính xác hoặc
nghiệm mô phỏng số, được sử dụng làm cơ sở để xây dựng một số đặc điểm của
tiêu chuẩn được đề xuất và để đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn này.
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu và bốn chương, bao gồm:
Chương 1. Sơ lược về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một
số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Trong chương
này các vấn đề cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao
động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến được liệt kê.
Chương 2. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.

mở rộng cho dao động tự do cũng được trình bày.
Kết luận chung. Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án
và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo,
trong đó các bài báo 2, 3, 4, 6 được công bố trong nước; các bài báo 1, 5 được
công bố quốc tế.

Footer Page 15 of 148.


Header Page 16 of 148.

4

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
Trong phân tích dao động, có hai cách tiếp cận chủ yếu là các phương
pháp của cơ học tiền định và các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên. Khi các
thông số đầu vào của hệ đã biết hoặc có thể dự đoán được, các phương pháp của
cơ học tiền định sẽ được sử dụng để nghiên cứu các trạng thái có tính chất đơn
lẻ của hệ. Trong khi đó, các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên hướng tới việc
nghiên cứu toàn bộ các trạng thái có khả năng xảy ra của hệ, các thông số đầu
vào thường được biểu diễn theo các quy luật xác suất và thống kê do không thể
đo đạc hoặc dự đoán chính xác được. Để phân biệt, dao động ngẫu nhiên được
định nghĩa là các chuyển động không phải là tiền định. Mục tiêu chính trong
phân tích dao động ngẫu nhiên là xác định các đặc trưng xác suất của đáp ứng.
Trong chương này, sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác
suất, một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt và một số phương pháp phân tích dao
động ngẫu nhiên phi tuyến.
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất


trong đó n là số lần thực hiện một phép thử, nI là số lần xuất hiện của sự kiện I.
1.1.2. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng X được gán cho kết cục của một phép
thử. Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên là một hàm có miền xác định là tập hợp
của các kết cục thỏa mãn hai điều kiện sau
a) Tập hợp X  x là một sự kiện I đối với mỗi số thực x,
b) Xác suất của các sự kiện

P X    0 và P X    0

(1.2)

Hàm của biến ngẫu nhiên gọi là hàm ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên và hàm ngẫu
nhiên còn được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) là xác suất để biến
ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với mọi x từ  tới 
F(x) = P{X  x}

(1.3)

Hàm phân phối xác suất có các tính chất

F()  1, F()  0, 0  F  x  1,
nếu x1  x2 thì F  x1   F  x2  ,
nếu F  x0   0 thì F  x   0, x  x0 ,

(1.4)

P X  x  1  F  x  ,

của biến ngẫu nhiên X tại điểm x. Biểu diễn của hàm mật độ xác suất của các
biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc là khác nhau. Như ví dụ ở hình 1.1a thể hiện
hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm là đường liên tục còn ở hình 1.1b thể
hiện hàm mật độ của tải trọng rời rạc tác dụng lên dầm. Đối với biến ngẫu nhiên
liên tục p  x  được định nghĩa là đạo hàm

p  x 

dF  x 
dx

(1.7)

và có các tính chất
x

p  x   0, F  x   P X  x 

 p  x  dx,




b

(1.8)

 p  x  dx  F(  )  1, Pa  X  b   p  x  dx




   x  dx  1

(1.10)



Hàm mật độ xác suất (1.9) cũng thỏa mãn các tính chất đã nêu trong (1.8).
Trong lý thuyết dao dộng ngẫu nhiên, thường sử dụng biến ngẫu nhiên X phụ
thuộc vào thời gian. Các khái niệm và đặc trưng cơ bản của quá trình ngẫu nhiên
ở phần kế tiếp được sử dụng để mô tả các trường hợp như vậy.
1.2 Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa một cách vắn tắt là một dãy các thể
hiện của biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian (hình 1.2) hoặc không gian một
chiều. Nếu số lượng các thể hiện là hữu hạn thì quá trình gọi là rời rạc, nếu số
lượng các thể hiện tập hợp vô hạn thì quá trình gọi là liên tục. Trong thực tế
thường gặp các quá trình ngẫu nhiên liên tục chẳng hạn như vận tốc gió, tuy
nhiên ta không thể thu thập được các tập hợp vô hạn này trong không gian và
thời gian. Phương án khả thi là thu thập một lượng thông tin đủ lớn, kết hợp với
các kinh nghiệm có được trong quá khứ sẽ cho phép việc mô tả một quá trình
ngẫu nhiên ở mức độ gần đúng theo mong muốn. Ví dụ như Bản đồ phân vùng
áp lực gió lãnh thổ Việt Nam được thiết lập cho chu kỳ lặp 20 năm.

t1

t2

Hình 1.2. Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu)
Footer Page 19 of 148.


Hàm mật độ xác suất có một số tính chất cơ bản như sau
b

P a  x  t   b   p  x; t  dx

(1.12)

a


 p  x; t  dx  1



Footer Page 20 of 148.

(1.13)


9

Header Page 21 of 148.

Biểu thức (1.12) là xác suất để x  t  nằm trong khoảng (a, b) có giá trị bằng diện
tích nằm dưới đường cong p  x; t  trong khoảng này (hình 1.3).
Phân bố bậc hai F  x1 , x2 ; t1 , t2  của quá trình x  t  là phân bố liên kết của các
biến ngẫu nhiên x  t1  và x  t2  có đạo hàm bậc hai của nó theo x là mật độ xác
suất bậc hai. Hàm mật độ xác suất bậc hai có tính chất
 



1

2

1

2

2

p1  x2 ; t2  



 p  x , x ; t , t  dx
2

1

2

1

2

1

(1.15)



(1.18)



Hai mô men quan trọng thường được sử dụng là mô men bậc nhất gọi là trung
bình mx hay kỳ vọng toán x  t  và mô men bậc hai biểu diễn giá trị trung bình
bình phương của x  t  , x 2  t  . Giá trị trung bình dùng để phản ánh giá trị trung
tâm của phân phối xác suất của quá trình x  t  là mô men bậc nhất


E  x  t   mx  t   x  t  

 x t  p  x;t  dx



có tính chất tuyến tính
Footer Page 21 of 148.

(1.19)


10

Header Page 22 of 148.

c  c , cx  t 

 c x  t  , c  const





 x t  



x t 



n



n

  x t   m  p  x; t  dx
x

(1.22)



Mô men trung tâm bậc hai gọi là phương sai  x2 , là giá trị trung bình của bình
phương độ lệch so với trung bình x của nó





x  t1  x

m

 t2 



n
m
1 2

x p2  x1 , x2 ; t1 , t 2  dx1dx2

x

(1.25)



Hàm tự tương quan là mô men liên kết bậc nhất
 

R  t1 , t2   x  t1  x  t2  

  x x p  x , x ; t , t  dx dx
1 2

2


Mô men liên kết trung tâm của x  t  tại hai thời điểm t1 và t2 cho bởi



n

 nm  E  x  t1   mx1   x  t2   mx2 
 



n

m

   x t   m   x t   m 
1

x1

2

x2



m

(1.28)


(1.30)

Phương sai chuẩn hóa thường được gọi là hệ số tương quan của hai đại lượng
ngẫu nhiên X và Y, có tính chất r  1 theo bất đẳng thức Cauchy-Swarch. Nếu
biểu diễn X và Y dưới dạng hai véc tơ trong không gian xác suất, Rodgers [61]
chứng minh rằng

r  cos  

(1.31)

với  là góc giữa hai véc tơ này. Khi 0     / 2 , r  0 được gọi là tương quan
dương. Khi  / 2     , r  0 được gọi là tương quan âm (hình 1.4).

a) Tương quan dương, 0     / 2

b) Tương quan âm,  / 2    

Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm

Trong nhiều trường hợp khi phân tích tương quan, ta có thể sử dụng hệ số tương
quan bình phương r2 thay cho r. Vì r 2  0 nên không cần quan tâm đến hướng
của X và Y. Trong bài toán xấp xỉ đại lượng ngẫu nhiên X bằng một hàm tuyến
tính của đại lượng nhiên Y, có dạng aY  b , áp dụng tiêu chuẩn bình phương tối
Footer Page 23 of 148.


12


0.1-0.3

0.01-0.1

Trung bình

0.3-0.5

0.1-0.25

Mạnh

> 0.5

> 0.25

1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu các tính chất thống
kê của nó không đổi theo thời gian, nghĩa là

pn  x1 ,..., xn ; t1 ,..., tn   pn  x1,..., xn ; t1   ,..., tn    ,

n

(1.34)

với   t2  t1 là độ trễ.
Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k nếu (1.34) đúng với n  k. Quá
trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp. Quá trình dừng có
các tính chất

phân Fourier cho hàm Rx   được


Rx ( ) 



 S ( )exp{i }d  2  S ( )cos  d
x

x



(1.36)

0

trong đó S x    là biến đổi ngược Fourier của hàm Rx  

1
S x ( ) 
2



1
R
(




 S   d 
x

(1.38)



(1.38) cho thấy hàm S x    biểu thị mật độ phương sai hay trung bình bình
phương của quá trình x  t  với tần số  .
Quá trình ồn trắng ký hiệu là (t ) là quá trình ngẫu nhiên có mật độ phổ không
đổi trong mọi dải tần số, S x    const . Khi đó quá trình ồn trắng được xác
định bởi các điều kiện

x t 
Footer Page 25 of 148.

2
 0; S x ( ) 
 S0 ; Rx ( )   2 ( )
2

(1.39)